2025年北京市海淀区高三一模数学试卷（含答案）

第1页/共12页海淀区2024-2025学年第二学期期中练习（一模）数学2025.04本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,则∁U(A) (B)(C) (D)(2)在复平面内，复数z=i(A) (B)(C) (D)(3)函数fxA122 (C) (D)(4)已知直线经过圆x2+y2(A)-1 B(C)0 (D)1(5)已知四个数a=lg(A)a (B)b(C)c (D)d(6)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M32y0在(A)1 BC3 (7)已知A₄纸的长宽比约为2:1.现将一张A₄纸卷成一个圆柱的侧面(无重叠部分).当该圆柱的高等于A₄纸的长时，设其体积为V₁，轴截面的面积为S1;当该圆柱的高等于A4纸的宽时，设其体积为V₂AV1=VCV1=V(8)已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列.若0<q<1,则“an-bn是递增数列”(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)已知函数y=3sinωx+φ(ω>0)的部分图象如图所示.若A(A)1 B(C)π D(10)对于无穷数列和正整数,若存在满足n1<n2<⋯<nk且an1n1=a(A)若an=n2,则数列(B)若an=n-1+cosnπ,则数列具有性质(C)存在数列和,使得和均不具有性质P2,且an+bn具有性质P2025(D)若数列和均具有性质,则an+bn具有性质第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知x-24=(12)已知双曲线y2a2-x2b(13)已知向量,,则的最大值为_______________;与的夹角的取值范围是___________.(14)已知函数.若的值域为则的一个取值为___________；若的值域为R，则的取值范围是__________________.(15)如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮A和转轮B组成，B的圆心固定在转轮A上的点Q处，某个座椅固定在转轮B上的点M处.A的半径为10米，B的半径为5米，A的圆心P距离地面竖直高度为20米.游乐设施运行过程中，A与B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时分钟.当Q在P正下方且M在Q正下方时，开始计时，设在第t分钟M距离地面的竖直高度为h(t)米.给出下列四个结论：①h②最大值是35;③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；④存在使得t=t0时M到P的距离等于15米.其中所有正确结论的序号为_____________三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)如图，五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形.(Ⅰ)求证:EF∥CB;(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=EF=1,BF=2,求直线DE与平面BCEF所成角的大小.(17)(本小题13分)在△ABC中，已知2a(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的面积.条件①:c=5;条件②：cos条件③：a注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

(18)(本小题14分)某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态(完好或损坏)有较强的相关性，从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修，对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下(单位：千元)：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.(Ⅰ)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；(Ⅱ)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修.记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望EX；(Ⅲ)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号.

(19)(本小题15分)已知椭圆W：x2a2+y2b2=1(a>b>0),A，B分别是W的左、右顶点，C(Ⅰ)求椭圆W的方程及长轴长；(Ⅱ)已知点,点P在直线AC上,设直线PM与x轴交于点E,直线BP与直线EC交于点Q，判断点Q是否在椭圆W上，并说明理由.(20)(本小题15分)已知函数f(Ⅰ)若曲线在点处的切线为y=-32x,求k(Ⅱ)若为R上的单调函数，求k的取值范围；(Ⅲ)若函数gx=k6x3+x+sin(21)(本小题15分)设正整数n≥2,对于数列A:a1,a2,⋯,an,定义变换T，T将数列A变换成数列.已知数列满足(Ⅰ)若A0:-1,1,1,(Ⅱ)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数k，Ak都不是常数列；(Ⅲ)求证：当且仅当n=2mm∈N*时，对任意A0

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）(1)D (2)D (3)A (4)B (5)C(6)C (7)B (8)D (9)D (10)D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）(11)-7 (12) (13)3，(14)（答案不唯一，只需满足0<a<1）, （15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（I）由四边形是正方形，可得.又因为平面 平面，所以平面.又因为平面 ，平面平面，所以.（II）由四边形是正方形，可得.又因为平面平面，所以平面.所以.在中，因为，所以，由勾股定理逆定理得如图，建立空间直角坐标系，由已知可得.所以，,设平面的一个法向量为，则,所以取 ，得,所以，设直线与平面所成角为则.又因为为锐角，所以.（17）（本小题14分）解：（I）因为,故由可得 ,因为，所以，在中，由正弦定理，所以,因为，所以.（II）选条件②解答如下：因为，所以 ，因为为锐角，所以,又因为，所以.在中，由正弦定理,所以(或者a=3)又因为所以的面积.选条件③解答如下：由（I），，且，解得,因为，所以,所以,因为为锐角，所以，又因为，所以所以的面积.（18）（本小题13分）解：（I）设“一台设备未出现发热情况时该设备损坏”为事件A，由图可得.（II）X的取值范围为，依题意，用频率估计概率，一台设备出现发热情况下损坏的概率为.,X的分布列为：X101214P所以,100501005(III)①(19)(本小题15分)解：(I)由题意，解得所以，椭圆,其长轴长为.(II)由(I)得，,直线的方程为.设,其中，①当时，与重合，此时与 的交点即点,所以，在椭圆上.②当时,直线，即.令得，，即.直线，即直线，即.联立解得即因为所以，Q在椭圆W上.综上，Q在椭圆W上.(20)(本小题15分)解：(I)，因为曲线在处的切线方程为，所以，解得.检验：，故曲线在处的切线方程为·····4分(II)因为为R上的单调函数,所以对任意x,有；或对任意x,有,即恒成立，或恒成立，所以k的取值范围是.(III)因为是奇函数，所以只需证明：k存在无数个取值使得在上恰有一个零点.,令，根据(II),时，在上是减函数.所以，任意在上是减函数.故存在.｛存在其它取点情况，由可得时,}当x变化时，的变化情况如下表:x0 2+0-0↑极大值↓故时，..{存在其它取点情况，时，由可得时，}故存在唯一的.于是时，在上存在唯一的零点.于是k存在无数个取值使得恰有三个不同的零点.(21)(本小题15分)解：(I).(II)证明：设，其中.假设存在正整数k，使得是常数列，由不是常数列，不妨设不为常数列且为常数列，记，则 .令当时，因为，且，所以.故.此时为常数列，矛盾.另法：①若，则，有，此时为常数列，矛盾.②若，则，有，矛盾.综上，对任意正整数都不是常数列.(Ill)①首先证明，若,其中 ,则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列.证明：构造项的数列，其中.构造项的数列对任意的正整数k，设，则由(II)得，不是常数列，故不是常数列.②其次证明