2024-2025学年下学期高二数学第五章B卷

第五章B卷

选择题(共8小题)

1.若两曲线>=/网与/=。？+1存在公切线，则正实数。的取值范围为()

A.(0,|e-3]B.(0,2e]

1

C.[2e-3/+oo)D.[2e,+°°)

2.已知函数/(x)=ax+e^-(l+/〃a)x(a>0,aWl),对任意xi，孙曰0,1],不等式|f(xi)-f(%2)I

Wa/〃a+e-4恒成立，则a的取值范围是()

1

A.〔2，e]B.[2,e]C.[e,+°°)D.(e,+°°)

3.设函数/(x)=(x+a)(x-1)2,则“a=-1”是“f(x)没有极值点”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知函数/(x)的定义域为(-8,o),/(-1)=-1,其导函数/(尤)满足;(x)-2f(x)>

0,则不等式/(x+2025)+(x+2025)2<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-8,-2026)D.(-8,-2025)

5.若。=竽，b=c=等，则以下不等式正确的是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

6.若函数/(x)-x+1(”ER)在我，+8)上单调递增，则〃的取值范围是()

11

A.[0,+°°)B.(0,+°°)C.[g,+8)D.(g/+8)

7.若VxER满足*1,则实数〃的取值范围是()

A.-1VQVOB.QW_2C.e<〃V-2D.a>~2

8.已知函数/(x)的导函数/(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.函数/(x)有最小值

B.函数/(x)有最大值

C.函数/(%)有且仅有三个零点

D.函数/(x)有且仅有两个极值点

­.多选题(共4小题)

(多选)9.已知函数/(x)=x3-6x2+ax+b(a,i>GR),则下列选项正确的有()

A.f(x)的图象关于点(2,f(2))中心对称

B.若不等式/(x)<0的解集为｛x|x<4且尤W1｝,则x=3是/(x)的极小值点

C.若不等式/(无)<0的解集为｛木<4且xWl｝,贝。当0<x<l时，f(x)<f(x2)

D.若不等式/(x)>0的解集为｛x|x>%且n-/77=6,则/(尤)的极大值为32

(多选)10.已知函数/(x)=x/,则下列说法正确的是()

A.f(x)的值域为e，+oo)

B.x=-1是/(无)的极小值点

C.若/(XI)=X2lnX2=l>则X1X2=1

D.若过点尸(a,0)的曲线(尤)的切线有且仅有两条，则。的取值范围为(-8,-4)U(0,

+8)

(多选)11.已知函数/(x)=i%3—2ax2+3x+l(a£R),则下列结论正确的是()

A.若/(%)在x=2处的瞬时变化率为3,则a=0

B.当〃=1时，函数/(%)在区间［0,4］上的最小值为1

C.若八X)在R上单调递增，则。2昱

D.若/(X)有三个零点XI，尤2，X3，则尤1X2X3=-3

(多选)12.已知函数/(x)(xH-3,5］)的导函数为/(x),若f(x)的图象如图所示，则下列说法正

确的是()

C./(无)在x=-2处取得极小值

D.f(x)在x=l处取得极大值

三.填空题(共5小题)

13.已知函数/(%)=—ax2—3a2xQaeR),则/(2a-l)</(-a)的解集为.

14.若函数/(%)=%+(+3)x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是.

15.已知函数/(尤)=a/-x-1有两个零点xi，小且R<尤2.设〃为常数，当a变化时，nx\+x2+(n+1)

有最小值e,则常数n的值为.

16.法国数学家拉格朗于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=/(x)满足如下

两个条件：(1)其图象在闭区间［a,切上是连续不断的；

(2)在区间(a,b)上都有导数，则在区间y=f(x)上至少存在一个数"使得于S-/(a)=/

(VCb-a),其中己称为拉格朗日中值.

函数g(x)=阮叶尤在区间［1,2］上的拉格朗日中值孑=.

17.已知/(x)=证12+x)-］比)2,若对于任意的x6(-8,—1)u+oo),f(x-a)<f(3x)

恒成立，则a的取值范围是.

四.解答题(共5小题)

18.已知函数/(x)=e^-ax+1.

(1)若a=0时，求曲线/(x)在(1,/(D)处的切线方程；

⑵若l<a<e时，/(无)在区间［0,1］上的最小值为3-2/”2,求实数a的值.

19.已知曲线/(x)=/(尤+1).

(1)求/(x)在尤=1处的切线方程.

(2)若函数g(x)=f(x)-3，-机有两个零点，求实数相的取值范围.

20.已知函数/(x)g(x)=lnx.

(1)若〃=0,求证：g(x)<x<f(x)；

(2)若方程/(x)=g(x)-4有2个不同的解，求实数。的取值范围.

21.2知函数/(%)=*.

(I)求/(%)在区间［-2,2］上的最大值和最小值；

(II)若％=0是函数g(x)=f(a)f(x)+sinx的极值点.

(i)证明：-2/〃2V〃V0；

(ii)讨论g(x)在区间(-IT,n)上的零点个数.

22.已知函数/(x)=得/+一5%+b在x=5处取得极小值，且极小值为-33.

(1)求〃，/?的值；

(2)求/(%)在［-2,0］上的值域.

第五章B卷

参考答案与试题解析

题号12345678

答案CCCBDADA

选择题(共8小题)

1.若两曲线>=/网与>=。？+1存在公切线，则正实数。的取值范围为()

A.(0,9力B.(0,2e]

1

C.[2e-3/+oo)D.[2e,+°°)

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，构建函数模型，通过函数思想，即可求解.

【解答】解：设两曲线的公切线切曲线于点(xi，InxO,切曲线y=a/+l于点(m，a好+1),

1?

又(bvc)'=一，(ax+1)'=2ax,

x

・••则在(xi,InxO处的切线方程为：

71,、

y-lnxr=-(%-%!),

I—=2ax2

••・根据题意可得{41,

Ia%2+1—仇%]=—(x-xi)

IX12

a1

zT+1-ITIX^=-1?

4ax1-2ax1

.11

-----7+2—lnx=-----7，

4ax^A2ax{

.1

••=2ITLX-I,

4ax^

/.—=%?(2—i),xi>0,

4a

设g(%)—x1(2-Inx),x>0,

.\g'(%)=x(3-2lnx),x>0,

3

・••令/(%)=°，可得x=e2,

3

.•・当旺(0,e2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

3

当xE(e2,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

33

1•g(X)的最大值为g(e2)=y,

1e3.i

—<——，〃>0,

4a22

・・・正实数〃的取值范围为[1e—Q3,+8).

故选：C.

【点评】本题考查导数的综合应用，函数的公切线问题的求解，函数思想，属中档题.

2.已知函数/(%)=(/+/-(1+加4)X(〃>0,aW1),对任意XI，X2E[0,1],不等式-f(X2)|

WRmz+e-4恒成立，则〃的取值范围是()

1

A.弓，e]B.[2,e]C.[e,+8)D.(e,+8)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】综合题；对应思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】由题意，利用导数得到了(%)在尤[0,1]是单调递增函数，将问题转化成立/(x)…-于3

min^alna+e-4,再求出了(%)s和/G)阳加列出等式求解即可.

【解答】解：易知alna+e-420,

因为/(x)=c^lna+ex-1-lna=(/-1)lna+ex-1,

当〃>1时，对任意的在[0,1],"-120,lna>0,

所以/(x)>0恒成立，

当OVQVI时，

当x£[0,1],-1^0,lna<0,ex-1^0,

所以/G)>0恒成立，

所以/(x)在尤[0,1]是单调递增函数，

若对任意XI，X26[0,1],不等式1/(%1)-/(X2)-4恒成立，

需)两f(%)max~f(X)minWdlria+C4,

因为r(x)max=f(1)=a+e-1-Ina,f(x)min=f(0)=1+1=2,

所以a+e-1-Ina-2^alna+e-4,

a-lna+\-alna^O,

整理得(1+a)(1-Ina}WO,

解得痴》1,

所以a》e,

当a》e时，a/w+e-4》0显然成立.

则a的取值范围为［＜?,+8).

故选：C.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力，属

于中档题.

3.设函数/(x)=(x+a)(x-1)2,则“a=-1”是'了(x)没有极值点”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】函数在某点取得极值的条件；充分条件必要条件的判断.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；简易逻辑；运算求解.

【答案】C

【分析】当a=-1时，利用导数判断函数/(x)的极值点，判断充分性；由/(无)没有极值点求解a

的值，判断必要性，从而可得结论.

【解答】解：当a=-1时，f(x)=(x-1)3,f(无)=3(x-1)2^0恒成立，

所以函数/(无)单调递增，没有极值点；

若/(x)没有极值点，则，(无)=(x-1)2+2(x+a)(x-1)=3(x-1)(x+得匚)20恒成立，

2a—1

由二次函数的性质可得二一=一1,解得a=-l,

所以“a=-1”是V(x)没有极值点”的充分必要条件.

故选：C.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档

题.

4.已知函数/(x)的定义域为(-8,o),/(-1)=-1,其导函数/(x)满足好•'(x)-2/(%)＞

0,则不等式/(x+2025)+(x+2025)2＜。的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-8,-2026)D.(-8,-2025)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】B

【分析】构造函数9。)=餐，判定其单调性计算即可.

【解答】解：根据题意可令gQ)=餐(尤V0)今g'(x)=""丐W<0,

所以g(x)=餐在(-8,0)上单调递减,

/(x+2025)

则原不等式等价于<-1,

(久+2025)2

由g(x+2025)=/(x+202当〈一1=(_1)0o>x+2O25>-1,

(x+2025)

解之得xe(-2026,-2025).

故选：B.

【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

5.若。=竽，b=^,c=等,则以下不等式正确的是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】将6=:变形为6=粤，构造函数/(%)=竽，xe(0,+8),利用导数研究其单调性，再结合

作差法比较即可.

【解答】解：因为a=苧，b=；=『,c=殍,

令/'(>)=华，定义域为(0,+8),贝|J/'Q)=上争，

当OVxVe时，f(%)>0,当时，f(x)<0,

所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

又因为2VeV3,所以/(2)V/(e),/(e)>/(3),

▽_1n2仇3_3ln2—2ln3_In8—ln9

乂/⑷―/⑴=3-=6=6〈U，

所以/(2)</(3),

所以/(e)>f(3)>f(2),即6>c>a.

故选：D.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

6.若函数/(x)=j1r+alnx-x+l(aeR)在成，+8)上单调递增，则a的取值范围是()

11

A.[0,+8)B.(0,+8)C.后，+oo)D.+8)

【考点】由函数的单调性求解函数或参数(导数法).

【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由已知结合导数与单调性关系进行转化，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解.

【解答】解：因为函数尤)=7+”阮c-x+1在技，+8)上单调递增，

所以/''(x)=2x+E-1NO在成，+8)上恒成立，

所以a》-2J?+X在g,+oo)上恒成立，

根据二次函数的性质可知，当后g时，-27+xW0,

故a20.

故选：A.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中

档题.

7.若VxCR满足1,则实数a的取值范围是()

A.-l<a<0B.aW-2C.e<a<-2D.a>-2

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】令/(x)=ex+a-x+l,对其求导，结合导数与单调性关系可求函数最小值，然后由不等式恒成

立与最值关系的转化即可求解.

【解答】解：令/(尤)="+a-x+l,

则/

当龙2-a时，f(x)》0,f(x)单调递增，当x<-a时，f(x)<0,f(无)单调递减，

故尤=-a时，函数取得最小值/(-a)=2+a,

由题意可得，2+a>0,即a>-2.

故选：D.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于基

础题.

8.已知函数/(x)的导函数，(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.函数/(x)有最小值

B.函数/(无)有最大值

C.函数/(无)有且仅有三个零点

D.函数/(x)有且仅有两个极值点

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.

【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据/(x)的图象判断出/(x)的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可.

【解答】解：由函数图象可知/(x)、/(x)的变化情况如下表所示：

X(-8,-1)(-1,1)(1,3)(3,+°°)

f(X)-+-+

/(X)/\/

由上表可知/(x)在(-8,-1)和(1,3)上分别单调递减，在(-1,1)和(3,+8)上分别单

调递增，

函数/(x)的极小值分别为了(-1)、/(3),其极大值为/(I).

对于A选项：由以上分析可知|/(x)]“浏=加〃(/(-1),/(3)},即函数/(%)有最小值，故A选项

正确；

对于B选项：由图可知当xf+8,有，(x)—+8,即/(x)增加得越来越快，

因此当xf+8,有/(x)f+8,所以函数尤)没有最大值，故3选项错误；

对于C选项：若有了(-I)<0,f(3)<0,则由零点存在定理可知函数/(x)有四个零点，故C选

项错误；

对于。选项：由上表及以上分析可知函数/(X)共有3个极值点，故。选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点，考查了转化思想，属中档题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.已知函数/(x)=x3-6x1+ax+b(a,beR),则下列选项正确的有()

A.f(x)的图象关于点(2,f(2))中心对称

B.若不等式/(无)<0的解集为｛x|x<4且xWl｝,则x=3是/(x)的极小值点

C.若不等式/(x)<0的解集为｛小<4且x#l｝,则当0<x<l时，f(x)<f(x2)

D.若不等式/(无)>0的解集为且x#〃｝,n-/77=6,则/(x)的极大值为32

【考点】利用导数求解函数的极值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】AB

【分析】直接利用导数，对函数进行求导再结合三次函数的性质求解即可判断.

【解答】解：对于A,f(x)-6x2,+ax+b=(x-2)3+(.a-12)(x-2)+6+8-2a,

所以/(x)+/<4-x)=2b+16-4a,

所以/(x)的图像关于点(2,f(2))中心对称，故A正确；

对于B,由题意不等式/(x)<0的解集为｛*x<4且xWl｝,

可得/(x)=x3-6x1+ax+b=(x-4)(x-1)2=x3-6x2+9x-4,

所以/(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),

所以当xe(-8,i)u(3,+8)时，f(x)>0,当比(1,3)时，f'(x)<0,

所以/(x)在(-8,1),(3,+co)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以x=3是/(无)的极小值点，故2正确；

对于C,由不等式/(x)<0的解集为｛x|x<4且尤#1｝结合8选项可知，/(%)在(0,1)上单调递增，

因为0</<尤<1,所以/(/)</(%),故C错误；

对于。，由题意不等式/(x)>0的解集为｛x|x>机且n-m=6,可得/(无)=x3-6x1+cuc+b=

(x-m)(x-n)2=x3-(2n+m),x2+(n2+2mn)x-mn2,

所以/(无)=3J？-(4n+2m)x+n2+2m=(x-n)[3x-(n+2m)],

令f(尤)=0,解得x=〃或犬=竺件，

因为n-m—6,

71+277172+2771

可得了（X）在（-8,n）,（---,+8）上单调递增，在（W,---）上单调递减，

所以当X="时，/（X）取得极大值，

所以/（〃）=0,所以/（x）的极大值为0,故。错误.

故选：AB.

【点评】本题考查了函数的性质、导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查

数学运算、逻辑推理核心素养，是中档题.

（多选）10.已知函数/（x）=%/,则下列说法正确的是（）

A./（%）的值域为g,+00）

B.x=-1是/（无）的极小值点

C.若/（xi）=xilnx2=l^则工1万2=1

D.若过点尸（办0）的曲线y=/（x）的切线有且仅有两条，则。的取值范围为（-8,-4）U（0,

+8）

【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】BCD

【分析】利用导数研究函数/（x）的单调性和极值，判断A,B-,由题意得引，&是函数y=，、函数y

=/质与函数y=，的图象的交点A,B的横坐标，根据函数y=，的图象与函数＞=/质的图象关于直线

y=x对称，可判定C；设出切点，写出切线方程，将点尸代入，化简后方程有两根，即可得到a的取

值范围，判断。.

【解答】解：函数/（无）=尤/,则/（x）=（尤+1）心

则当xe（-8,-1）时，f（%）＜o,当xe（-1,+8）时，/（%）＞0,

（X）在（-8,-1）上单调递减，在（-1,+8）上单调递增，

1

.•.%=-1是/0：）的极小值点，且/（—1）=—点

:.于（X）的值域为［―；,+8）,故A错误，B正确；

11

由f（xi）=%2伉&=1，可得e%i=—,lnx=—,

xi2x2

令XI,X2是函数y=/、函数与函数y=：的图象的交点A,8的横坐标，

:函数尸，的图象与函数尸加的图象关于直线尸X对称，

A(%1/B(x2,■)两点关于直线y=%对称,

X1x2

i

.*.%!=—,即X1X2=1，故C正确；

x2

xx

设切点为(%o，%靖。)，，切线方程为y-xoe°=(%0+l)e°(%-%。)，

xx

♦切线过点尸(a,0),.\—xoe°=(x0+l)e°(a—%0),

即方程就-Q%o—。=0有两个解，则A=Q2+4Q>0,解得Q>0或〃V-4,故£)正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数值域的求法，考查导数的几何意义，考查运算求

解能力，属于中档题.

(多选)11.已知函数/(%)=1%3-2ax2+3x+l(«eR),则下列结论正确的是()

A.若/(%)在工=2处的瞬时变化率为3,贝!］。=0

B.当〃=1时，函数/(%)在区间［0,4］上的最小值为1

C.若/(尤)在R上单调递增，则

D.若/(X)有三个零点尤1，X2,X3，则XlX2X3=-3

【考点】利用导数研究函数的最值；正弦函数的图象.

【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】BD

【分析】对于人求导得到了(无)=/-4磔+3,根据/(2)=3,求解即可；

对于8先得出函数/(无)在区间(0,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,4)单调递增，即可求解；

对于C：f(x)在R上单调递增，则/(%)=--4办+3N0恒成立，利用AW0,即可求解；

11

对于0：根据题意得出/(%)=可/-2a/+3%+1=w(%一%］)。-汽2)。-%3)，利用/(0)=1,即

可求解.

【解答】解：由题意/(x)=/-4QX+3,

对选项A：/(2)=7-8a=3,解得a=，故A错；

J2

对选项B：当a—1时，f(x)=7-4x+3=(x-1)(x-3),

则函数/(x)在区间(0,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,4)单调递增，

且/(0)=f(3)=1,

所以函数/(X)在区间［0,4］上最小值为/(0)=/(3)=1,故选项3对;

对选项C：f(x)在R上单调递增，则/(x)=?-4依+3NO恒成立,

则A-16a2-12W0,

解得所以选项C错误；

11

2

对选项D：/(%)=—2ax+3x+1=g(x—%i)(x—x2)(x—x3),

1

则一=1，

则XlX2X3=-3,故选项。对.

故选：BD.

【点评】本题考查导数的应用，属于中档题.

(多选)12.已知函数/(x)(x£[-3,5])的导函数为了(X),若f(x)的图象如图所示，则下列说法正

C.f(x)在x=-2处取得极小值

D./(%)在x=l处取得极大值

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.

【解答】解：由图可知xe(-2,1)时，f(x)>0,/(x)单调递增，故A正确;

当xe(-1)时，f(%)>0,f(%)单调递增；

当xe(1,当时，f(%)<0,f(x)单调递减，故2错误；

当尤e(-3,-2)时，/(无)<0,f(x)单调递减；

当底(-2,1)时，/(X)>0,f(x)单调递增，

所以/(x)在尤=-2处取得极小值，故C正确；

当xe(-2,1)时，/(x)>0,f(x)单调递增;

当％e(i,韵时,f(x)<0,f(x)单调递减，

所以/(无)在X=1处取得极大值，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题.

三.填空题(共5小题)

13.已知函数/'(%)=1%3—ax2—3a2x(aeR),则/(2a-1)</(-a)的解集为(-寺，寺)Ug,+8)

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

111

【答案】(-可,3)u(可，+8).

【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性，对〃进行分类讨论，即可求解.

2

【解答】解：/(%)=一一的定义域为R,/(X)-2ax-3a—(x-3a)(x+〃)，

①当。=0时，f(x)=/20恒成立，故/G)单调递增，则不等式恒成立，满足题意；

②当〃>0时，令/(%)>0可得尢>3〃或xV-〃，令/(x)<0,可得-a〈xV3Q,

故/(x)在(-8,-〃)，(3〃，+8)上单调递增，在(-〃，3。)上单调递减，

1

又2a-1-3a=-1-〃<0,则2〃-1V3〃,所以要使不等式成立，只需满足2〃-“，且a>0,即a。热

且a>0,

③当〃<0时，令/(%)>0可得x>-〃或％<3〃，令/(x)V0可得3〃V%V-〃，

故f(x)在(-8,3〃)，(-a,+°°)上单调递增，在(3a,-a)上单调递减，

11q

因为y7(—CL)=可(_a)3_CL•(_Q)2_3q2.(_a)=__q3_+3Q3__,

119CC

3333

又f(5a)=w(5a)3_a,(5。)2_3a2,(5。)--^-a-25a-15a=a9

1

所以要使不等式成立，需满足再结合〃VO,解得一^VQVO.

综上所述，不等式</(-〃)的解集为：(―/，皆。，+8).

故答案为：(一［1，1!)U(1p+8).

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于难题

14.若函数〃>)=x+g+3"x在(a,2-3a)内有最小值，则实数a的取值范围是〔0,3.

【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】［0,1）.

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于a

的不等式组，解得即可.

【解答】解：由题可知函数/（无）的定义域为（0,+8）,

令于'（无）=0,可得x=l或-4（舍去），

当0<x<l时，（%）<0,当x>l时，，（%）>0,

所以/（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

所以在x=l处取得极小值，即最小值，

又因为函数尤）在Q,2-3a）内有最小值，

故0Wa<l<2-3a,解得OWaV点即a的取值范围是［0,

故答案为：［0>

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.

15.已知函数/（x）=ae*-x-1有两个零点xi,孙且xi<X2.设〃为常数，当a变化时，nxi+x2+（n+1）

有最小值e,则常数n的值为e2-2e.

【考点】利用导数求解函数的最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】/-2e.

【分析】由已知可得aeX1=xi+l,aeX2=&+1,则a=",从而zui+尤2+（"+1）="+eX2）,

e乙—Q1e乙—e1

令£=%271>0,则〃X1+X2+（〃+1）=*+；）*,且能取等，则心R（e十1）一且能取等,可得〃=

eL-lt

（e（e'T）―小构造函数gG）=强>-利用导数求出g⑺的最大值，即可求解儿的值.

t，

【解答】解：由题意可得〃e"i—Xi-1=0,aeX2—X2-1=0,即aeX1=xi+l,aeX2=X2+L

可得由沿如

%2—^1

贝!J〃11+X2+(〃+l)—n(xi+1)+12+1=〃(ne%1+e%2)=CneX1+e%2),

e%2—

令f=X271>0,则因+X2+(/1)=零苧"，且能取等,

所以n>立㈡—e,且能取等，所以n=(里巴生_/)”，

设gG)=e(efl)一屋,/>0,

所以8，⑺二迪纪理上选

令〃⑺=e[el(f-1)+1]-Fei

则力'(f)=er{et-r-2t),

当正(0,e-2)时，h'(f)>0,h(f)单调递增，

当/€(e-2,+°°)时，h'(r)<0,h(r)单调递减，

而7z(1)=h(0)=0,

所以当正(0,1)时，h⑺>0,即g'⑺>0,

当正(1,+8)时，h(Z)<0,即g'⑺<0,

所以g(力在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(力max=g(I)=e2-2e,

所以n=e2-2e.

故答案为：e2-2e.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于难题.

16.法国数学家拉格朗于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=/(无)满足如下

两个条件：(1)其图象在闭区间他，切上是连续不断的；

(2)在区间(a,b)上都有导数，则在区间y=f(x)上至少存在一个数巳使得/B)-/(a)=f

(V(b-a),其中己称为拉格朗日中值.

_1

函数g(无)=/亦+尤在区间[1,2]上的拉格朗日中值E=;~.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】二.

In2

【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得g'(孑)=g(2)-g(1)=加2+1,进而求

得孑的值.

11

【解答】解：g(x)=lnx+x,(x)=-+1,则g'(p=T+1，

由拉格朗日中值的定义可知，

函数g(无)=阮什尤在区间[1,2]上的拉格朗日中值F满足

g(2)-g(1)=g'(p(2-1),

：.g'(Q=g(2)-g(1)=ln2+2-l=/«2+l,

1

g7(f)=三+1=ln2+l,

1,1

"2,则已瓦

故答案为：.

In2

【点评】本题考查拉格朗日中值的应用、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.已知f(%)=久)«5声不^+x)—若对于任意的万€(-8,-1)u/+oo),/(%-a)</(3x)

恒成立，则a的取值范围是「3,2].

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；奇偶性与单调性的综合.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】「3,2],

【分析】先证明了(无)是偶函数，结合函数的单调性得到|x-a|<|3x|,解不等式即可.

_____11%2+2+%

【解答】解：=x[ln(y/x2+2+%)—^Zn2]=xln-——后——，

/<2

诉”"、1J/+2-X屈,卜+2+x

J7T以/(—%)=—xln广=xln「——=xln广=j(%),

72JX2+2-X72

所以/(x)是偶函数，

由复合函数的单调性可知，/(X)在(0,+8)上单调递增,

所以<f(3x)等价于-〃|<|3x|,

即(x-a)2<(3x)之,

即(〃+2x)(〃-4x)<0,

当xE(-8,-i)时，4x<a<-2x恒成立,

所以-4W〃W2；

Q一

当％+8)时，-2xV〃V4x恒成立,

所以-3W〃W6,

综上，〃的取值范围是[-3,2].

故答案为：[-3,2].

【点评】本题考查函数性质的应用，属于中档题.

四.解答题(共5小题)

18.已知函数/(x)-ax+\.

(1)若a=0时，求曲线/(x)在(1,/(D)处的切线方程；

(2)若l<a<e时，/⑴在区间[0,1]上的最小值为3-2/〃2,求实数a的值.

【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】(1)ex-y+l=0；

(2)a—2.

【分析】(1)对/(无)求导，由导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程；

(2)利用导数求出函数的最小值，结合已知即可求解a的值.

【解答】解：(1)。=0时，f(x)=e'+l,/(1)=e+l,且/(无)=，，

•'-k—f(1)=e,

故切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+l=0；

(2),:f(x)=/-a,/e[l,e],

由存在尤o6[O,1],使得了(xo)=0,BPex°=a,xo=lna,

当x6[0,xo)时，f(xo)<0,f(x)单调递减；

当xe(xo，1]时，f(xo)>0,f(x)单调递增，

x

故/(x)min=/(x0)=e°—ax0+1=a—alna+1=3—21n2,

令g(a)=a-alna+\,g'(a)=1-(\+lna)=-lna<0,

:.g(cz)在(1,e)上单调递减，

易知g(2)=3-2ln2,所以a=2.

【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解

能力，属于中档题.

19.已知曲线/(无)=/(尤+1).

(1)求/(x)在x=l处的切线方程.

(2)若函数g(x)=f(x)-3，-m有两个零点，求实数机的取值范围.

【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】(1)3ex-y-e=0.

(2){m\-^<m<0}.

【分析】(1)对/(%)求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程；

(2)将题设等价转化为曲线〃(x)="(x-2)与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极

值的关系确定函数"(x)=，(x-2)的大致图象，从而可求实数机的取值范围.

【解答】解：(1)/(工)=，(x+1),则/(%)=，(x+2),

所以/(1)=3e,又/(I)=2e,

所以/(x)在x—1处的切线方程为y-2e=3e(x-1),即3ex-y-e—0.

(2)g(%)—f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m,

函数g(x)="(x-2)-机有两个零点，

相当于曲线"(工)="(x-2)与直线有两个交点，

u'(x)=，(x-2)+/="(x-1),

当(-8,1)时，u'(x)<0,所以〃(x)在(-8,1)上单调递减，

当xE(1,+°°)时，u'(九)>0,所以〃(%)在(1,+°°)上单调递增，

所以x=1时，u(x)取得极小值u(1)=-e,

又xf+8时，u(x)f+8,x<2时，u(x)<0,

所以实数机的取值范围为{刑-e<m<0].

【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数零点问题，考查运算求

解