2025高考数学易错题专练：直线与圆、圆锥曲线（试卷+答案解析）

专题06直线与圆、圆锥曲线

考点01直线的方程

1.(24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末)己知直线储〃氏+2y+2=0,l2：5x+(m-3)y-5=0,若4〃4,

则7〃=()

A.5B.2C.2或-5D.5或-2

【答案】A

【分析】根据直线平行，结合一般式方程建立方程，分别验根，可得答案.

【详解】因为直线4：如+2y+2=0与直线如5x+(祖-3)y-5=0平行，

所以冽(m-3)=2x5,解得力=-2或m=5.

当〃z=-2时，直线jx-y-l=0与直线心x-y-l=0重合，不符合题意；

当〃z=5时，直线j5x+2y+2=0与直线乙：5x+2y—5=0平行，符合题意.

综上，m=5.

故选：A.

易错分析：已知直线平行求参数时要注意直线重合与斜率不存在的情况.

2.”<7=]”是"直线尤+20_]=0和直线(a-l)x+冲一1=0平行”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由两直线平行得出。的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】若直线无+2•一1=0与直线(a-l)x+ay—1=0平行，

3

则有lxa=2a.(a-l),解得a=0或a=],

当a=0时，直线》+2殴-1=0即为彳-1=0,

直线(a—l)x+政一1=0,即为x+l=0,两直线平行，符合题意；

3

当a=5时，直线尤+2ay-l=0即为直线x+3y-l=0,

直线(a-l)x+ay-l=0,即为x+3y-2=0,两直线平行，符合题意;

3

故两直线平行时，。=0或。=；；，

2

所以是“直线无+2阪-1=0和直线(a-l)x+ay-1=0平行”的充分不必要条件，

故选；C.

3.已知直线/:2)x+5y—3=0,4:(a—2)x+金一5=0,贝!］"/J//?”是“q=2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由〃〃2可求出。的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.

［详解］若〃〃2贝|々(4_2)_5(«_2)=0,且30—25工0,所以0=5,或4=2,

所以“4〃夕'是“a=2”的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知直线依+2y+6=0与直线尤+(。-1方+。2-1=0互相平行，则实数。的值为()

A.-2B.2或—1C.2D.-1

【答案】D

【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值

即可.

【详解】直线依+2y+6=0斜率必存在，

故两直线平行，则-二=-一BPa2-a-2=Q,解得。=2或-1,

当a=2时，两直线重合，。=-1.

故选：D.

5.过点4(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4无-y=0或x-y+3=0

【答案】D

【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.

【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0,满足题意，

又因为直线过点A(l,4),所以直线的斜率为g=4,

1—0

所以直线方程为y=4x,即4元-y=0,

当直线不过原点时，设直线方程为2+二=1,

a一〃

因为点人(1,4)在直线上，

14

所以—+—=1,解得a=-3,

a-a

所以直线方程为x-y+3=o,

故所求直线方程为4元-y=。或无-y+3=0.故D项正确.

故选：D

易错分析：在应用直线方程的截距式时要判断是否存在截距为零的情况.

6.(23-24高三下.浙江.开学考试)直线/过抛物线C:/=-4y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，贝心的

方程是()

A.y=-x-lB.y=-x+l

C.y=x-lD.y-x+1

【答案】A

【分析】根据题意，求得抛物线C的焦点为歹(0,-1),设直线方程为x+y+加=。，代入直线方程求得优的

值，即可求解.

【详解】由抛物线C:/=-4y的焦点为尸(0,-1),

又由直线/在龙轴与y轴的截距相同，可得直线方程为彳+>+加=。，

将点打。,-1)代入x+V+m=0,可得〃2=1,所以直线/的长为产-X—1.

故选：A.

7.直线x-2y-2=0在x轴上的截距为°,在y轴上的截距为b,贝U()

A.a=2,b=lB.a=2,b=—\

C.a——2,b=\D.a——2,b=—l

【答案】B

【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解.

【详解】由题意，直线x-2y—2=0,

令x=0,解得y=-l,故b=一1；令y=0,解得尤=2,所以4=2.

故选：B.

8.已知直线/：◎+、-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等，贝I实数a的值是()

A.1B.-1C.2或1D.-2或1

【答案】C

【分析】根据题意，分别求得直线/在坐标轴上的截距，列出方程，即可求解.

【详解】由直线/：ax+y—2+a=0,显然。片0,

当x=0时，可得y=2-a,即直线/在y轴上的截距为2-。；

当>=。时，可得了=二上，即直线/在x轴上的截距为三；

aa

2—CL

因为直线/在X轴和y轴上的截距相等，可得一=2-“，

a

即〃-30+2=0,解得a=2或。=1.

故选：C.

9.(24-25高三上•湖北随州•阶段练习)已知点打2,-1),则过点尸且与原点的距离为2的直线/的方程

为.

【答案】》=2或力-4尸10=0

【分析】对直线/的斜率左分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出答案.

【详解】①当/的斜率%不存在时显然成立，此时/的方程为x=2.

②当/的斜率上存在时，

^l:y+l=k(x-2),即爪_>_2左一1=0,

I―2k-112

由点到直线的距离公式得，添台=2,解得左=；,

/.1:3尤-4y-10=0.

故所求,的方程为x=2或3x-4y-10=0.

故答案为：x=2或3x-4y-10=0.

易错分析：设直线方程的点斜式时要检验斜率不存在的情况是否满足题意.

考点02圆的方程

1.(2024・吉林・三模)已知曲线C：x2+y2+2〃a-2y+2=0表示圆，则机的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.C.(-1,1)D.(^»,-l)u(l,+co)

【答案】D

【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.

【详解】圆的标准方程为：(尤+根『+仃-1)2=机2-1,

故病＞1即7〃＜-1或加＞1,

故选：D.

易错分析：当圆的一般方程中含有参数时要注意满足。2+炉一4/＞0这一隐含条件.

2.（23-24高二上•贵州黔南•期中）已知圆C：x2+y2-4x-2my+m2+m=0,过点（U）可作两条直线与圆C

相切，则实数加的取值范围是（）

A.U（2,-K»）B.（-1,2）

C.（-1,4）D.（YO,-1）52,4）

【答案】D

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到4-机＞0,求出机的大范围，再由点（U）在圆外，得到点

到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围.

【详解】圆C：X2+y2-Ax-2my+m2+m=0,BP（x-2）2+（y-m）2=4—m,

则圆心为（2,半径r=＜4-m,旦4一〃z＞0,则MI＜4,

又过点（LI）可作两条直线与圆C相切，所以点（1』）在圆外，

所以.J。一2）'（1一加）＞4一在,解得2Vm＜4或加＜-1,

m＜4

综上可得实数加的取值范围是（F,T）U（2,4）.

故选：D

3.（2024.河北沧州.二模）若点4（2,1）在圆/+/-2小一2,+5=0（加为常数）外，则实数加的取值范围

为（）

A.（—oo,2）B.（2,+co）C.（—co,—2）D.（―2,+co）

【答案】C

【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得加＜2,再由圆的一般方程中。2+戌一4斤＞0可得加＜一2,最后求

交集即可.

【详解】由题意知22+F-4m-2+5＞0,

故加＜2,

又由圆的一般方程尤2+9+瓜+硝+尸=(),

可得+石2_4尸>0,即(-2m)2+(-2)2-4x5>0,

即02<-2或>2,

所以实数7"的范围为加<-2.

故选：C.

4.(2024高三.全国.专题练习)过点M(3,l)作圆/+丁.龙一6y+2=0的切线/,贝心的方程为()

A.x+y-4=0B.x+y-4=0或％=3

C.x-y-2=0D.x-y-2=0或x=3

【答案】C

【分析】根据两点坐标求距离公式判断M在圆上，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.

【详解】x2+y2-2x-6y+2=0,

二.(x-1)?+(y-3)2=8,圆心坐标为(L3),

M(3,1),.-.(3-1)?+(1-3)2=8,即河在圆上，

则过M点的切线方程为(3-1乂尤-1)+(1-3)(y-3)=8,

整理得x-y-2=0.

故选：C

易错分析：求过某点的圆的切线方程时应先判断点与圆的位置关系，然后根据位置关系判

断切线的条数，避免因为忽略斜率不存在的情况而漏解.

5.(24-25高二上•山东潍坊・开学考试)已知圆C:尤2+y2-2x=0,则过点尸(3,0)的圆C的切线方程是()

A.y=±g(x-3)B.y=±2(x-3)

C.y=±-^•(尤一3)D.y=+A/3(x—3)

【答案】C

【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.

【详解】将P(3,o)代入圆方程得3?+()2.2X3=3>0,则该点在圆外，

C:x2+y2-2x=0,即C:(x—l)2+y2=l,则其圆心为(1,0),半径为1,

当切线斜率不存在时，此时直线方程为x=3,显然不合题意，故舍去,

则设切线方程为:y=k（x-3）,即至-y-3左=0,

则有占3=1,解得左=士亭，此时切线方程为〉=±£"-3）.

故选：C.

6.（2024高三.全国.专题练习）过圆N+y2—4x=0上点尸（1,百）的圆的切线方程为（）

A.x+括y—4=0

B.j3x—y—0

C.尤一V§y+2=。

D.x=l或x—Gy+2=o

【答案】C

【详解】

注意到尸（1,m）在圆x?+y2—4尤=0上，将点（1,镉）代入公式（配一2）（无-2）+。0—0）。-0）=4,得直线方程

x—\/^+2=0.

【考查意图】过圆上一点的圆的切线.

7.（24-25高三上•天津•阶段练习）若直线/：血->=4被圆C:尤2+y2-2y-8=0截得的弦长为4,则机的值

为（）

A.±2B.±4C.±0D.±2血

【答案】A

【分析】根据题目得到圆C的圆心和半径，利用几何法来表示弦长即可求得结果.

【详解】由题知，圆C的圆心为（0,1）,半径为由产=3,

由弦长为2,32-优=*解得加=±2.

故选：A

8.（2024.甘肃兰州.模拟预测）已知直线>=尤+6与圆（7:/+0-1）2=4相交于机"两点，|颂|=9，则

b=（）

A.0或1B.1或一1C.1或2D.0或2

【答案】D

【分析】根据直线与圆相交，利用垂径定理可求参数的值.

【详解】

设圆心C(O,1)到直线>=无+6的距离为d,

2

则4二用1.由13MN|]+d=2\得)+(1)2=4,

V2J22

解得b=0或b=2.

故选：D

9.当曲线y=l+47/与直线y=Mx-2)+4有两个相异交点时，实数人的取值范围是().

A・[哈B.信+6C.Q,1]D.备工

【答案】D

【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数％的取值范围.

【详解】直线y=M尤一2)+4恒过点4(2,4),

由y=1+74-x2?1可得y-1=74-x2，等式两边平方得V+(y—I)?=4,

曲线yul+H'T'表示圆d+(y-l)2=4的上半圆，作出示意图如下:

当直线＞=%(%-2)+4与半圆相切时，即直线履-y-2左+4=0与半圆相切时,

3-2左5

Wi^==2,解得左二2,

Jl+k212

a

当直线y=Z（x-2）+4过c（-2,l）时，Tk+4=1,解得左=（,

要想曲线产1+4E与直线y=Mx-2）+4有2个相异交点，

数形结合得到：实数上的取值范围是.

（124J

故选：D.

易错分析：对曲线方程化简时要注意化简的等价性，避免因为化简不等价而造成增根.

10.若直线/：＞=履+3-左与曲线C：y=的二了恰有两个交点，则实数上的取值范围是（）

A/*）B.g|［C.］。,3D.

【答案】B

【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.

【详解】由/：＞=履+3-左知直线/过定点

由曲线C:y=7I二7,两边平方得丁+9=1。20）,

则曲线是以C（0,0）为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），

当直线过点4（-1,0）时，直线,与曲线有两个不同的交点，

3

此时0=-左+3-左，解得长=£,

当直线/与曲线相切时，直线和圆有一个交点，

/、一|3-4|,4

圆心C（0,0）到直线/：'=履+3-左的距离1=左m=1,解得左=：,

要使直线/：'=履+3-左与曲线c：y=J二巨恰有两个交点，

43

则直线/夹在两条直线之间，因此§＜女＜5，

即实数左的取值范围为匕＜4，］3".

故选：B.

11.若直线依2=0与曲线=x_l有两个不同的交点,则实数上的取值范围是（）

f4

D.-,+℃

【答案】A

【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可;

【详解】曲线=尤-1即为半圆:（尤一1）2+（＞—1）2=1（尤21）,

其图象如图所示，

曲线与X轴的交点为4（1,0）,而直线丘-y-2=。为过（0,-2）的动直线,

左一34

当直线/与半圆相切时，有+T=I,解得％=彳，

J1+女23

2

当直线/过A时，有化=]=2,

4

因为直线/与半圆有两个不同的交点，故§＜上工2,

故选：A.

12.（24-25高三上•黑龙江•期末）圆。：V+y=4与圆。：（*-2）2+（、+2）2=20的公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】判断两圆的位置关系，即可判断出答案.

【详解】易得圆。：/+y=4的圆心。（0,0）,半径4=2,

圆O：（%-2）2+（y+2）z=20的圆心O'（2,-2）,半径/=26\

＞\OO'\=272e（2^-2,25/5+2）,即圆O与圆°相交，

故其公切线条数为2.

故选：B.

13.（24-25高三上•辽宁辽阳・期末）若曲线y=与圆（》-3）2+（y-4成=户（r＞0）相切，则r的值为（）

A.3B.2或7C.2D.3或7

【答案】A

【分析】依题意可得曲线＞="二7表示以。（0,0）为圆心，2为半径的半圆（龙轴及x轴上方部分），再确

定圆心坐标，从而得到厂的值.

【详解】曲线y=则/0,又/+/=4,

所以曲线y=，4-f表示以。（0,0）为圆心,2为半径的半圆（x轴及x轴上方部分），

圆（x-3r+（y—4）2=，什＞0）的圆心为“（3,4）,半径为「，

X|OM|=V32+42=5，

若|OM|=r+2,即r=3时满足曲线y=与圆（x—3）2+（,-4）2=户（厂＞0）相切.

14.（2024高三・全国・专题练习）已知点P在圆O:尤?+了2=4上，点A（-3,0）,3（0,4）,满足族的点尸

的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点P的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断.

【详解】设点尸（％y）,则/+V=4,且福=（x+3,y）,丽=（尤,y-4）,

由AP_L5P,得Q•丽=x(x+3)+y(y-4)=x2+y2+3x-4y=0,

即、+目+（—）2=?,

故点尸的轨迹为一个圆心为（-/2］，半径为|■的圆，

则两圆的圆心距为!■,半径和为3+2=3,半径差为二-2=:.

22222

159

因为:<=<：，所以两圆相交，满足这样的点尸有2个

222

故选：B

15.（24-25高三上•辽宁大连•期中）已知圆。:一+丁=1,圆/：（尤一。）2+“一。+4）2=1.若圆M上存在点

P,过点尸作圆。的两条切线，切点为A,B,使得NAPB=60。，则。的取值范围（)

2一%1B.C.2一字2+用D/2一孝,2+

A.2一

2

【答案】D

【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出O尸的距离，再由题意得到关于。的不等式求得答案.

【详解】

如图，圆。的半径为1,圆河上存在点P,

过点尸作圆。的两条切线，切点为AB,使得NAPB=60。,

则/APO=30。，在RtZ\P4O中，尸0=2,

又圆M的半径等于1,圆心坐标M（a,a-4）,

中°LTM«-1，|尸脸=|“。|+1,

\MO\=加+①勺?,

•••由亚+(0一4『一I.24J/+(a—4)2+1,

解得：2一工aM2+丝,则。的取值范围为

22

故选：D.

考点03圆锥曲线的定义

1.已知点4(—1,0),5(1,0),动点尸(羽。满足|网+|尸耳=1,则动点P的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

【答案】D

【分析】根据|到+|阳与|的的关系判断点的轨迹.

【详解】由题设知|斜+|冏=1<|AB|=2,

则动点P的轨迹不存在.

故选：D

易错分析：根据椭圆的定义判断曲线类型时要注意判断动点到两个定点距离和与两定点间

距离大小的比较.

22

2.(24-25高三上•河北邯郸•阶段练习)已知圆Q:x2+(y_l)2=25,O2:x+(y+l)=1,动圆“与圆。|相

内切，与圆O?相外切，则点M的轨迹方程为()

2,22,2

A.工-匕=1B.工+匕=1

8989

x2y21

C.工-二=1D.—+—=1

【答案】B

【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义可得结果.

【详解】设圆〃的半径为人根据题意得：\MO\=5-r,|MO2|=l+r,

所以|Mq|+|MQ|=6>|QO2|=2,

根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以。I、。2为焦点的椭圆，

22

设其方程为三+多=1(。〉0)，其中2a=6,a=3,

b2a2V7

2c=2,C=1f则人2=Q2一。2=8,

22

所以点M的轨迹方程为L+匕=1,

89

故选：B

3.(2024高三.全国•专题练习)如果点"(x,y)在运动过程中，总满足关系式，7痴丁+病不于

=4石，那么点M的轨迹是()

A.不存在B.椭圆C.线段D.双曲线

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义求解即可.

【详解】2+7x2+(y-3)2=473表示平面内到点(0,-3),(0,3)的距离之和为4石的动点M(x,y)

的轨迹，由于3-(-3)=6<4石，所以点”的轨迹是椭圆.

故选：B.

4.(2024高三・全国・专题练习)与圆(尤+2)?+/=2外切，且与圆/+;/一叙=0内切的圆的圆心在()

A.抛物线上B.圆上C.双曲线的一支上D.椭圆上

【答案】C

【分析】由两圆相切的条件得出动点满足的性质，再利用双曲线的定义可得.

【详解】由题设，(X+2)2+9=2的圆心为4-2,0),半径为五;x2+y2-4尤=0的圆心为8(2,0),半径为

2,

半径为r,由图及已知条件易得厂>2,

则|AC|-忸。|=拒+2,

由双曲线定义知，圆心C在以AB为焦点的双曲线的右支上.

故选：C.

易错分析：双曲线的定义要注意两点：一是动点到两定点距离差的绝对值为常数2a,二

是要2a<2c.

5.（2024高三.全国.专题练习）已知点4（0,2）,3（0,-2）,。（3,2）,若动点”（苍①满足|他4|+|4。=|处|+忸。,

则点Af的轨迹方程为（）

丫2

A.=1

3

C.=l

3

【答案】B

【分析】根据|他4|+a。=附同+忸。中恒。,忸。为定值，故先化简村4+|4。=四耳+忸。再分析满足的距

离关系即可.

【详解】设M（x,y）,因为|阿+|AC|=|MB|+怛。,

故\MA\+3=\MB\+^32+[2-(-2)]2，B|J|M4|-|M5|=2<4.

故点M&y）的轨迹是以4（0,2）,川0,-2）为焦点的双曲线的下支,

且a=l,c=2,i^b2=c2-a2=3.

所以点M的轨迹方程为y2-^=l（y<-l）.

故选：B.

6.（2024•河南濮阳・模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点尸的坐标为（2,0）,以线段尸尸为直径的圆与圆

O:Y+y2=3相切，则动点P的轨迹方程为（）

A.--^=1B.--/=]Dx2I

433C2畀163

【答案】B

【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.

【详解】由题意可知：圆Od+yZ=3的圆心为。（0,0）,半径厂=有,

设耳（-2,0）,以线段4为直径的圆的圆心为M,半径为R,

OM|=2（r+R）,\PF\^2R,

可得归耳|_|尸尸］=2（，+尺）_2尺=2'=26；

若圆M与圆0内切，则忸耳|=2|OM|=2（R—r）,\PF\=2R,

综上所述：归耳|-|尸尸］=2括,

可知动点P的轨迹是以月,厂为焦点的双曲线，且。=若,。=2,则b=A/C2—a2=1>

所以动点尸的轨迹方程为工-丁=1

3'

故选：B.

7.（2024高三・全国•专题练习）已知双曲线C:二-亡=1的左、

右焦点分别是片，耳,点尸在双曲线C上,

916

且|尸制=7,则%=（）

A.13B.16C.1或13D.3或16

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义求解.

f2

【详解】由双曲线C:二-匕v=1可得”=3,C=5.

916

因为|P£|=7<o+c,所以点尸在双曲线C的左支上，

所以|至|-|尸耳|=2",则|%=闸+2。=7+6=13.

故选：A.

易错分析：双曲线上任意一点到焦点的距离都满足|M|<a+c.

8.（2024高三•全国•专题练习）若点尸到点尸（0,2）的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点尸的轨迹方

程为（）

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程.

【详解】由题意，知P至IJ尸（0,2）的距离比它至Ijy+4=O的距离小2,

因此P到尸（0,2）的距离与到直线y+2=0的距离相等，

故P的轨迹是以下为焦点，>=-2为准线的抛物线，

所以P的轨迹方程为V=8y.

故选：C

9.在平面直角坐标系工分中，动点P（x,y）到直线X=-1的距离比它到定点（3,0）的距离小2,则点P的轨迹

方程为（）

A.y2=6xB.y2=12%C.y2=-6xD.y2=-12x

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义即可求解.

【详解】由题意知动点PQ,y）到直线x=-3的距离与它到定点（3,0）的距离相等，

由抛物线的定义知，点尸的轨迹是以（3,0）为焦点，a=-3为准线的抛物线，

所以P=6,点尸的轨迹方程为V=i2x.

故选：B.

10.点尸到点尸（3,0）的距离比它到直线/：彳=1的距离大4,则点尸的轨迹是（）

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.以上都不对

【答案】D

【分析】根据给定条件，按点尸在直线/及左侧、右侧两种情况分类讨论，结合抛物线定义判断即得.

【详解】由点P到点尸（3,0）的距离比它到直线/:x=l的距离大4,知点P既可以在直线/的左侧，也可以在

直线/的右侧，

当点尸在直线/:x=1及左侧时，点P到点F（3,0）的距离等于它到直线x=5的距离，

则点P的轨迹是以p（3,0）为焦点，直线x=5为准线的抛物线在直线/及左侧部分；

当点尸在直线/:x=1的右侧时，点P到点F（3,0）的距离等于它到直线x=-3的距离，

则点P的轨迹是以P（3,0）为焦点，直线》=-3为准线的抛物线在直线/的右侧部分，

所以点尸的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确.

故选：D

考点04圆锥曲线的方程及几何性质

22

1.（24-25高三上•福建泉州•期中）若方程「----J=i表示椭圆，则实数机的取值范围为（）

m+3m-1

A.（-1,3）B.（-3,1）

C.（-3,-l）U（-U）D.（YO,-3）U（1,+S）

【答案】C

【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参.

22

【详解】因为方程^+工=1表示椭圆，

m+31-m

fm+3>0“

所以<八且机+3与1-相不相等，

所以〃蚱（一3,-1）。（-1,1）.

故选：C.

m>0,

22

易错分析：方程'+匕=1表示椭圆的条件是〃〉0,，表示双曲线的条件是根〃<0.

mn

m^n

22

2.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）方程+=1表示椭圆的充要条件是（）.

4+m2-m

A.-4<m<2B.l<m<2

C.-4<m<-lD.m>—1

【答案】B

【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可.

V.2V2

【详解】若^+“二=1表示椭圆，

4+m2-m

4+m>0

则<2-m>0,解得Tvmv-l或一1VMV2.

4+mw2-m

故选：B.

22

3.（24-25高三上・甘肃白银•阶段练习）对于实数加，“小>2”是“方程」----J=i表示双曲线”的（）

m+1m-2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据双曲线的特征得到加的取值，再根据充分条件的判定即可得到结果.

22

【详解】若方程-----J=1表示双曲线，

m+1m-2

贝-2）>0,得根>2或机<一1,

22

则>2”是“方程」-----匚=1表示双曲线”的充分不必要条件，

m+1m-2

故选：A.

4.（24-25高三上•江苏无锡・期中）求长轴长是短轴长的3倍，且过点（3,-1）的椭圆的标准方程（）

22

22工+匕=1

A.土+匕=1B.8282-

182V

2xy1

C.±2+工=1或存+近=1D-。口

【答案】C

【分析】分析可知，a=3b,对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出/的值,

即可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知，a-3b,

22

若椭圆的焦点在X轴上，则椭圆的标准方程为++京=1,

将点的坐标代入椭圆方程可得舒9+a1=1,解得廿=2,

22

此时，椭圆的标准方程为±+乙=1；

182

22

若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为*1=1,

9b2b2

igQO

将点的坐标代入椭圆方程可得八万+《=1,解得〃=},

9bb9

此时，椭圆的标准方程为京+金=1

~9

22）

综上所述，椭圆的标准方程为二+汇=1或记+而=1.

182

故选：C.

易错分析：求椭圆标准方程的步骤是先定位、再定量，即先确定焦点在哪个坐标轴上，然

后再求“力2的值，当焦点位置不确定时要分情况讨论.

5.（2024高三.全国・专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为月（-3,0）,耳（3,0）,尸为双曲线上一点且

卜「片卜|「耳||=4,则双曲线的标准方程为（）

x222

AY9]yiry<,

A.-----------=1D.-----------=1C.-----------=1

455445

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义确定G6的值，即可得双曲线方程.

【详解】因为忸耳卜|%|=4〈寓阊=6,

由双曲线的定义可得c=3,2a=4,即”=2,62=02-4=9一4=5,且焦点在x轴上,

22

所以双曲线的方程为

故选：A.

易错分析：已知圆锥曲线的方程和性质求参数，要注意分析焦点位置.

22

6.（24-25高三上•河南南阳•期中）已知椭圆C：L+2T=1的短轴长为4,则机=（）

mm

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根据短轴长求得〃=4,讨论九/大小及椭圆定义求参数.

【详解】由C的短轴长为4,得以=4,即b=2,则6=4,

若m＞"＞0=*0＜根＜1,贝苏=4,显然矛盾；

若用2＞机＞（）=＞机＞1,则m=4.

22

经验证，当机=4时，椭圆C：L+J=1的短轴长为4,

mm

故选：B

7.（2024.山东.一模）若椭圆C：《+f=1的离心率为亚，则椭圆C的长轴长为（）

m23

A.20B.子或2#

C.2aD.20或2指

【答案】D

【分析】根据椭圆的离心率求出与的值，对椭圆C的焦点位置进行分类讨论，求出机的值，即可求得椭圆

a

C的长轴长.

c1a2-b2ib1（行丫2g、1b21

【详解】因为/2===——=1一一=—=-,所以，==一.

a2a2a27[3）3a23

序01

①若椭圆。的焦点在X轴上，贝!）勺=*=±,可得机=6,则4=标=6，

此时，椭圆c的长轴长为2«；

②若椭圆c的焦点在y轴上，则与='=l，可得加=],则°=&,

a2233

此时，椭圆C的长轴长为20.

综上所述，椭圆C的长轴长为20或2遍.

故选：D.

8.（2024•内蒙古・三模）已知椭圆W—+与=1的离心率为且，则机=（）

m+2m3

A.±72B.±2C.±2万D.±4

【答案】B

【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解.

22

【详解】由椭圆+==1,可得/=加+2,6=疗，贝房=/一62=2,

m+2m

所以e?=J=—”,解得*士2.

a~m~+213J

故选：B.

22

9.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）如图所示，已知椭圆C:二+斗=1（。>6>0）,QO:x2+y2=b2A,

ab

尸分别是椭圆c的左顶点和左焦点，点P是。。上的动点，且宵为定值，则椭圆C的离心率为（）

IPF\

【答案】A

【分析】根据椭圆性质以及圆的方程即可得片+62=几卜2+廿）,。=〃，构造方程即可解得离心率.

【详解】易知A（—"0）,尸（―GO）,设尸（和乂）,

要使曙为定值，则有（网+4+靖=2[（占+。）2+H，4为常数;

显演2+y；=b?,因止匕a?++Z?2=412_|_2c%]+/??）,

比较两边系数可得4+廿=X卜2+/）M=尬，

故+b2，卜2+62）,即c（“2+/）=〃（/+/）,

整理可得2c"—"="3,即/_2£+1=0,也即（e—l）（/+e—1）=0,

又0<e<l,解得e=避二L

2

故选：A

易错分析：圆锥曲线的离心率问题要注意椭圆离心率的范围是（0,1）,双曲线的离心率范

围是（L+°°）.

10.（24-25高三上•河北承德•阶段练习）已知与，瑞是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，

且「可＞|尸闾，线段尸耳的垂直平分线经过点歹2.记椭圆的离心率为，，双曲线的离心率为％,则'+902的

e\

取值范围是（）

A.（6,+oo）B.（12,+oo）C.（6,7）D.（5,+oo）

【答案】B

【分析】由题意可得|呀|=|耳耳|=2c,结合椭圆和双曲线的定义得到，，q的关系式，根据e?的取值范围，

通过分析函数单调性可得到结果.

【详解】设椭圆的长轴长为2卬，双曲线的实轴长为2%,它们的公共焦距为2c,不妨设焦点在无轴上，点尸

在第一象限.

•・•点F2在线段尸耳的垂直平分线上，.■.归阊=|耳阊=2c.

由椭圆、双曲线的定义得:|正耳|+|尸耳=2q,忸周一忸闾=2的，・.•|M|=24-2c=2的+2c