2025届北京市西城区月坛中学高三下学期阶段性练习数学试题

2025届北京市西城区月坛中学高三下学期阶段性练习数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，2．若（），，则（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．13．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．72种4．是虚数单位，则（）A．1 B．2 C． D．5．已知函数，则（）A． B． C． D．6．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为()A．1 B． C． D．7．已知集合，则元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．48．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D．2016年与2019年艺体达线人数相同9．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①以为直径的圆与抛物线准线相离；②直线与直线的斜率乘积为；③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．其中，所有正确判断的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．11．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，，的概率为（）A． B． C． D．12．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．14．曲线在点处的切线方程为________.15．已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（λ），则实数_____.16．已知x，y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）18．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.19．（12分）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求实数的取值范围．20．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.21．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.（1）求线段的长；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知两数．（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，若恒成立，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果2、A【解析】

利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.【详解】由于（），，所以，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.3、C【解析】

先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.【详解】不同分配方法总数为种.故选：C【点睛】此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.4、C【解析】

由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.5、A【解析】

根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【详解】依题意，.故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.6、B【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.7、B【解析】

作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.8、A【解析】

设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.9、D【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.【详解】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以①正确．由题意可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所以．则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．由上，有，，则．所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正确．故选：D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.10、B【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.11、B【解析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”，记事件“恰好不同时包含字母，，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”记事件“恰好不同时包含字母，，”为，则.故选：B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．12、D【解析】

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，根据正四棱锥的侧面积求出的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.【详解】如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，，，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.14、【解析】

求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.【详解】由于，，所以，由点斜式可得切线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.15、1【解析】

根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．【详解】∵向量与的夹角为，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案为：1．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．16、3【解析】

先根据约束条件画出可行域，再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x，y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y，即平移直线y=2x-z，截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A（12，z在点A处有最小值：z＝2×1故答案为：32【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】

（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，对照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.18、(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】

(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，，则，互为独立事件由已知有，则解得，则的最小值（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.①设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，，则有，，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：，所以生产线上挽回的损失较多.②由已知得的可能取值为，，，用样本估计总体，则有，，所以的分布列为所以（元）故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）【点睛】本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、(1)(2)当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．【解析】

（1）当时，分类讨论把不等式化为等价不等式组，即可求解．(2)由绝对值的三角不等式，可得，当且仅当时，取“”，分类讨论，即可求解．【详解】（1）当时，，不等式可化为或或，解得不等式的解集为．(2)由绝对值的三角不等式，可得，当且仅当时，取“”，所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）在中，，，，，，