2025高考数学一轮总复习提能训练41（含答案）

2025《衡中学案》高考一轮总复习数学提能训练练

案［41］含答案提能训练练案［41］

6A组基础巩固9

一、单选题

1.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相

等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（B）

A.0B.1

C.3D.4

［解析］只有②正确，故选B.

2.（2022.湖北名师联盟模拟）如图，正方体ABCD-AiBiCiDi中，点E,F

分别是AB,AiDi的中点，。为正方形AiBiCiDi的中心，则下列结论正确的是（C）

A.直线EEA。是异面直线

B.直线EF是相交直线

C.直线ER与所成的角为30°

D.直线ER与331所成角的余弦值为竽

［解析］OF统AE,EF、A。是相交直线，A错;

EF、331是异面直线，B错；

如图，OF统BE,

J.EF//BO,

（或其补角）即为ER与3cl所成的角，

设正方体棱长为2,

则3G=2爪，OCi=j,BO=y［6,

：.BCr=OCl+BO2,即反〃OCi,

：.ZOBCi=30°,C对；

ER与331所成角的余弦值为坐，D错；故选C.

3.（2023・广东汕头模拟）已知a,夕，/是三个平面，aC/3=a,a^y=b,p^y

=c,且aC6=。，则下列结论正确的是（C）

A.直线6与直线c可能是异面直线

B.直线a与直线c可能平行

C.直线a,b,c必然交于一点（即三线共点）

D.直线c与平面a可能平行

［解析］因为aC£=。，aC/=6,aC\b=O,所以。©a,O^p,O^y,因

为夕n〉=c,所以0©c,所以直线a,b,c必然交于一点（即三线共点），A、B

错误，C正确；D选项，假设直线c与平面a平行，由。©c,可知。&z,这与

0©a矛盾，故假设不成立，D错误.故选C.

4.（2024・四川仁寿一中调研）已知正方体A3CD—AbBCiDi中，E为4?的

中点，则直线4。与CE所成角的余弦值为（A）

A坐B.专

「咽n痍

J10u-15

［解析］解法一：连接AC,在正方体ABC。一ALBICDI中，AA1//CC1,A41

=CC1,即四边形ACC1A1为平行四边形，故A1C1〃AC,则直线AC与CE所成

角即为直线4cl与CE所成角，即NEC4即为所求角或其补角；设正方体棱长

为2,连接AE,ECi,则AE=EC=诲可？=小，EC=^(CCI)2+(ECI)2=3,

开「244「2—4"2Q-LQ_5A/O

又AC=2\［2,cosZECA=-----2ECAC」=2X3XRT号而异面直线所

成角的范围为(0,f,故直线4。与CE所成角的余弦值为坐.故选A.

解法二：如图建立空间直角坐标系，设A3=2,则AU=(—2,2,0),CE=(1,

—2,2),记4G与CE所成角为仇则cos。=但¥卓=不袅『率故选A.

|AiC1||CE|2v2X32

5.(2023•宁夏中卫市模拟)如图，在正四棱柱ABC。一ALBICLDI中，AB=^2

AAi,E,R分别为AB,3C的中点，异面直线ABi与CLF所成角的余弦值为加

贝U(B)

\［2

A.直线AiE与直线CiR异面，且机=3

B.直线AiE与直线GR共面，且加=3

C.直线AiE与直线CiR异面，且加=3

D.直线AiE与直线GR共面，且机=々

［解析］,:E、R分别为A3、BC的中点,

：.EF//AC//AiCi,/.Ai,G、E、R共面，

，直线AiE与Ci一共面.

连接CD,则CLD〃A3I,

/.NDCiF为ABi与CtF所成的角（或其补角），

连接。凡不妨令AAi=小,则DR=小，

CiF=小,DCi=y［6,

3+6—5A/2u、＞

J-2X#X犷3'故选B-

6.（2024.陕西汉中联考）在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=4,ABCD

的边长均为6,P为A3的中点，则异面直线PC与3。所成角的余弦值为（C）

［解析］如图，取AD中点E,连接PE,EC,二.尸是A3的中点，...PE/ZBD,

PE=%B=3,则NCPE是PC与3。所成角（或补角），在△ABC中，AB=AC=4,

BC=6,由余弦定理，cosA=想…二=o…&=Y，在△APC中，

ZACAAnZA4A4o

PC2=AP2+AC2-2XAPXACXCOSA=22+42-2X2X4X(^-|^=22,:.PC=

22,同理，CE="，在△PEC中，由余弦定理可得，cosNCPE=

警，.•・异面直线PC与3。所成角的余弦为警.故选C.

2X722X3的钙

7.(2023•江西南昌一模)如图E,F,G,H分别是菱形A3CD的边A3,BC,

CD,上的点，且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将△ABD

沿3。折起，得到空间四边形A3CD,在折起过程中，下列说法正确的是(C)

A

EX^\H

A.直线EEHG有可能平行

B.直线EFHG一定异面

C.直线ER,HG一定相交，且交点一定在直线AC上

D.直线EEHG一定相交，但交点不一定在直线AC上

AEAH1

［解析］,:BE=2AE,DH=2HA,，赤=丽=］，

则EH//BD,且EH=^BD,

CFCC

又CF=2FB,CG=2GD,，赤DF=L"j=U2,

2

则FG//BD,且FG=qBD,

.,.EH//FG,且EHrFG,

二四边形ERGH为平面四边形，故直线EF,HG一定共面，故B错误；若

直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH=GF,与EHWFG

矛盾，故A错误；

12

由EH〃FG,且EH中FG,EH=qBD,FG=qBD,可得直线石尸，HG一定

相交，设交点为。，则。GER,又ERU平面A3C,可得0G平面ABC,同理,

0G平面ACD,

而平面A3CA平面ACD=AC,：.O^AC,即直线ER,HG一定相交，且交

点一定在直线AC上，故C正确，D错误.故选C.

8.过正方体ABCD-AiBiCiDi的顶点A作直线I,使I与棱AB,AD,AAi

所成的角都相等，这样的直线/可以作（D）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

［解析］如图，连接体对角线AC,显然AC与棱A3,AD,AAi所成的角都

相等，所成角的正切值都为啦.

联想正方体的其他体对角线，如连接3D1,则3D1与棱3C,BA,BBi所成

的角都相等，因为BC//AD,

所以体对角线3D与棱AB,AD,A41所成的角都相等，

同理，体对角线AC,DR也与棱AB,AD,A4i所成的角都相等，即过A

点分别作AiC,的平行线都满足题意，故这样的直线/可以作4条.故

选D.

二、多选题

9.（2022.吉林长春质检改编）下列命题中的真命题是（AC）

A.若△ABC的三条边所在直线分别交平面a于尸，Q,R三点,则P,Q,

R三点共线

B.若直线a,6是异面直线，直线6,c是异面直线，则直线a,c是异面直

线

C.若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线/于A,B,C三点，则这四

条直线共面

D.对于三条直线a,b,c,若a_Lc,》_La,则c〃6

［解析］由公理3,A正确；易知B错误；C正确；若a,b,c是过长方体

一顶点的三条棱，则D错误，故选AC.

10.如图，在正方体中，A、B、C、。分别是顶点或所在棱的中点，则A、

B、C、。四点共面的是（ACD）

DB

yyi

［解析］在A、D中AB〃CD,在C中A3、CD相交，在B中A3、CD异面，

故选ACD.

11.（2024河北秦皇岛部分学校联考）如图为一正方体的展开图、则在原正方

体中（BCD）

A.AB//CD

B.ABLCD

C.直线A3与ER所成的角为60°

D.直线CD与ER所成的角为60。

［解析］画出原正方体如图所示，由图可知：A3与CD不平行，A选项错误；

根据正方体的性质可知BH=AG,所以四边形A3HG是平行四边形，

所以而GHLCD,所以ABLCD,所以B选项正确；根据正方体的性

质可知，△ABC是等边三角形，直线A3与EF所成的角为NA4C,所以直线A3

与ER所成的角为60。，C选项正确；又△EFD是等边三角形，直线CD与EF

所成的角为NRCD,所以直线CD与ER所成的角为60。，D选项正确.故选BCD.

A(F)G

12.(2024.江苏泰州中学调研)如图，正方体A3CD—AbBiGDi的棱长为a,

线段BbDi上有两个动点E,F,且EF=拳j,以下结论正确的有(ABC)

A.ACJ.BE

B.点A到平面3ER的距离为定值

C.三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-AiBiCiD｝体积的七

D.异面直线AE,所成的角为定值

［解析］对于A,根据题意，AC±BD,ACXDDi,且所以

AC,平面BDDLBI,而3EU平面BDDLBI,所以ACL3E,所以A正确；对于B,

A到平面BDDiBi的距离为定值，所以点A到ABEF的距离为定值，所以B正确；

对于C,三棱锥A—BEF的体积为VABEF=^X^EFABBBi-sm45。=与专

a-aX^a=^a3,三棱锥A-BEF的体积是正方体ABC。一ALBCLDI体积的4,

所以C正确；对于D,当点E在》处，R为DLBI的中点时，异面直线AE,BF

所成的角是NFSC,当E在DBi的中点时，R在Bi的位置，异面直线AE,BF

所成的角是NEA41,显然两个角不相等，命题D错误.故选ABC.

三、填空题

13.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi中，。为上底面的中心，则AO与BiC

所成角的余弦值为

［解析］解法一：设A3、BiCi,CC的中点分别为H、M、N,连接。M,

MH,HN,MN,易知MH//AO,MN//B1C,NHMN或其补角为A0与BiC

2

所成的角，设AB=2,则MN=W，MH=NH=丑:.cos/HMN=J^=¥.

AHB

解法二：如图建立空间直角坐标系，设A3=2,

则次=(1,-1,-2),函=(2,0,2),记A。与BiC所成的角为1则cos。

\OACBi\_2_^3

|O4||CBi|加X2/6

14.(2022.浙江百校高三下学期开学联考)如图，在边长为2的正方体A3CD

—ALBCLDI中，E,R分别为棱CD,DDi的中点，则平面3ER截该正方体所得

9

截面的面积为

F-7/D

\/E

［解析］连接34、CDi,由E、F分别为CD、的中点知ER^统

所以平面截正方体所得截面为等腰梯形ALBER,且EF=yfi,AiB=2P,

BE=y［5,该梯形的高h=ylBE2-(^lB~EF^2=^,二该截面的面积为:(ALB

9

+EF)-h=2-

15.在正方体A3CD—ALBCLDI中，过点。作直线/与异面直线AC和3。

所成的角均为仇则。的取值范围为

［解析］如图，因为AC〃ACi,所以NBC14或其补角为异面直线AC和BCi

所成的角.因为AC=301=43,所以△ALBCI是等边三角形，所以=

60°,过点3作直线/的平行线-,则当-与NBC1A1的角平分线平行时，。取

nn

得最小值为。.故。的取值范围为

306,2

B组能力提升

1.(2022.甘肃诊断)在棱长均相等的四面体。43c中，M,N分别是棱。4,

3c的中点，则异面直线MN与AB所成的角的大小为(B)

A.30°B.45°

C.60°D.901

［解析］解法一：取的中点H,连接MH、NH、ON、AN,因M为0A

为中点，统上归，或其补角为MN与A3所成的角.设四面体的

棱长均为2a,则由题意易知MH=HN=a,MN=y［2a,：.MH2+HN2=MN2,：.

ZMHN=9Q°,从而/HMN=45°.故选B.

解法二：不妨设四面体棱长均为2,记检=a,AC=b,M）=c,则|a|=|Z>|

=|c|=2,ab=bc=ac=2,又访/=<（"+万一c）,记异面直线MN与AB所成的

角为仇则COS。="回=-^^=坐，故选B.

\AW\-\a\<2X224

2.（202年河南实验中学开学考）如图，在直三棱柱ABD-AiBrDi中，AD=

BD=AAi,ZDAB=45°,P为BDi的中点，则直线3尸与ADi所成的角的余弦

值为（B）

A.fB.f

C.#D.中

［解析］解法一：取3。中点E,连接ED,AE,直三棱柱ABD—AiBbDi中,

AD=BD=AAi,ZDAB=45°,P为B1D1的中点,：.PDi//BE,PDi=BE,.•.四

边形BEDiP是平行四边形，PB〃DiE,ZADiE是直线PB与ADi所成的角(或

所成角的补角)，令AD=BD=AAi=2,则NA3D=45。，且AD±DE,：.AE=

ylAD2+DE1=y[5,ADi=y]AD2+DDi=2^2,»石={5西万万=小，/.cosZ

ADiE=也母嚼泮=千，二直线PB与AD所成的角的余弦值为邛.故选

B.

解法二：由题意可知A。、BD、DDi两两垂直，如图建立空间直角坐标系,

设AD=2,3P与ADi所成角为。.则四i二(—2,0,2),丽=(0,-1,2),Acos0=

丽1•两4VT5

,.故选B.

\ADi\-m2啦X#5

3.（多选题）（2024.广东广州执信中学摸底）已知a,4c是两两异面的三条直

线，a_L。，c_l_a,直线d满足d_l_a,d_LO,aAd=P,bAd=Q,则c与d的位

置关系可以是（BC）

A.相交B.异面

C.平行D.垂直

[解析]如图，在正方体A3CD—ALBCIDI中，直线a,b,d如图所示.c

为EDi（E为A4i上不与A、Ai重合的点）时与d异面，B正确；c为DDi时与d

平行，C正确；若c与d相交，则a垂直于c,d确定的平面，又a垂直于。，d

确定的平面，则6,c,d在同一个平面内，即6与c共面，与已知矛盾，A错误；

若c与d垂直，则c垂直于a,d确定的平面，而6垂直于a,d确定的平面，推

出6与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，故选BC.

4.（多选题）用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原

来的几何体可能是（ACD）

A.长方体B.圆台

C.四棱台D.正四面体

［解析］对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几

何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；

对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；

对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所

得截面的形状是正方形，故C正确；

对于D：如图所示正四面体S—ABC,将其放到正方体中，取S3的中点E,

SC的中点。，取A3的中点孔AC的中点G,依次连接EEFG、GD、DE,则

截面DEFG为正方形，故D正确；故选ACD.

5.（多选题）（2023•河北衡水中学模拟）如图，正方体A3CD—ALBICLDI的棱长

为1,以下结论正确的是（ABD）

A.异面直线4。与AB所成的角为60°

B.直线AiD与3cl垂直

C.直线4。与平行

D.三棱锥A—ACD的体积为上

［解析］连接在正方体A3CD—ALBICIDI中，5C〃ALD,所以NABC（或

其补角）为异面直线4。与AB所成的角，又在正方体A5CD—ALBICLDI中，AC

=BiC=ABi=^2,所以△ABC为等边三角形，所以NA3iC=60。，故A正确；

连接BiC,在正方体ABCD-AiBiCiDi中，BiC//AiD,又在正方体ABCD-

ABCbDi中，BiC±BCi,所以直线AD与3cl垂直，故选项B正确；若直线4。

与平行，则Ai,B,D,Di四点共面.又Ai,D,Di在侧面ADDiAi上，则

点3也应在侧面ADDAi上，这与正方体相矛盾.所以直线4。与3D不平行，

故选项C不正确；三棱锥A—A1CD的体积VA-AlCD=Vc-AAlD=-jXS^AAlDXAB=^

X^X1X1X1=1,所以选项D正确.故选ABD.

6.（2024.安徽皖东智校协作联盟联考）如图，在棱长为。的正方体A3CD—

AI1C1D1中，M,N分别是AAi,CiDi的中点，过。，M,N三点的平面与正方

体的下底面AiBiCiDi相交于直线I.

(1)画出直线/的位置，并说明作图依据；

(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积.

［解析］(1)延长DM交DiAi的延长线于E,连接NE,则NE即为直线/的

位置.

'：DMHDiAi=E,:.EGDMU平面DMN,ECDiAiU平面

.♦.EW平面DMNn平面A1B1C1D1,，ENU平面DMNn平面AiBiCiDi,则

NE即为直线l的位置.(也可根据线面平行性质确定直线位置).

(2)设直线I与交于点P,则P为AiBi四等分点，正方体被平面DMN

截成两部分，较小部分为三棱台AiPM—DiND,V=3(SAA］PM+SAD/D+

SAA]PM-SAD]DN>AIDI

A

M

A

E提能训练练案［42］

ftA组基础巩固9

一、单选题

1.(2023弓可南郑州、商丘名师联盟联考)过平面a外的直线/,作一组平面与

a相交，若所得交线为a,b,c,…，则这些交线的位置关系为(A)

A.平行或交于同一点B.相交于同一点

C.相交但交于不同的点D.平行

［解析］若/〃a,则/〃a,l//b,l//c,…，，a〃6〃c….若/na=P,则a,

b,c,…交于点P.

2.(2022•黑龙江大庆让胡路区联考)已知〃是直线，a是平面，JLm//a,

则下列结论中正确的是（B）

A.nUa,都有机〃〃B.3使机_L〃

C.n//m,都有"〃aD.En^_a,使相〃〃

［解析］由加，〃是直线，a是平面，且相〃a,得：对于A,V〃UQ,则加,

〃平行或异面，故A不正确；对于B,Bn^a,使机_L〃，故B正确；对于C,

\/n//m,则〃〃a或〃UQ,故C不正确；对于D,若〃_La,因为用〃a,所以相

J_n,故D不正确，故选B.

3.（2023•山东济宁期末）已知加、〃为两条不重合的直线，a、£为两个不重

合的平面，则下列说法正确的是（C）

①若根〃a,R//§豆a//则加〃"

②若根〃〃，ml-a,〃_L£,贝Ua〃4

③若加〃几，nUa,a〃/，m邛,则加〃夕

④若加〃几，ri-La,a.L/3,则加〃夕

A.①②B.①③

C.②③D.②④

［解析］在①中的条件下，加〃〃或用与几相交或相、〃异面，①错;

mHnn-La

又0‘今。"B，②正确;

n邛,

n///3y

m//n\^m//13,③正确;

m邛J

milnmIa

.\今m〃B或mup,④错，故选C.

n.LaJa邛.

4.（2023•广东湛江调研测试）如图，在长方体ABC。一ALBICLDI中，M是棱

CLDI的中点，则（D）

A.BiC〃平面ALBM

B.ALBI〃平面

C.〃平面ACDi

D.BCi〃平面AiMC

［解析］因为3IC〃ALD,4。与平面ALBM相交，所以&C与平面ALBM不

平行，故A错误；因为ALBI〃A3,A3与平面相交，所以ALBI与平面

不平行，故B错误；取A3的中点E,连接DiE（图略），则DiE〃BM.因为DiE

与平面ACDi相交，所以与平面ACDi不平行，故C错误；取ALBI的中点N,

连接CMBN（图略），易知平面3GN〃平面4MC,故D正确.

5.如图，在正方体A3CD—ALBICLD］中，E,R分别为棱A3,CCi的中点，

在平面ADD14内且与平面DiER平行的直线（D）

A.不存在B.有1条

C.有2条D.有无数条

［解析］由题设知平面ADDiA与平面DiER有公共点。1,由平面的基本性

质中的公理知必有过该点的公共直线/,在平面ADD14内与/平行的线有无数条,

且它们都不在平面DxEF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面DiEF平行.

6.（2024.陕西汉中校际联考）设a,夕，/为不同的平面,m,〃为不同的直线,

则a/邛的一个充分条件是（B）

A.a_Ly,jB-Ly

B.m_La,几_L£,m//n

C.a内有无数条直线与夕平行

D.a内有不共线的三点到夕的距离相等

ml.a,n.La,

［解析］如图,可知A错误;m//n今2,

7

a

//P，B正确；由图/二，可知C错误；符合条件D的平面可能

相交，D错误.

7.(2022.西南名校联盟月考)如图，在正方体A3CD—A山CLDI中，点M为棱

BC的中点，用平行于体对角线BDi且过点A,M的平面去截正方体ABCD-

AiBiCiDi,得到的截面的形状是(C)

A.五边形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

［解析］设截面为a,；皮平面3DbDna=0P,...3Di〃0P,且器

BOBM1

=OD=AD=2,

又设an平面BC1=MN,则由平面AD1〃平面3C1,aA平面ADi=AP,ctA

平面3Ci=MN知A尸〃MN,显然APWMN,，截面AMNP为梯形，故选C.

8.(2022.安徽安庆模拟)在正方体A3CD—ALBIGDi中，M、N、。分别是棱

2

DiCi,AiDi,3c的中点，点P在上且3尸=三。1,则下列说法中正确的个

数是(B)

①MN〃平面APC②GQ〃平面APC③A、P、M三点共线④平面MNQ

〃平面APC

A.1B.2

C.3D.4

［解析］对于①，连接MN,AC,则MN〃AC,连接AM、CN,

5M£

AB

易得AM、CN交于点P,即MNU平面APC,

所以MN〃平面APC是错误的；

对于②，由①知M、N在平面APC内，由题易知AN〃CQ,所以〃平

面APC是正确的；

对于③，由①知，A,P,M三点共线是正确的；

对于④，由①知MNU平面APC,又MNU平面MNQ,所以平面MNQ〃平

面APC是错误的.故选B.

二、多选题

9.(2023・湖北荆州中学期末)下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方

体中，下列叙述正确的有(ACD)

A.AHLFC

B.AC//BG

C.3。与RC所成的角为60°

D.AC〃平面3EG

［解析］将平面展开图以ABCD为下底面，折起还原为正方体，各顶点的字

母标记如图所示，连接DE,AH±DE,FC//DE,：.AH±FC,故A正确；AC

//EG,EG与BG相交，，AC与3G显然不平行，故B错误；

'SDE//CF,为等边三角形，:./BDE=60。,故异面直线3。与RC

所成的角为60°,故C正确;

：AC〃EG,ACC平面3EG,EGU平面BEG,，AC〃平面BEG,故D正确.故

选ACD.

10.（2024.广东佛山南海区摸底）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方

体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A3与

平面MNQ平行的是（BCD）

［解析］0Q〃A3,。。与平面MNQ是相交的位置关系，故A3和平面MNQ

不平行，故A错误；

A

Q

由于AB〃CD〃MQ,结合线面平行判定定理可知A3〃平面MNQ,故B正

确；

由于AB〃CD〃MQ,结合线面平行判定定理可知A3〃平面MAQ,故C正

确；

由于A3〃CD〃N。，结合线面平行判定定理可知A3〃平面MNQ,故D正

确；故选BCD。

三、填空题

11.（2023•广西桂林二模）已知a,b,c为三条不重合的直线，a,4为两个不

重合的平面，给出下列四个命题：@a//b,b//c^a//c；@a//a,b//a=^a//b；

@a//a,p//a^a//p；④屋ta,"a,a〃。0a〃a.其中正确的命题是一①④一.（写

出所有正确命题的序号）

［解析］根据线线平行的传递性，可知①正确；若。〃a,b//a,则a,6可

能平行、相交、异面，故②不正确；若。〃a,p//a,则a〃4或aU.,故③不正

确；由线面平行的判定定理可知④正确.故正确的命题是①④.

12.已知平面a〃A，点A,CGa,B,D”直线A3与直线CD父于点S,

且AS=8,BS=9,CD=34,则CS的长为16或272.

［解析］本题主要考查两平面平行的性质定理.①当点S在两平行平面之间

时，如图1所示，:•直线A3与直线CD交于点S,直线A3与直线CD可确定一

ASCSAS

加+班

个平面％且any=AC,40/=3。「.七〃小，AC〃JBD,.•.通=而，即

=号，得?="，解得CS=16.②当点S在两平行平面的同侧时，如图2所示,

8

即-

由①知AC//3D,则有衣=9CS+34'解得

ndCS=272.

13.（2022.江西南昌模拟）在直三棱柱ABC—AB。中，D,E,F,M,N分

别是3C,BiCi,AAi,CCi,AC的中点，

给出下列四个判断：

①ER〃平面ADBi；

②〃平面ADB；

③EN〃平面AD31；

④平面ADR；

则错误的序号为一①

［解析］由AiE〃AD,EC〃3LD易知平面ADBi〃平面ALEC,显然ER与平

面AiEC相交，从而ER与平面ADR相交，①错；又EM与BLD相交，从而EM

与平面AD为相交，②错；由ENU平面AEC知EN〃平面AD51,③对；又

与平面AiEC相交，从而与平面ADBi相交，④错.

四、解答题

14.（2023•天津联考（节选））已知底面ABCD是正方形，以，平面A3CD,PA

//DQ,R4=AD=3DQ=3,点E、R分别为线段P&CQ的中点.

求证：EE〃平面必。。.

［证明］证法一：分别取DQ、出的中点M,N,连接EN,FM,MN.

由E为尸3的中点知EN^AB,

同理尺CD,

又A3CD为正方形，：.AB^CD,

:.EN统FM,.♦.EAM'为平行四边形，

又EFQ平面PADQ,MNU平面PADQ,

〃平面PADQ.

证法二：分别取A3、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH,

又E、R分别为线段PS、CQ的中点.

所以EG〃必，FH//QD,

因为必〃DQ,所以EG〃FH,

所以点E、G、H、歹四点共面，

因为G、H分别为A3、CD的中点，所以GH〃AD,

因为ADU平面ADQP,平面ADQP,所以GH〃平面ADQP,

又因为FH//QD,QDu平面ADQP,FHQ平面ADQP,所以FH//平面ADQP,

又因为FHCGH=H,FH、GHU平面EGHR,

所以平面EGHF〃平面ADQP,

因为EFU平面EGHF,所以EF//平面ADQP.

证法三：因为A3CD为正方形，且以，平面A3CD,所以AP、AB.AD两

两互相垂直，

以点A为坐标原点，以A3、AD,AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下

图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,3)、C(3,3,0)、Q(0,3,l)、3(3,0,0)、E1|,0,|)、«|,3,

所以前=(0,3,-1),易知平面必DQ的一个法向量。=(1,0,0),所以a•而=

0,所以前，a,

又因为EFQ平面ADQP,所以EF//平面ADQP.

15.(2024.四川南充零诊(节选))如图，在圆锥。。中，。为圆锥顶点，AB为

圆锥底面的直径，。为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形。4ED为矩

形，且AC=1,3C=小.若R为3c的中点，求证：DR〃平面ACE.

［证明］证法一：连接DR、OF,

在△ABC中，0、R分别为A3、BC的中点，

所以OR〃AC,

因为ACU平面ACE,。闪平面ACE,

所以OR〃平面ACE,在矩形OAED中，OD〃AE,

同理可得。。〃平面ACE,

又。R0。。=。，OF,ODU平面。。凡

所以平面ODR〃平面ACE,

因为DRU平面ODF,

所以DR〃平面ACE.

证法二：延长3D、AE交于H,连接HC,

YAODE为矩形，

：.OD//AE,

又。为A3的中点，

二。为的中点，

又R为3C的中点，

S.DF//HC,

又DRI平面ACE,

HCU平面ACE,

二。R〃平面ACE.

证法三：取AC的中点H,连接FH,

DE

C

：R为3C的中点，，FH^AB^AO,

又AODE为矩形,

：.AODE,S.FH^DE,

即FHED为平行四边形,

S.DF//EH,

又DR1平面ACE,EHU平面ACE,

〃平面ACE.

B组能力提升

1.(2024.福建莆田八中月考)如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,

有以下判断:

①EC,平面ARN

②CN〃平面AEB

©BM//DE

④平面3DE〃平面NCF

其中正确判断的序号是(C)

A.①③B.②③

C.①②④D.②③④

［解析］还原正方体如图ECLAR,EC1FN,从而EC,平面ARN,••.①正

确；平面CMW〃平面ABR,；.CN〃平面ABR,...②正确；5MLDE,.♦.③错误;

NF//BD,FC//DE,平面3DE〃平面NCR,.•.④正确.故选C.

2.（多选题）（2022.辽宁沈阳模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形,

AB//CD,则（ABD）

A.平面PAD内任意一条直线都不与3C平行

B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行

C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行

D.平面以。和平面P3C的交线不与底面A3CD平行

［解析］若平面心。