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数列解答题巩固提升练习三1.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．(1)证明为等差数列，并的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】（1）证明：因为，所以，即所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以；（2）.2．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，所以所以，即.又因为，所以，所以.（2）因为，所以令，得，所以集合中元素的个数为.3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，.（2）由（1）得：，，，.4．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.(1)若，，求；(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.【答案】(1)；(2)3【解析】（1）由题设，且，而，显然也满足上式，故，由，又，所以是首项、公差均为2的等差数列.综上，.（2）由，，则，所以，而，故，即是公比为3的等比数列.所以，则，，而，所以，所以对都成立，所以，故，则正整数的最小值为3.6．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：因为，当时，，两式相减得，可得，令，可得，所以数列的通项公

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