2022-2024高考数学复习特训：立体几何与空间向量（学生版+解析）

第07讲立体几何与空间向量（2022-2024高考真题）

（新高考专用）

一、单项选择题

1.（2024・北京・高考真题）如图，在四棱锥中，底面2BCD是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2A/2,该棱锥的高为（）

A.1B.2C.V2D.V3

2.（2024・全国•高考真题）设a、0为两个平面，m、n为两条直线，且aC0=下述四个命题：

①若则n//a或n〃£②若m1n,则n1a或n1£

③若？则山/n④若n与a,£所成的角相等，则7n1n

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

3.（2024・天津・高考真题）一个五面体ABC-DEF.已知4D||BE||CF,且两两之间距离为1.并已知ZD=

4.（2024・天津•高考真题）若山,几为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若m〃a,n//a,则m1nB.若m〃a,n〃a,则

C.若m〃a,nla,则m1nD.若Zn〃a,nla,则ni与n相交

5.（2024.全国•高考真题）己知正三棱台ABC—A/iG的体积为季AB=6,A1B1=2,则与平面ABC

所成角的正切值为（）

1

A.B.1C.2D.3

2

6.（2024•全国•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为百，则圆锥的

体积为（）

A.2-\/3TTB.3V3TTC.6V3TTD.9V3it

7.（2024・上海•高考真题）定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取P1，P2，P36。，存在不全

为o的实数使得及函+%珂+4碣=注已知（i,o,o）e。，则（0,0,1）3c的充分条件是C）

A.（0,0,0）eQB.（—1,0,0）£fl

c.（0,1,0）enD.（0,0,-1）e（1

8.（2023・北京・高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒

出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面

是全等的等腰三角形.若4B=25m,BC=4。=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与

平面力BCD的夹角的正切值均为半，则该五面体的所有棱长之和为（）

A.102mB.112m

C.117mD.125m

9.（2023•全国•高考真题）在三棱锥P—ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=巡,

则该棱锥的体积为（）

A.1B.V3C.2D.3

10.（2023•全国•高考真题）已知AABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-

4B-D为150。，则直线8与平面ABC所成角的正切值为（）

A.iB.返C.3D.2

5555

11.（2023•全国•高考真题）已知圆锥PO的底面半径为百,。为底面圆心,B4,PB为圆锥的母线，乙4OB=120°,

若AP/IB的面积等于苧，则该圆锥的体积为（）

4

A.nB.V6TTC.37rD.3V6TT

12.（2023・天津・高考真题）在三棱锥P—28C中，点跖N分别在棱PC,尸2上，且PM=^PC,PN=|PB,

则三棱锥P-4MN和三棱锥P-4BC的体积之比为（）

13.（2022.天津.高考真题）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部

即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个

公共侧面ABCD在底面8CE中，若BE=CE=3/BCE=120。,则该几何体的体积为（）

A.—B.—C.27D.27V3

22

14.（2022.全国.高考真题）己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4次，其顶点都在同一球

面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTTB.128TTC.144nD.1921T

15.（2022.全国.高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2m侧面积分别为

SV

S甲和S乙，体积分别为喉和V乙.若g=2,则启=（）

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

16.（2022•全国•高考真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则

A.8B.12C.16D.20

17.（2022.全国.高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，

则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.iB.iC.3D.坦

3232

18.（2022・北京・高考真题）已知正三棱锥P-4BC的六条棱长均为6,5是42BC及其内部的点构成的集合.设

集合T={QeS\PQ<5},则T表示的区域的面积为（）

B.71C.27rD.37r

19.（2022・全国•高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.

已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到

157.5m时，增加的水量约为（夕=2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

20.（2022•全国•高考真题）在正方体ABC。-中，E,歹分别为力B,BC的中点，则（）

A.平面BiEF_L平面BOD】B.平面&EF1平面&BD

C.平面BiEF〃平面&4CD.平面当石尸〃平面

二、多项选择题

21.（2023•全国•高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚

度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

22.（2023•全国•高考真题）己知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，乙4PB=120°,PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角P—4C—。为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为TTB.该圆锥的侧面积为4百n

C.AC=2V2D.的面积为百

23.（2022•全国•高考真题）如图，四边形2BCD为正方形，ED1平面ABCD,FB||ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E—ACD,F-ABC,F-4CE的体积分别为匕,彩,匕，贝|（）

B

A.匕=2/B.匕=%

C.匕=匕+匕D.2V3=3匕

三、填空题

24.（2024•全国•高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为后,下底面半径均为上，圆台的母线长分别为

2七一勺）,3（「2-q），则圆台甲与乙的体积之比为.

25.（2023•全国•高考真题）已知点S,2,8,C均在半径为2的球面上，△力8C是边长为3的等边三角形，S41

平面力BC,贝"A=.

26.（2023•全国•高考真题）在正方体ABC。-4/的/中，AB=4,0为4cl的中点，若该正方体的棱与球。

的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

27.（2023•全国•高考真题）在正方体2BCD中，E,F分别为好久的中点，以£尸为直径

的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

28.《2023•全国•高考真题）在正:四棱台4BC弁—QB©。］中,AB=2,ArBr=l,^=V2,则该棱台的体

积为.

29.（2023•全国•高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

四、解答题

30.（2024.上海.高考真题）如图为正四棱锥P—ABC。,。为底面48C。的中心.

（1）若4P=5,力。=3/，求4PCM绕P。旋转一周形成的几何体的体积;

（2）若AP=4D,E为PB的中点，求直线BD与平面4EC所成角的大小.

31.（2024•全国•高考真题）如图，AB//CD.CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=V10,

AE=2旧,M为CD的中点.

AB

(1)证明：EM〃平面BCF；

(2)求点M到40E的距离.

32.（2024.全国.高考真题）如图，四棱锥P—4BC0中，PA1底面ABCQ,PA=AC=2,BC=1,48V3.

(1)若401PB,证明：力。〃平面PBC；

(2)若力。-LDC,且二面角4—CP—D的正弦值为求40.

7

33.（2024.北京.高考真题）如图，在四棱锥P—4BCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,点E在力。上,

S.PE1AD,PE=DE=2.

p

(1)若F为线段PE中点，求证：BF〃平面PC，

(2)若4B，平面P4D,求平面/MB与平面PCD夹角的余弦值.

34.(2024.全国.高考真题)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC。与四边形

AOE尸均为等腰梯形，EF//AD.BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=j^,FB=2®M为2D的中

(1)证明：BM〃平面CDE；

(2)求二面角尸-BM-E的正弦值.

35.(2024.天津.高考真题)已知四棱柱4BCD-4tBic中，底面4BC0为梯形，力_L平面4BC。,

ADLAB,其中力B=力4=2,40=DC=1.N是名的的中点，M是£)%的中点.

(1)求证OiN〃平面CBiM；

(2)求平面与平面的夹角余弦值;

⑶求点B到平面CBiM的距离.

36.(2024.全国・高考真题)如图，平面四边形ABC。中,4B=8,CD=3,AD=5上,乙4DC=90°,ABAD=30",

点E,尸满足获=|同，AF^^AB,将AAEF沿翻折至APEF,使得PC=4次.

⑴证明：EF1PD-,

(2)求平面尸。与平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

37.(2023•北京•高考真题)如图，在三棱锥P-4BC中，P4_L平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=V3.

B

(1)求证：BC，平面PAB-,

(2)求二面角a-PC-B的大小.

38.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱柱—中，力停1平面ABC,24CB=90。.

(1)证明：平面力CG&1平面BBiGC；

(2)设AB=A1B,AAr=2,求四棱锥力1-BBQC的高.

39.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱柱4BC—4iBiG中，ArCABC,^ACB=90。,A4]=2,41至U

平面BCC/i的距离为1.

GBi

(1)证明：A1C=AC-,

(2)已知44i与BBi的距离为2,求力/与平面BCG/所成角的正弦值.

40.(2023•天津•高考真题)如图，在三棱台ABC—&殳的中，A1AABC,AB1AC,AB=AC=AAX=

2,4iG=l,M为BC中点.，N为AB的中点，

(1)求证：&N〃平面4MCi；

(2)求平面/IMG与平面4CC14所成夹角的余弦值;

(3)求点C到平面4MQ的距离.

41.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱锥P-4BC中，AB1BC,AB=2,BC=2a,PB=PC=V6,

8匕4匕8。的中点分别为。,瓦。，点尸在AC上，BF1AO.

A

⑴求证：EF〃平面a。。；

(2)若NPOF=120°,求三棱锥P—ABC的体积.

42.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱锥P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2a,PB=PC=巫,

BP,AP,8c的中点分别为。，E,O,4D=而D。，点尸在AC上，BF1AO.

(1)证明：EF〃平面4。。；

(2)证明：平面A。。_L平面BEF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

43.(2023•全国•高考真题)如图，在正四棱柱4BCD-4&的/中，4B=2,441=4.点&，殳,。2，。2分别

在棱4al,88],CCi，D£)i上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明:B2C2IIA2D2；

(2)点P在棱B当上，当二面角P—42c2-外为150°时，求B2P.

44.（2023・全国•高考真题）如图，三棱锥4-BCD中，DA=DB=DC,BD1CD,乙ADB=^ADC=60°,

E为BC的中点.

⑴证明：BC1DA；

(2)点厂满足加=力5,求二面角D—力B—F的正弦值.

45.(2022・浙江・高考真题)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=1,/.BAD=2LCDE=60°,二面角F-DC—B的平面角为60。.设M,N分别为4E,BC的中点.

(1)证明：FN1AD；

(2)求直线8M与平面4DE所成角的正弦值.

46.（2022•全国•高考真题）如图，四面体4BCD中，AD1CD,4D=CD,N4DB=NBDC,E为AC的中点.

（1）证明：平面BED1平面ACD；

（2）设AB=BD=2,乙4cB=60。，点F在2D上，当AAFC的面积最小时，求三棱锥F-力BC的体积.

47.（2022.全国.高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底

面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△FBC,AGCD,A均为正三角形，且它们所在的平面

都与平面4BCD垂直.

⑴证明：EF〃平面力BCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

48.（2022・天津・高考真题）如图，在直三棱柱ABC-4送1的中，AC1AB,点D、E、尸分另U为CD

的中点，AB=AC=AA1=2.

(1)求证：EF〃平面ABC；

(2)求直线BE与平面CCi。所成角的正弦值;

(3)求平面4CD与平面CCi。夹角的余弦值.

49.(2022•全国•高考真题)如图，P。是三棱锥P-4BC的高，PA=PB,AB1E是PB的中点.

(1)证明：。£7/平面P2C；

(2)若乙4B。=NCB。=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-4E-B的正弦值.

50.(2022•全国•高考真题)在四棱锥P-ABCD中，PD1底面4BCD,CD||DC=CB=1,AB=

2,DP=V3.

(1)证明：BD1PA；

(2)求尸。与平面P4B所成的角的正弦值.

51.(2022•全国•高考真题)如图，四面体力BCD中，AD1CD,AD=CD,^ADB=^BDC,E为力C的中点.

(1)证明：平面BED_L平面4CD；

(2)设AB=BD=2,^ACB=60。，点尸在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面4BD所成的角的正弦

值.

52.(2022•北京・高考真题)如图，在三棱柱ABC-中，侧面BCC/i为正方形，平面1平面

ABBrAr,AB=BC2,M,N分别为4/，AC的中点.

(1)求证：MN||平面BCQBi；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线A3与平面所成角的正弦值.

条件①：AB1MN-,

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

53.(2022.全国.高考真题)如图，直三棱柱4BC-A/iQ的体积为4,△&BC的面积为2世.

⑴求A到平面&BC的距离；

(2)设。为&C的中点，AAr=AB,平面&BC，平面ABB1&,求二面角4-BD-C的正弦值.

第07讲立体几何与空间向量（2022-2024高考真题）

（新高考专用）

一、单项选择题

1.（2024・北京・高考真题）如图，在四棱锥中，底面4BCD是边长为4的正方形，PA^PB=4,

PC=PD=2V2,该棱锥的高为（）

A.1B.2C.V2D.V3

【解题思路】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF1平面4BCD,可知P。！平面力BCD,利用等体积

法求点到面的距离.

【解答过程】如图，底面力BCD为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设P4=PB=AB=4,PC=PD=2V2,

分别取力B,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,

贝"PE_L148,B.PECtEF=E,PE,EFu平面PEF,

可知48_L平面PEF,且4Bu平面4BCD,

所以平面PEF1平面48c0,

过P作EF的垂线，垂足为。，即PO1EF,

由平面PEFC平面力BCD=EF,POu平面PEF,

所以P。1平面4BCD,

由题意可得：PE=2®PF=2,EF=4,则PE?+「尸2=岳尸2,即PE1PF,

贝咛PE-PF=|?0-EF,可得P。==V3,

所以四棱锥的高为VI

当相对的棱长相等时，不妨设P4=PC=4,PB=PD=2V2,

因为BD=4V5=P8+PD,此时不能形成三角形PBD,与题意不符，这样情况不存在.

故选：D.

2.（2024•全国.高考真题）设a、0为两个平面，m,ri为两条直线，且aC0=m.下述四个命题：

①若贝!Jn〃a或n〃8②若m1九，则n1a或n1£

③若n〃a且7i〃0,则zn〃n④若几与a,£所成的角相等，则zn1n

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【解题思路】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断

③.

【解答过程】对①，当nua,因为m〃n,mu则?1〃£,

当nu0,因为m//zi,mua,贝!]n〃a,

当ri既不在a也不在.内，因为m〃n,tnua,mu0,则？i〃a且?1〃£,故①正确；

对②，若m1ri,贝1Jn与a,/?不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,0分别相交于直线s和直线3

因为a/a,过直线九的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知n〃s,

同理可得n〃t,贝Us〃3因为sC平面0,tu平面/?,贝ijs〃平面0,

因为su平面a,an/?=m,贝l]s〃:m,又因为n〃s,则m〃九，故③正确；

对④，若aC£=m,71与a和。所成的角相等，如果n〃a,n〃£,则故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

3.（2024.天津•高考真题）一个五面体4BC—DEF.已知4。||BE||CF,且两两之间距离为1.并已知4。=

1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

B

【解题思路】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【解答过程】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体ABC-DEF----对应）与该五面体相嵌,

使得D,N；E,MEL重合，

因为||BE||CF,且两两之间距离为1.AD=1,BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱，

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

^ABC-DEF=y^ABC-Hl]=mXjXlXlX彳义4=彳.

故选：C.

4.（2024・天津・高考真题）若根,几为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若n//a,则mJ.九B.若m〃仇,n〃a,则相〃九

C.若根〃a,九la,则7nl几D.若zn〃a,nla,则zn与九相交

【解题思路】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.

【解答过程】对于A,若m〃a,n//a,则zn,7i平行或异面或相交，故A错误.

对于B,若7n〃a,?i〃a,则小刀平行或异面或相交，故B错误.

对于C,m//a,n1a,过TH作平面/?,使得/?na=s,

因为?nu^,故m〃s,而sua,故nls,故7nl几，故C正确.

对于D,若？？_La,则zn与九相交或异面，故D错误.

故选：C.

5.（2024・全国•高考真题）已知正三棱台48。一4/©的体积为拳AB=6,4tBi=2,贝风4与平面ABC

所成角的正切值为（）

A.-B.1C.2D.3

2

【解题思路】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h=手，做辅助线，结合正三棱台的结构特征

求得AM=#，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台4BC-&B1C1补成正三棱锥P-

ABC,与平面ABC所成角即为24与平面ABC所成角，根据比例关系可得VPTBC=18,进而可求正三

棱锥P—ABC的高，即可得结果.

【解答过程】解法一：分别取的中点。则40=3百,4。1=B，

可知SAABC=&X6X6X¥=9A/3,SA711B1C1=-x2xV3=V3,

设正三棱台ABC-&B1C1的为无，

则%BC-AB1a=I(9V3+V3+V9V3XV3)h=^,解得h=竽，

如图，分别过久,以作底面垂线，垂足为MM设4M=x,

222

可得D01=yjDN+D1N=J（2V3-%）+y,

结合等腰梯形BCQBi可得BBg=（等丫+DDI，

即/+£=（2V3—X）2+y+4,解得X=竽,

所以414与平面ABC所成角的正切值为tanN414D=翳=1；

解法二：将正三棱台ABC-&B1Q补成正三棱锥P-ABC,

则4〃与平面ABC所成角即为P4与平面ABC所成角,

因为空1-皿=1,则生=2_,

PAAB3Vp^ABc27

可知匕BC-AB1cl—^^P-ABC=则％-4BC=18,

设正三棱锥P—ABC的高为d,则Vp_4BC=|dxgx6x6xf=18,解得d=2百，

取底面ABC的中心为。，贝!|P。1底面ABC,且4。=2次，

所以24与平面ABC所成角的正切值tan/P力。=9=1.

故选：B.

6.(2024・全国.高考真题)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为,，则圆锥的

体积为()

A.2-\/3TTB.3V5TtC.6aaD.9V3it

【解题思路】设圆柱的底面半径为r,根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥

的体积.

【解答过程】设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为石F,

而它们的侧面积相等，所以2itrxV3=irrxV3+r2BP2V3=V3+r2,

故r=3,故圆锥的体积为］nx9x遮=3V^r.

故选：B.

7.(2024.上海.高考真题)定义一个集合Q,集合中的元素是空间内的点集，任取Pi，P2，P3C。，存在不全

为0的实数%,42，%，使得及函+%西+%珂=左已知(1,0,0)6。，则(0,0,1)斐£1的充分条件是C)

A.(0,0,0)eQB.(—1,0,0)efl

c.(0,1,0)enD.(o,o,-1)ea

【解题思路】首先分析出三个向量共面，显然当(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)6。时，三个向量构成空间的一个基

底，则即可分析出正确答案.

【解答过程】由题意知这三个向量丽，恒，西共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，贝。当(-1,0,0),(1,0,0)CO无法推出

(0,0,1)en,故A错误；

对B,由空间直角坐标系易知(—1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)ec无法推出

(0,0,1)gn,故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)iQ,

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0，-1)三个向量共面，

贝U当(0,0,—1)(1,0,0)6。无法推出(0,0,1)eO,故D错误.

故选：c.

8.（2023・北京・高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒

出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面

是全等的等腰三角形.若2B=25m,BC=/lD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与

平面力BCD的夹角的正切值均为空，则该五面体的所有棱长之和为（）

A.102mB.112m

C.117mD.125m

【解题思路】先根据线面角的定义求得tan/EM。=tan/EG。=?，从而依次求EO,EG,EB,EF,再把

所有棱长相加即可得解.

【解答过程】如图，过E做E。1平面4BCD,垂足为0,过E分别做EG1BC,EM1AB,垂足分别为G,M,

连接OG,OM,

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为NEMO和NEGO,

所以tan/EM。=tanzFGO="

因为E。1平面4BCD,BCu平面ABCD,所以E。1BC,

因为EGJ.BC,EO,EGu平面EOG,EOC\EG=E,

所以BC_L平面EOG,因为。Gu平面EOG,所以BC10G,.

同理：又BM1BG,故四边形。MBG是矩形，

所以由BC=10得。M=5,所以E0=旧，所以。G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=VEO2+OG2=J（V14）2+52=V39

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=y/EG2+BG2=J（V39）2+52=8,

又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15,

所有棱长之和为2x25+2xl0+15+4x8=117m.

故选：C.

9.（2023•全国•高考真题）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=瓜

则该棱锥的体积为（）

A.1B.V3C.2D.3

【解题思路】证明AB1平面PEC,分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.

【解答过程】取4B中点E,连接PE,CE,如图，

•••AABC是边长为2的等边三角形，P4=PB=2,

•••PE1AB,CE1AB,又PE,CEu平面PEC,PEdCE=E,

：.AB1平面PEC,

又PE=CF=2Xy=V3,PC=V6,

i^PC2=PE2+CE2,即PEJ.CE,

所以，—VR-PEC+匕-PEC=4PEC,4B=-x-xV3xV3x2=1,

故选：A.

10.（2023•全国•高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，A8为斜边，△4BD为等边三角形，若二面角C-

4B-D为150。，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A.iB.叱C.更D.2

5555

【解题思路】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【解答过程】取2B的中点E,连接CE,DE,因为AABC是等腰直角三角形，且48为斜边，则有CE14B,

又AABD是等边三角形，则DE_L4B,从而NCED为二面角C-4B-D的平面角，即NCED=150。，

显然CEClDE=E,CE,DEu平面CDE,于是4B1平面CDE,又ZBu平面ABC,

因此平面CDE_L平面ABC,显然平面COECl平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,

从而NDCE为直线CD与平面ABC所成的角，令4B=2,则CE=1,OE=VI,在ACDE中，由余弦定理得：

CD=yJCE2+DE2-2CE-DEcos^CED=Jl+3-2xlxV3x（一争=s/7,

由正弦定理得一^=即sin/DCE=二臂0。=会,

S1UZ.DCEsmz.CEDV72<7

显然乙DCE是锐角,coszDCF=V1-sin2z£）CE=Jl-（磊尸=亲，

所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为

故选：C.

11.（2023•全国•高考真题）已知圆锥尸。的底面半径为遮,0为底面圆心,B4,PB为圆锥的母线，乙40B=120°,

若AP4B的面积等于平，则该圆锥的体积为（）

4

A.7TB.V6TTC.37rD.3V6TT

【解题思路】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【解答过程】在AAOB中，/4。8=120°,而。4=0B=遍,取4B中点C,连接。C,PC,有。C14B,PC14B,

如图，

乙48。=30。，0C=^,AB=2BC=3,由APAB的面积为逋，得x3xPC=争

解得PC=¥，于是PO=VPC2—0C2=J（誓）2_）2=份,

所以圆锥的体积，=|nxOA2xP0=|TTx（V3）2xV6=V6rt.

故选：B.

12.（2023•天津•高考真题）在三棱锥P—2BC中，点跖N分别在棱PC,上，且PM=^PC,PN=|PB,

则三棱锥P-4MN和三棱锥P-4BC的体积之比为（）

i214

A.B.c.D.

9939

【解题思路】分别过M,。作MM，1PACC124,垂足分别为MlC，.过B作BBU平面PNC,垂足为"，连接P夕,

过N作NN'_LP夕,垂足为NL先证NN，1平面P4C,则可得到B87/N”,再证MM7/"'.由三角形相似得到

吧仁=工，NNf=2^再由VPTMN&期即可求出体积比.

CC'_3，BBf-3，™Vp-ABCVB-PAC

【解答过程】如图，分别过M,C作MM'1PA,CC1P4,垂足分别为过B作B8T平面24C,垂足为所,

连接PB：过N作NN'1PB。垂足为NL

因为1平面P",BB'所以平面PBB'1平面P4C.

又因为平面PBB'C平面PAC=PB，，NN'1PB',NN'u平面PBB，，所以NN'_L平面P4C,且BB'//NN'.

在APCC，中，因为MM'_LP4,CC，1P4所以MM7/CC'，所以震=甯=$

在APBa'中，因为BB'〃NN',所以空=空=乙,

PBBB3

所以Vp-AMN_PN-PAM_学APAM.NN，_］」PAMM）NN，_2

VV,,

P-ABCB-PAC^SAPAC-BB'-QPi4CC）BB9

故选：B.

13.（2022・天津・高考真题）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部

即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个

公共侧面ABCD在底面BCE中,若BE=CE=3/BCE=120。,则该几何体的体积为（）

A.—B.—C.27D.27V3

22

【解题思路】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【解答过程】如图所示，该几何体可视为直三柱BCE-4。F与两个三棱锥S-MAB,S-NCD拼接而成.

记直三棱柱BCD-4DF的底面BCE的面积为S,高为h,所求几何体的体积为忆

则S=-BE-CE-sinl20°=-x3x3x^=—,

2224

h=CD=BC=3A/3.

所以V=金棱柱BCE-40F+曝棱锥S-M4B+金棱锥S-NC。

11114

=ShH—S,—h—S,—h=—Sh=27.

32323

故选：C.

14.（2022•全国•高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4百，其顶点都在同一球

面上，则该球的表面积为（）

A.lOOitB.128TTC.144nD.192TT

【解题思路】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径5r2,再根据球心距，圆面半径，以及球

的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【解答过程】设正三棱台上下底面所在圆面的半径GO,所以2rl=孺，2r2=探，即勺=3,「2=4,设

2

球心到上下底面的距离分别为山32,球的半径为R,所以di=V^K,d2=V/?-16,故|心-&2|=1或

八+d2=1,即|VR2-9-V/?2-16|=1或VR2_9+V/?2-16=1,解得R2=25符合题意，所以球的表

面积为S=4TTR2=io0Tt.

15.（2022•全国•高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为如，侧面积分别为

SV

S甲和S乙，体积分别为厂甲和%若F=2,则声=（）

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

【解题思路】设母线长为I,甲圆锥底面半径为乙圆锥底面圆半径为「2,根据圆锥的侧面积公式可得心=

2r2,再结合圆心角之和可将小「2分别用Z表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公

式即可得解.

【解答过程】解：设母线长为Z,甲圆锥底面半径为q,乙圆锥底面圆半径为「2,

则也=辿=2=2,

S乙nr2lr2

所以q=2T2，

又罕+等=2兀,

则空=1,

所以q=|/,r2=|

所以甲圆锥的高刈=

乙圆锥的高电=

所以厂=i2-=1—jvT=

故选：C.

16.（2022•全国・高考真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则

A.8B.12C.16D.20

【解题思路】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【解答过程】由三视图还原几何体，如图，

故选：B.

17.（2022.全国.高考真题）己知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，

则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.-C.—D.—

3232

【解题思路】方法一：先证明当四棱锥的顶点。到底面48CD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大

值为2r2,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的

体积最大时其高的值.

【解答过程】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABC。，四边形ABC。所在小圆半径为r,

设四边形ABC。对角线夹角为a,

则2Bco=\-AC-BD-sina<^-AC-BD<^-2r-2r=2r2

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面ABCO面积最大值为2r2

又设四棱锥的高为忆则/+层=1,

3

1.V21----------------V2r2+丁2+2ft2_4V3

VO-ABCD=--2r2-h=-V^2-r2-2h2<—

3二而

当且仅当产=2拉2即九=争寸等号成立.

故选：C

［方法二］:统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r='a,

所以该四棱锥的高八=ll-y,

(当且仅当9=1一即时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高八=小_?=［1*.

故选：C.［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,贝b=¥a,

所以该四棱锥的高八=Jl-y,V=|a2Jl