2024-2025学年人教A版高二数学复习专练：空间向量的应用（七大题型）

1.4空间向量的应用

目录

【题型归纳】

题型一：求平面的法向量

题型二：利用向量研究平行问题

题型三：利用向量研究垂直问题

题型四：异面直线所成的角

题型五：线面角

题型六：二面角

题型七：距离问题

【重难点集训】

【高考真题】

【题型归纳】

题型一：求平面的法向量

1.（2024.高二.全国•课堂例题）在正方体中，E,尸分别为棱4A,45的中点，在如

图所示的空间直角坐标系中，求:

⑴平面五二®的一个法向量；

（2）平面3DEF的一个法向量.

【解析】（1）设正方体45cD-43CD的棱长为2,

则D（O.O.O）,Bl2.2.0）DtO.OJi；&L0J）,

（1）设平面厘心4的一个法向量为।

vDB«t2,2,O）西=（010」|

H»0.+-0.

则［皿方-0.即［-D,

令，=i,贝内•一1，二=0,

平面BDRR的一个法向量为5（答案不唯一）

（2）v5B=|2,2,0）；DS=il.0.2）；

设平面EDKF的一个法向量为日・(&•外：】

DBrii-0.f2r.+2r.=0

.DEm•0,即I*：+—,x0,

令1：=1,则九=-?,：；=-l,

.平面直）时的一个法向量为用iaL,T）.（答案不唯一）

2.（2024.高二.全国.专题练习）如图，在四棱锥P-A反'D中，平面，工」平面,d5CD,1P48是边长为

1的正三角形，A9CD是菱形，ZABC-60-,E是PC的中点，/是痴的中点，试建立恰当的空间直角坐

标系，求平面。明的一个法向量.

B

【解析】连接PR”,因为是边长为1的正三角形，PA~PB,尸为质的中点，

所以那1四，又因为平面平面49"，平面R43c平面值。・四，即u平面RLB,

所以尸尸1平面处D.

连接AC,因为48=BC,N®=6T,所以-/SC是等边三角形，又/为题的中点，所以CFIXS.

综上可知，直线河，衣【加两两垂直，

所以建立以F为原点，也年"分别为T轴，F轴，二轴的空间直角坐标系产一中;，如图所示:

FP=FC=0

由题意，在正和正-的中,

网QO.OMJL中

则I[HJoIg4g4）

质・（巧当,而

所以Io4“I-）

设平面。町的一个法向量为访5工厂二），则

L而叫即卜冬川，化简得「当，

令门？，则“VI二・-2,即弓=|61」

所以平面Q团的一个法向量为行T6.2.7）（答案不唯一）.

3.（2024・高二・广东江门•期末）如图，在棱长为3的正方体4®Y一月BCD中，点”在棱C「上，且

6/・N/C.以。为原点，DA,DC,DD所在直线分别为二轴、j轴、二轴，建立如图所示的空间直

角

坐标系.

⑴求平面,即4的一个法向量；

(2)求平面8的一个法向量.

【解析】(1)因为x轴垂直于平面4班4,所以1是平面4防4的一个法向量.

(2)因为正方体/5c旦CD的棱长为3,

所以跖B,R的坐标分别为(°五),(3.3,01,(0.0.3),

因此福•1三。,.：!)，XZD-|0,-3.l)；

设“：・(<J.：)是平面M3。的法向量，则

11.MB元IMP,

GTA/3«3x-2：-0

所以I"：--3『+二-0,

取二=3,则x?,『=1.于是”：-C是平面MB。的一个法向量.

4.(2024.高二.全国•课堂例题)如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥。--任。中,

0(0,0,0),4(a,0,0),a；0,i,0),0(0,0,r),其中心*0,求平面43c的一个法向量.

【解析】依题意，瓦0),^C-(-a.O,c),心-0,

AB=—€R+ZXI'=0

设平面值的一个法向量为〃=(、>:)，贝1不4c--公+U.0,

令T-bc,则•山，因此”=(加,瓯而)

所以平面处的一个法向量为(加.H、而).

题型二：利用向量研究平行问题

5.（2024.高二.全国•课堂例题）如图，在平行六面体45：•工'中，E,F,G分别是40,

Q。'，DC的中点，请选择恰当的基向量证明：

（1）EG/IAC.

⑵平面*平面

【解析】（1）取基㈤.AB.AD^,

因为HG-ED'+D'G

1—1—

=—AD+—4B

—1，

IC-IffflD-2£G,

所以明〃4C,

又EG,4。无公共点，所以改?〃4。.

（2）因为

=—+^AB

一-，

AB,-AB^AA'-2FG,

所以JU//4E',

又F。，45r无公共点，

所以网〃4B'.

又那a平面儿BC,4B'u平面MC,

所以用〃平面ABX*.

又由（1）知届"40,

同理可得因〃平面A3C,

又•FunwGuG,

MEGu平面加3,

所以平面1FG〃平面/IBC.

6.（2024.高三.全国.专题练习）如图，在四棱台45c中，底面在与⑺是边长为2的正方形,

Z）AJ■平面ABC。，A3-：AB；DD-p为”的中点.求证：。尸〃平面二叱5；

D、C,

【解析】底面ABC。是边长为2的正方形，皿,平面ABCZ）,

故DD,DA,两两垂直.

以。为原点，以,8•DA分别为1轴，F轴，二轴建立如图所示空间直角坐标系,

在四棱台“岚*0-4耳3中，"=邛=2,即=1,p为AB的中点，

故々0。11.中,。,。）/（门。）,4。1.1）©0.1（1）£（。1.1）,汽210）

则》瓦JiT-Ll）

所以。户--明，即卬^,2,

且。「二平面反匕旦，BC.<=平面反ea,

故。P〃平面氏匕4

7.（2024.高二.全国.专题练习）如图，在四棱锥S-月欧'0中，底面T3CD满足瓶J.心，

底面45CD,且X4=/6=BC=1,Q=05,E为S5中点.求证：AEII^SCD

【解析】由题可知和，底面儿9第，ABLAD,故/5•4艮4D两两垂直.

则以A为原点，AD.45、处分别为小y、z轴正方向建系，

/（0Q。）.0m.s（O,O」）,B（O.LO）.C（U,O）HO.”

设平面SCD的一个法向量为所T1•「二）,

；K+F=0

*

....2X-*"0,令T=2,则『=-1二=1,

所以w-u),1

一11

AEin=0­2+—xi-1|+_xIs0

而22,

所以近1而，又儿面SCD,

8.（2024・高二・全国・专题练习）如图，在四棱柱45V「―4'CR中，侧棱从“，底面/13CD,

""，4c.AS[,4C**CD,且点”，N分别为BC和00的中点，求证：AW〃平面

【解析】以A为原点，分别以4c，44所在直线为XJ二Z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，可得,即，0），。（工11队«1广10），4（0,0,2）,4（03,2）,q（2.0.2）.^（L-2.2）

又因为MN分别为耳。和的中点，可得,

又由向量7=e，o]）为平面值。的一个法向量，且乂,

由此可得而G-0,又因为直线MNa平面4BCD,所以卬〃平面际2>.

题型三：利用向量研究垂直问题

9.（2024・高二•全国裸堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱尸D_L底面

ABCD,PD~DC,8为尸C的中点，"18P于点F.求证：EB1平面JFD.

【解析】因为加，平面4BCD,平面依3，所以PDIMPDIDC,

又因为底面/BCD是正方形，所以。

所以DC,力尸两两垂直，

以D为坐标原点，DA,DC,£中所在直线分别为x轴、F轴、二轴建立空间直角坐标系°一寸=,如

图，

设DC=PD=l,

则'd,。似⑼,引LL”,"（0t5巧）.

所以丽―），反电辅,"HI.

P5（l.l.-lI-0+0——

法一：因为V-,所以尸BIOS,所以尸BJ.OA,

又因为FBIM,BFr\DR^B,*凡勿匚平面5尸口，

所以P5J■平面8FD.

法二:设g喊则市・（3“）尸

-_SFPBmx+1r—Q|z—J»0

因为即1P8,所以UI”,

即T+J'-KO.①

又因为市〃而，可设序=海（°"41）,所以x“，门4,二-|・-彳,②

由①②可知，3,3,3,所以市-SU

设克为平面8加的法向量,

11In

3T6Jt+r(-°

「而=0

则有V5DE-。，即

,所以11「-二，取二=】，则而T-1U)

所以丽〃月，所以1PBi平面fFD.

10.(2024・高三・全国・专题练习)在三棱锥4-3CQ中，AB-AC~BC-CD-2,ZBC7D-12O0,

AB1AD,£为线段8D的中点.证明：ASLCE.

【解析】取6。中点0,作。T18C,如图，以8C中点0为原点，

以OT.OC方向为xj轴，过。垂直平面5CD的方向为z轴，建立如下空间直角坐标系,

H^-4C-3C-CD-2,所以以Q-L0),^(0,1,0),

又-4BC是等边三角形，设D(T』0),

B(-亡10)

因为以为线段8D的中点，所以2,2,CT1SD,

故而Ed,所以第=(2+2,a呜

得到吁m?D・。，

cosZBCD=--

因为『，所以2,

而丽・(0,-2,0),而=(xj-LO),

1-2(J'-D

所以：.gy,

解审•后2，所以外加.0),,所产=哈一”

设44乩。)，因为是等边三角形，

所以BC10A,故而5・。，而反^(O2,。)，OA~(a,b.c),

所以»=0,解得6=0,所以从《0工)，

因为JBJ.JD,所以血石・0,又/B=(-a「lr),XZ>-(J?-a,2-c),

由两点间距离公式得a：+c、l-4,解得3*3,

所以喏。苧,0W,

心，0)西丽=-且区1=0

而22,可得322,

故4BJLCff得证.

11.(2024.高三.江苏南通.阶段练习)已知四棱锥尸一月式的底面为直角梯形,

,,.PA==DC=-AB=t

ABHDC，一ZU3-90，Rll平面儿SCD,2

FM1

⑴若点M是棱用上的动点，且满足而=?,证明：PQ"平面4c/；

⑵若点"为棱R?上的一点(不含端点)，试探究尸。上是否存在一点N,使得平面ALW-平面BON?若

PN

存在，请求出所的值，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)以A为原点，AD,AB,AP所在直线分别为'轴、F轴、二轴建立如图所示的空间直角

则4(000)1,^UO.O)P(IHIJC(1,1,0),“工训

因为点”是棱阳上靠近尸的三等分点，即：!，则I33

则,一片行)Zc-(i.l.O)PD-(LO.-I)

从‘玩■不♦：:・口.

设平面46/的一个法向量为济二），满足＞»"v+T-O.

令1=1,则『=一】二=1,则用—―】」).

PD>?1-1-1-0,.-.PD.L?M,

又PD(z平面46/,所以及〃平面46/.

(2)存在.

设由=庆(0<4<1)则MAA1T),国・(441・4),I5-U.0.0I

AD〃-X,-0.

1_________+孙+（1-川］=0,

令-1,则4,故取

，'，

设平面购的法向量为“：=1三5二），

区■］「次.Q

满足I%.Ar:+（A-2）j,+（l-4|z*0.

一3"2-心］乂・2）

令九=1,贝广-A-1，故取IA-lJ,

一一NTU-2

若平面4DM_L平面8DM,则力,入，即一1+~7二1”

,1PN、

4=--._---―1

解得2,此时“为PC的中点，则NC.

12.（2024•高二・山西大同.期中）如图，在直三棱柱450-450中，

4B-2JC-4.4il,-Z^.ABLAC.ADIBC,；垂足为Q,E为线段4B上的一点

C

⑴若以为线段43的中点，证明：DE平面4H；

卫

(2)若平面4a±平面乂皮\求AS的值.

【解析】(1)连接4，,在直三棱柱45c-43°中，有=J"-空=七

M产AB

Xing.D为BC中点，

又后为46中点，DEACi,

-ACAC,DEAC,

又。£(z平面ABCMCu平面被？，

D?」平面49c.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系,贝网2«二用A0。;同月(040).川.2.百),

京信0.0)不=(04-刈瓜心淘

设”=4诵OS4SI,

则用0.44.2^-2^).Iff-(0.44.24-241)

设平面4BC的法向量“.E•九二J,

N-0fx,=O

z,月・。1-J,।"取:「2,得行=1°，石」)，

g(

设平面4DE的法向量向7&J：:),

(Iffm-0paj.+2V3(l-A):.-0

m-0(r.+2r.+>/3:.-0取:：=-24,得历中届-?五曲-百儿-")

1,平面ADf1平面4改,

4-1

nj5i«3-3A-4a«0,解得7,

AB■一3

当平面心1平面4BC时，AB7

题型四：异面直线所成的角

13.（2024.高二.全国.课后作业）如图，在直三棱柱ARC中，4c="8=44=6,

2,=,q上_」,求向量而与4c的夹角.

【解析】直三棱柱4K'-4&G中，H4J■平面值，4Bu平面处，4Cu平面值,

则有J.4B.4/J.4C故数荏=0通而=0,

由BC-2,有4斤+4C；・BC：,得故ZSI?=0,

AE——|AB+AC\

又E为3。的中点，有

________1__________1.J

AEA.C=-iAB+AC\iAC-AA|=-AC=1

得？2，‘‘r2

行市1

有cos画,正工同庐|F

又*抄Mr,所以用孙知

即向量罚与aC的夹角为6。二

14.（2024.高二.全国•课后作业）如图，在棱长为a的正方体」与；工-乂£;。中，求异面直线射和水"

所成角的大小.

【解析】方法一：以。为原点,DA.DC.DR所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则/(a.0.0).改aamqQaOXHaO.a),所以切-(0.-a.a),4C«(-a,a.0)

8国而=驾马丁=%」

所以网明石耳)

所以丽J?Y0・.

又因为异面直线所成角&满足0°<8490°,

所以异面直线队和4。所成角的大小为60*.

方法二:

因为国=84+.4。=AB+8C,

m“而左=1瓦+丽I(q+画=瓦荏+瓦i而+的乐+丽丽

m以•

因为48J.8C38148.88i8C,

所以aBC-0.5B,X5-0.BB,BC-O,而而近一广,

所以M"…二

皿夙，而=骂£=——=」

所以网的不方2,

所以而

又因为异面直线所成角&满足。°<8490°,所以异面直线必和AC所成角的大小为6T.

题型五：线面角

15.(2024.高三・湖南•阶段练习)已知四棱锥P-A9co中，平面月底面

/V

wnBC,AB1BC,PA=PB=^AB,AB=BC=2AD,E皿GMP。

ABCD.AD.2为的中点，尸为棱PC上异于0的

点.

(1)证明：BDLBF-,

标

(2)试确定点F的位置，使E尸与平面氏D所成角的余弦值为

【解析】(1)如图，连接彩方仁阳交^^于点G.

因为&为的中点，PA=PB,所以每，48.

因为平面月45,平面儿&?D,平面月48c平面/8。。=4反尸《匚平面以5,

所以户ffj■平面ASCD,

因为BDu平面ASCD,所以PEJ.3D.

因为3C*,所以NCAB.NBD4,所以」CffB.」ABD.9IT,

所以ED1月。，

因为P*cBC=B.PRECu平面PE。，

所以BD/平面PffC.

因为即u平面户ff。，所以EDI月产.

(2)如图，取的中点H,以后为坐标原点，分别以曲即.所在直线为X"1轴建立空间直角坐

标

系，

设旗=?,则反*■2,H>=L%=PB・0,

g^(W).qi,2.0).D(-1.1.0).f(0,0.0),

设尸(KJ：|.乔・屈(0<A<I)

所以（EJ.二-1|一川,

所以T=Ay-7即内心［IT）.

则由TIL叱丽・（1」.山.而■以乂1・4）

设平面PCD的法向量为面•瓦G,则

（皮而=0,r2a4d-0.

1汽*用・01即a+2b—c»0.•（1.-2,-31

设EF与平面PCD所成的角为6,

q亚q3而

由14,得14.

皿8所孙噌・胃6±±23—M

所以II网网炉7一+4-+（1-/H,

整理得6万0・0,

4」~PF•।PC

因为0〃<1,所以即3,

故当F位于棱PC靠近尸的三等分点时，即与平面PS所成角的余弦值为"i丁.

16.（2024.高二・广东广州•期中）如图，已知以！•平面，4次2底面A&'D为正方形,

『乂=4二=45=2,M,N分别为XF,尸「的中点.

⑴求证：MVJ•平面FCD；

（2）求FD与平面月丫。所成角的正弦值.

【解析】（1）以A为原点，/山为x轴，4D为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

则尸QO.n.Cd。).D(0」,0).ML0.0l.NILL1)

PD=(OJ,-2|,CD»H-.0.0)A^7-10.1.1)

，，

设平面PCD的一个法向量为亓"(工厂二)，

pPD-2j-2r-0

CD--2r-0，取『=1,得行—(0.1.1),

因为砌/而，所以MN,平面PCD；

(2)P(O.O.2).C|2.2,O|,M(I,O.O).

丽•(1.0「2)WC-H.2.0)

，，

设平面以/。的一个法向量为玩■9力(),

fmPM-a-2c-0

则［A/C・a+”-O,取a.2,得用・(MT」)

PD-(0J.-2).

设直线PD与平面丽所成角为e,

则直线PD与平面刑怨所成角的正弦值为：

17.(2024・高三・北京海淀.开学考试)如图，在直三棱柱.3c-48。中，-4CB为直角，侧面4纣：4

为正方形，y4C=5C-2,0F分别为人8,4c的中点.

⑴求证：◎国"平面用°「；

(2)求证：月C1DE；

(3)求直线月。与平面8DE所成角的正弦值.

【解析】(1)连接友*,

在"C中，因为A&分别为犯数的中点，所以由BG

又"5面剪"gu平面期所以。&〃平面期c,C.

⑵因为直三棱柱/5C-44C中，«为侧棱，'

所以Q?平面乂氏\

因为4Cu平面48C,

所以"L4J

又/ACB为直角,

所以4018C

又BCcCC「C5c.ecu平面即£c,

所以4C«L平面刖C。，

因为友'u平面MCC,

所以4c,阳，

由⑴DB//BClt所以4alD.

（3）建立空间直角坐标系0-4反

则式0,0,0),31),4Q.2.2),A1,I,0),ML0R,

因此FI1,DE=(O,-l.lt

设平面的法向量为京7工厂：),

2j-r-0[*.3二

令：-1,则＞3j=l,于是行・(IU),

设直线40与平面3QS所成角为6.

所以।।丽—川川市11.

18.(2024・广东深圳•一模)如图，尸。_L平面ABCZ),

AD*CD，AB”CD»PQ”CD，AD=CD=DP=1PQ=?AB=?，点、E,F,M分别为AP,CD,BQ的中

点.

⑴求证：即"平面CPM；

n

(2)若N为线段C。上的点，且直线ON与平面QPM所成的角为G,求0"八亡的值.

【解析】⑴连接EM,由48〃皿尸0〃。力，得AB”PQ,

又A3=PQ,则四边形以行为平行四边形，

由点E和/分别为AP和8。的中点，得如〃AB且加=AB,

而4B〃皿尸为co的中点，则加〃“'且Mf・b,

四边形即CM为平行四边形，则即〃MC,又即＜Z平面MPC,CMu平面MPC,

所以那〃平面MPC.

(2)由平面儿S3,ADLCD,得直线以工，》两两垂直,

以。为原点，直线以工刀尸分别为二轴建立空间直角坐标系，

则ZXO.OJX4(2.0.0)i5(2,l0>C(0.2.0),P(0.0.2),久氏I。M(1.II),

a7-(i.i.-i).?e-(o.i.o),a7-(i,-i.i).?c-(o.2.-2),

(nPM=x+y-z=0

设而="J,二)为平面PQM的法向量，则I彳92-.r-O,

取：=1,^-(1,0.1),

设丽面04心1),即丽=(0"”),

则MQI+IJ-。)，^-(0,44.1,2-21),

1anJen*而处1%则

由直线ON与平面PM。所成的角为6,得6i^'imi,

I.

即'/+iy.(2・”yC整理得3T'-IOZ+3=O,而ov1,解得

所以缈催=1」

题型六：二面角

19.(2024.广西.模拟预测)在长方体45cD-/BCD中，点区E分别在房，02)上，且4斤14D,

AA=BD

(1)求证：平面,,D4平面AEF；

(2)当4：)-3,TJ=4,求平面二3届‘与平面〃、二’的夹角的余弦值.

【解析】(1)"^BCD-ABCD为长方体.CD1平面44A。

-AFc平面A'DQ...CD1心

又'，产X且0!0仆4。・。CD、40u平面4CD

AF1平面.CD

♦.•AFu平面AEF

,平面儿KFJ•平面ACD

(2)依题意，建立以。为原点，以D4,DC,°D分别为x,y,Z轴的空直角坐标系，12-SD-5

则4（3.Q0）,用3,40）.C（Q40）.4（3・0・5）.A（Q0J）

则而,（0。5）.丽・（340）.成・（T4「5）,福・（-3.0「5）

，4c-0,3x-4y♦5r-0

设平面A。。的法向量为1则I斤4。・0,即13vf5r-0

令T・5,则；=-3.«(5,D,-3)

(rnDB=3x+4r=0

设平面贴加的法向量为贝让«D^-fc-0,

令x=4,则r=-3==0,所以平面R4HD的法向量为正=(4.-U),

设平面4CD与平面。3处的夹角为6,

则8也忖3人|辐Hl•真

2734

所以平面ACD与平面QB30的夹角的余弦值为一丁

20.(2024.高三.江西.开学考试)如图，在直四棱柱45cEC。中，底面ABCD是梯形,

ZL.45-9fJ\AD5C,£)尸，G分别为」。的中点.

⑴证明：尺；〃平面

(2)若“•3•48”,长■I,求二面角B-CDt-S的余弦值.

【解析】⑴取8的中点H,连接GH.&H.W.

因为即是△4q3的中位线，所以"7/明，且呼'=严，

同理可得丽吗产.；皿

又电"DD,且班「皿，所以EF〃HG,且XF-HG.

则四边形即3月是平行四边形，从而M3//AH.

因为Ma平面CDS,酊u平面8产，所以网〃平面CDE

(2)在直四棱柱45c耳3中，因为/班=90。，所以44/8"。两两垂直,

以A为坐标原点，的方向分别为二轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.

则画-(LYL册・|U「2|.皮

设平面CDE的法向量为所=(X1MN1),

F西=1-2儿+匕=0

则I吊团-居+FL工・。，令)=3,可得彳・。43),

设平面BCD的法向量为％=।0,昂,二：)，

»；CD,-*；-2y:+2:：-0

为5C-x-0，令J=1,可得♦=，：()」」，

!;

——7777廊

所以-徜・k・*

7屈

易知二面角B-8-E为锐角，所以其余弦值为W.

21.(2024・高三四川达州.开学考试)如图，在三棱柱4优'TB「中，4平面

ABC.ABi1AiC.ABlBC.AB=3C=2

⑴求证：期,平面A8C；

____x

⑵设点P满足Wd）,若平面A5尸与平面5cp的夹角为反求实数人

【解析】（1）证明：•平面45c,8Cu平面儿9C,AA1BC

又•「A515C,且.Mu平面/巡4.四（19・4

-HCJ•平面4HB4

\tARu平面乂E5A.BC1AB

又AiiXAp,BCflA^C■C.bC.ACu平面A5C,

1平面4BC.

（2）由（1）知4月,48.四边形4354为正方形，即且有47・2卢，

以点A为原点，以必所在直线分别为」二轴，以过A点和平面EC。4垂直的直线为'轴，建立如图

所示的空间直角坐标系月-邛■二，

则432）1（&2耳河国6"#/（齐心力•而・仙疗T）

•.刀=4/（0G41）,P（OJ疯2-”）

方=（02也，-独）,亚=|£/川

设平面P4B的一个法向量为彳.（*、r•二I,由49"L%/月J■元得：

由⑴知期•>•平面&BC平面CPB的一个法向量为"=》,

4=一

所以2.

22.(2024・高三・安徽•开学考试)如图，在四棱锥P-4BCQ中，以±平面4孔2松||皮＞,•,8。.1

为PD的中点.

⑴若用4・月。，证明：平面水7；

7

(2)已知4。=2月＜=28。=4,平面和平面PB的夹角的余弦值为万，求/B.

【解析】(1)因为月11平面4友*"4"加u平面可知R1_L4D,P/_L。。,

EA^-PD

且3为PD的中点，则2,

EC=-PD

若财=9C,即2,则RC1CD,

且P/iClPC-P,户儿PCu平面平面/CP,

所以CDJ■平面/1CP.

(2)由题意可知：为1•平面月A?D,HBlAD,

以4为坐标原点，“以心-彳尸为苴,叱二轴，建立空间直角坐标系，

因为4D・？月4・2BC«4,设4B・a>0,

则4（0J.0）.Cm.D0,4,0）.P|0.0.3,K（0,：U）,

可得71=10=Ii,I?=（a「。,而=|Q4T而=）

(in-D

设平面的法向量为用=(八.”/3,则l而4C-G.+),・0,

令i=?,则「my.3h2a,可得施2a)；

piPD-4jr,-2:;-0

设平面PCD的法向量为n=(X2MN2)，则Le■-5+2-r：-0,

令4=2,则『，-a.•②，可得京・(2a%)；

.|冷14+3o:7

由题意可得：rlHlV4+5a山+5°：9,解得(舍负)，

所以儿B-l.

23.(2024・高二・河南焦作.开学考试)如图，在空间直角坐标系中有长方体的D-H5'C'D',

AB=2,AD=4,A4'=2

(1)求L点到平面4,处的距离；

(2)求平面4LQ与平面值夹角的余弦值.

【解析】(1)由题可知C，，＞/'(mB(2.0.0).D|0,4.0)

得瓦・。0-"亚・(0,4「2).百・二4,0)

设平面4处的一个法向量为n=®,瓦。，

故平面4'HD的一个法向量0■C),

陷回8

所以。点到平面/处的距离为IwIL

(2)由题可知。匚41.4|0Q0i.8i[0.0|.0。.4.0)

得Z?=(2,4J|.石*0401,

设平面4LD的一个法向量为记=(x,y,z),

pCm-Qpx+4r+2:-0

所以有i私2飞…

卜、

令解得

故平面4(TD的一个法向量用T2-0-21,

同理平面板)的一个法向量为7T0-0J),

设平面4LD与平面月BD夹角为a,显然a为锐角,

则83解=图K

题型七：距离问题

24.(2024.高二.江苏淮安•阶段练习)将边长为2的正方形ABC。沿对角线AC折叠使得△AC。垂直于底

面A3C,则异面直线A。与BC的距离为

I答案】黑部

【解析】取40的中点O,连结°A°D,ODLAC,OBLAC

由条件可知，平面4cDJ•平面43C,且平面480平面4BC-4C,QDu平面4CD,

所以ODJ.平面值，

如图，以点。为原点，0B.0C.0D为xj.•:轴的正方向，建立空间直角坐标系,

A\0.->/2,Q)5(72,0,0)C(O,^,O)^0,0,7?)

而=(o,£W)的=(-££o)丽，

,,，

设与近.而垂直的向量为ri-\」，力，则

石石=行+d=0

BCM--J7x+V；r-0令“I,则『=1二二一1,所以;

&

则异面直线A。与BC的距离为Irl

故答案为：3

__1_—

25.(2024.高二.浙江金华•期中)已知在棱长为4的正方体43。°中，'=彳'、.

(1)求点。到直线月E的距离;

(2)求点。到平面4瓦2的距离;

(3)在此正方体中，^^LBC.ASLAA^则称线段AB的长为异面直线庆》与44的公垂线段长，也称为异

面直线与7M的距离.试求异面直线8与4E的距离.

【解析】(1)

如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系0-用：，4,

可以得到各点坐标.54°),X(4,o,o),。(0。4),皿9AO.O.O).

，港⑸_1_4|_4霹

^-(-1.1.4),也.(4T,0),i7ffF*V1+1+16"—,

d~J\CA[-I:-芈」?

则点C到直线■的距离V33.

⑵豆.(4.T0),4^-(-4.0.4)；

fsAS^Of-x+/+4r«0

设平面4犯法向量为而=(7二)，则[而皿■(]l~4i+4"0

x-1

令xI,则17—3,贝幽=(13」).

d_icxw|_|4+—|_i6>/rr

则C到平面4KR的距离向Jl+9-1H

(3)毒=(4.T0),CD-(0,^,0),4£-(-l,l,4),

［讦而・0f-4z>-0

设CD与忿的公垂线方向向量为；…山）.则&°l-am-O,

fo-4

卜=0

解得,贝日一（4川）.

则异面直线8与月£的距离1»1而17.

26.（2024・高三・全国.专题练习）已知正方体43c2-4£匚5的棱长为1,8为。。中点，求下列问

题：

（1）求异面直线Q5与4*的距离；

⑵求4到平面45E的距离；

（3）求DC到平面48E的距离；

（4）求平面4DB与平面DCS的距离.

【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系,

则。（0.0.0）4（1,0,0）,BILL。）、CIO.L。），4&0.1）、5（U1）、

GMU）、川o.o.i）、4*」），

所以有440,取TUT）,

设6、1〃是与*夕，都垂直的向量，

卜竺.0卜+$・。h..2r

则匕A3-0,即（X+F-二・0,即令T=1得%=a?J）,

选4后与犯的两点向量为M

d刖I1=巫

得4后与犯的距离\n\WM.

户Zff-o

（2）设正・（db©为平面48&的法向量，贝11bs48-0,

-a+—b=0A、

2P-2a

,t,即卜■勿，令得扁=a?」），

选点4到平面4EE两点向量为4"O.LO）,

d・|率:

由公式得：点玛到平面48*的距离|阿|3

（3）由（2）可知：平面48s的法向量可设而

设DC与平面ABS的两点向量为M・（L0.0）,

故直线RC到平面48S的距离网3.

（4）^4-（1.0.1）,DB-（1.1,0）（1.1,0）

设vkm二।M-代5三）分别为平面4D5、平面中珞的一个法向量，

ZU,n,-x,+r,-0

{DB^-x,*r-0,令c=l,可得j\=-I二.=-l,所以;—LT）,

M.-/j-r,-0

H-x.+r-0令工“，可得为-一1二：•“，所以为-（L・L-I）,

E:

所以,所以平面ADW平面DC',

可得4点到平面0ca的距离即为所求，DA・（LO.O）,

ADCB网|8回斗吟件力。

所以4点到平面〃C4的距离为rIV’

史

故平面4DS与平面DC8的距离为3.

【重难点集训】

1.（2024・高三・河北保定・开学考试）如图，在正方体48CRT6PD中，分别为DB.”的中点,

则直线人“和邱,夹角的余弦值为（）

J:县

A.3B.2C.3D.

【答案】C

网衣，囹作为基底，则

【解析】化为空间向量问题，以

'*——F—',

设向量A4和正的夹角为6,

则直线4M和邱'夹角的余弦值等于|8Sd|.进行向量运算

面;西・回网9%㈣

-ISi'-lfiDBA^-BABC--BDBCt

24f2f4'

因为四面体暝c为正四面体，所以悭卜阿T附且明明㈤夹角均为3,

面;更g京—丽可苑・：丽苑

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