微专题 利用“两点之间线段最短”求最值

数学

贵州专版2025第七章图形与变换微专题利用“两点之间，线段最短”求最值(遵义2022·16，2019·24，2018·17)第七章图形与变换栏目导航“两点一线”型类型一“一点两线”和“两点两线”型类型二“一定长两定点”型(平移型)类型三角度1

求线段和最小1.两点在异侧，求线段和最小常见设问：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小.解题思路：根据两点之间线段最短，连接AB交直线l于点P，AB的长即为PA＋PB的最小值.“两点一线”型类型一方法指导2.两点在同侧，求线段和最小常见设问：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小.解题思路：作点B关于直线l的对称点B'，将同侧问题转化为异侧问题即可解决.1.如图，已知等腰三角形ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，D为BC边的中点，M为直线EF上一动点，则DM＋CM的最小值为(

)A.6 B.9 C.10 D.12对应练习A

C

C

角度2

求线段差最大1.两点在同侧，求线段差最大常见设问：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使｜PA－PB｜的值最大.解题思路：根据三角形两边之差小于第三边，连接AB并延长交直线l于点P，AB的长即为所求.方法指导2.两点在异侧，求线段差最大常见设问：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使｜PA－PB｜的值最大.解题思路：作点B关于直线l的对称点B'，将异侧问题转化为同侧问题即可解决.5.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的一个动点，则｜PA－PB｜的最大值为_______.对应练习

66.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在边BC上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为_______.1

1.“一点两线”周长最小问题常见设问：点P在∠AOB内，在OA上找一点C，在OB上找一点D，使得△PCD的周长最小.解题思路：根据两点之间线段最短，分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，并连接，将三条线段转化到同一条线段上，P'P″的长即为△PCD周长的最小值.“一点两线”和“两点两线”型类型二方法指导2.“两点两线”周长最小问题常见设问：点P，Q在∠AOB内，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM的周长最小.解题思路：PQ的长为定值，四边形PQNM的周长最小，即PM＋MN＋QN的值最小，利用“一点两线”型的思路解答即可.7.如图，P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN的周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是(

)A.15° B.30°

C.45° D.60°对应练习B8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝140°，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN＝_________°.1009.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_____.

10.如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝4，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_____.

思路点拨：①由题可知点M，N为定点，分别作定点M，N关于定直线OB，OA的对称点M'，N'，连接M'N'，M'N'即为所求；②根据∠AOB＝30°，利用对称的性质构造直角三角形即可求出M'N'的长度.常见设问：已知l1∥l2，l1，l2之间的距离为d，且在两定点A，B之间的直线l1，l2上分别找点M，N，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小.解题思路：将点A向下平移d个单位长度得到点A'，根据两点之间线段最短，连接A'B交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1于点M，则AM＋MN＋BN的值最小，最小值为A'B＋MN.“一定长两定点”型(平移型)类型三方法指导11.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为(0，4)，(8，