77-二重积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、曲顶柱体体积一、二重积分概念柱体体积=底面积

╳高第七节二重积分1第1页播放求曲顶柱体体积采取“分割、取近似、求和、取极限”方法，以下动画演示．2第2页1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“取近似”在每个则以平带曲中任取一点小曲顶柱体3第3页4)“取极限”令3)“近似和”4第4页2、二重积分定义5第5页积分区域积分和被积函数积分变量被积表示式面积元素即什么样函数可积呢？在二重积分定义中，对闭区域划分是任意，取点是任意.6第6页假如在D上可积,这时分区域D,可用平行坐标轴直线来划则面积元素为故二重积分可写为引例1中曲顶柱体体积:7第7页二重积分几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值．8第8页(1)若(2)若偶倍奇零回想:在一元函数定积分学中,假如积分区间对称性与被积函数奇偶性相结合则有更详细,问题:多元函数重积分有没有类似规律?9第9页设函数D位于x轴上方部分为D1,在D上在闭区域D上连续,(1)设域D关于x轴对称(关于变量y对称性),则则DD位于y轴右侧部分为D2,在D上(2)设域D关于y

轴对称(关于变量x对称性),则则10第10页(3)域D关于原点对称,则则在第一象限部分,则有想几何图形11第11页3、二重积分性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D面积.

性质2线性性质

这里A为D面积.

性质112第12页性质4性质3区域可加性

推论1推论2保号性保序性13第13页性质5估值性质证所以于是14第14页性质6(二重积分中值定理)几何意义：曲顶柱体体积=某一点平顶柱体体积是离散平均值在连续上代替物15第15页abxyo假如积分区域为D：1、在直角坐标系下计算二重积分二、二重积分计算

X型区域特点：

穿过区域内部且平行于y轴直线与区域边界相交不多于两个交点.abxyo16第16页dxyoc假如积分区域为：

Y型区域特点：穿过区域内部且平行于x轴直线与区域边界相交不多于两个交点.17第17页已知平行截面面积立体体积设所给立体垂直于x

轴截面面积为A(x),则对应于小区间体积元素为所以所求立体体积为上连续,回想---微元法主要应用18第18页设曲顶柱底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体曲边梯形19第19页积分区域为：普通地，——先对y积分，后对x积分二次积分记为abxyo20第20页dxyoc假如积分区域为：——先对x

积分，后对y积分二次积分21第21页说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还能够交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则22第22页

2.计算方法步骤

画D计算分步写D选型说明选型二要素:不或少分区

f(x,y)可或易积若D域为复杂型,或分区或另选坐标系23第23页将化为二次积分,其中

D

由直线围成。解法1先画出积分区域D，将D

向y

轴投影，先x后y,例1xyo24第24页xyo解法2先y后x,

将D

向x

轴投影,25第25页例2.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则看成X型域或Y型域都行，而且计算量一样大26第26页解例3先求两曲线交点先对

y

积分，27第27页解例4只能先积分x，先积分y是无法计算28第28页例2’.计算其中D是直线所围成闭区域.解:

由被积函数可知,所以取D为X–型域:先对x

积分不行,只能先积分y，先积分x是无法计算29第29页计算积分需要注意问题初等函数原函数不一定是初等函数,所以不一定都能积出.比如

,30第30页解例5先x后y,两曲线交点31第31页解例5两曲线交点选择积分次序标准：

若选择先y后x,(1)积分轻易；

(2)尽可能少分块或不分块.

麻烦。32第32页例4.求两个底圆半径为R直交圆柱面所围体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体顶为则所求体积为33第33页34第34页解例635第35页解积分区域为将D

向y

轴投影,

改变积分次序.例7说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.36第36页解设则例8交换下面积分次序:37第37页设将D

向y

轴投影,38第38页例9交换下面积分次序:39第39页例4’.交换以下积分次序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则40第40页利用对称性简化二重积分计算设积分区域D关于y

轴对称，yxox-x(1)若f(x,y)关于

x是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于x是偶函数，则有其中是D右半区域。41第41页利用对称性简化二重积分计算设积分区域D关于x轴对称，(1)若f(x,y)关于

y

是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于x是偶函数，则有其中是D上半区域。yxo42第42页例10设有平面区域解oxy利用对称性简化二重积分计算43第43页解oxy选(A).44第44页例11求二重积分解oxy区域D分别对称于x轴和y轴，45第45页2、在极坐标系下计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：

1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D边界用极坐标表示较为简单；

2)被积函数含有等形式时,用极坐标积分较为轻易.

直角坐标与极坐标转换关系为：

46第46页所以面积元素为47第47页二重积分化为极坐标下二次积分公式区域特征如图48第48页答:问

改变范围是什么?(1)(2)注意:原点位置与区域关系尤其,对49第49页解例12在极坐标系下,xyo50第50页解51第51页例13解区域D关于y轴对称，用极坐标，xyo52第52页xyo53第53页例.

n

为偶数n

为奇数回想上册书中,一个惯用定积分公式偶数次用倍角公式降低次数54第54页例14解直接做麻烦,化为极坐标,55第55页例15解所以在极坐标系下,圆方程为直线方程为56第56页解计算二重积分例16由区域对称性和函数奇偶性，可只考虑第一象限部分，xyo57第57页解法1例17xyo58第58页所以59第59页xyo解法2例17用直角坐标系，先对

x积分，60第60页所以61第61页例18解62第62页求曲顶柱体体积采取“分割、取近似、求和、取极限”方法，以下动画演示．63第63页求曲顶柱体体积采取“分割、取近似、求和、取极限”方法，以下动画演示．64第6