2024北京牛栏山一中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京牛栏山一中高二（下）期中数学2024.05第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）1.二项式的展开式中常数项为（）A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第4项2.已知在等差数列中，，，则公差等于（）A.8 B.6 C.4 D.3.某校运动会负责播出稿件的志愿者有2人，负责给运动员引领的志愿者有5人，现要从这7人中选出3人组成慰问团，要求每项志愿服务都要有人参与，则不同的选法共有（）A.16种 B.20种 C.25种 D.28种4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数不同，两次的点数之和小于6，则在发生条件下发生的概率为（）A. B. C. D.5.判断函数在下面哪个区间内是增函数（）A. B.C. D.6.已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.是极大值点C.的图象在点处的切线的斜率等于0D.在区间内一定有2个极值点7.数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要8.已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据：123456…161那么数列的第4项等于（）A. B. C.或27 D.或819.从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.910.函数（其中）．关于函数有四个结论：①，函数在内单调递增；②，函数在内有最小值；③，使得函数在内存在两个零点；④，使函数在内存在2个极值点．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.和的等比中项是______．12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______．13.将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______．14.已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是______．15.已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则．______；______．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）16.已知二项式，且满足．（1）求值，并求二项式系数最大的项；（2）求二项展开式中含项的系数；（3）请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）17.已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和的最值；（3）设，求数列的前项和．18.2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．（1）从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；（2）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．（3）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）19.已知为实数，函数．（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；（2）当时，求函数的极小值点；（3）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．20.已知函数．（1）求曲线过点的切线方程；（2）当时，求证：存在实数，使得．21.已知集合，对于，，定义与之间的距离为．（1）已知，写出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证

参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）1.【答案】C【分析】写出展开式的通项，令，求出，即可得解.【详解】二项式展开式的通项为（），令，解得，所以二项式的展开式中常数项为第项.故选：C2.【答案】A【分析】根据下标和性质求出，即可求出公差.【详解】是等差数列，，即，．故选：A．3.【答案】C【分析】分负责播出稿件的志愿者有一名和两名两种情况讨论，利用组合数公式及分步乘法计算原理计算可得.【详解】依题意慰问团可能有一名负责播出稿件的志愿者、两名负责给运动员引领的志愿者，或有两名负责播出稿件的志愿者、一名负责给运动员引领的志愿者，则不同的选法共有种．故选：C．4.【答案】B【分析】根据给定条件，求出事件A含有的基本事件数，事件含有的基本事件数，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，投掷一枚质地均匀的骰子两次，有36个不同结果，其中两次点数相同的有6个，因此事件A含有的基本事件数为30，事件含有，共8个结果，所以在发生条件下发生的概率为.故选：B5.【答案】C【分析】求出函数导数，分别判断导数在各区间的正负即可得出单调性.【详解】，对A，当时，，，函数单调递减，故A错误，对B，当时，，，函数单调递减，故B错误；对C，当时，，，函数单调递增，故C正确；对D，当时，，，函数单调递减，故D错误.故选：C.6.【答案】D【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，，所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误；对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数，因为，所以不是函数的极值点，所以B错误；对于C中，由函数的图象，可得，所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确；对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确.故选：D.7.【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可.【详解】设等比数列的公比为，，若，则，当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递增数列．当时，由，得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递增数列．反之，若是递增数列，则，所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．故选：C．8.【答案】A【分析】根据给定的数表，求出，进而得，再结合等比数列前项和公式及确定公比即可得解.【详解】设等比数列的公比为，而，又，，因此，又，则，解得，所以数列的第4项.故选：A9.【答案】B【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】依题意李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，即选择、、路线的概率均为，又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，所以堵车的概率.故选：B10.【答案】B【分析】求出函数的导函数，根据结论中的范围，得到函数的单调性，分别判断函数的最值，零点个数和极值点个数，从而可得答案．【详解】函数的定义域，，①当时，恒成立，所以函数在内单调递增，故①正确；②当时，令，解得或（舍去），当时，，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，所以当，函数在内没有最小值，故②错误；③当时，在上单调递增，上单调递减，当时，，当时，，取时，，，此时函数在内存在两个零点，故③正确；④由以上分析可知和时，函数在内都不存在个极值点，当时，在上单调递增，不存在极值点，故不存在，使函数在内存在个极值点，故④错误．故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】【分析】设和的等比中项为，依题意得到方程，解得即可.【详解】设和的等比中项为，则，解得.故答案为：12.【答案】【分析】求出正面点数不大于2的概率，再利用二项分布的方差公式计算即得.【详解】依题意，抛掷一枚骰子一次，正面点数不大于2的概率，因此，所以.故答案为：13.【答案】37【分析】利用对立事件法求解，先计算总数，在计算甲部门没有人的种数。【详解】先不考虑甲部门是否有人，总数为种；甲部门没有人的种数为种；所以甲部门有人的安排方法种数为种；故答案为：3714.【答案】【分析】由题意可得，利用导数求出的最大值，利用二次函数的性质求出的最小值，解不等式即可求解的范围．【详解】若对于任意的，，使得恒成立，则当时，，对于函数，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，对于函数，，图象开口向上，对称轴为，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为当时，，利用导数及二次函数分别求出、.15.【答案】①.##②.【分析】利用中点坐标公式结合题意可求出，从而可求出，再由以及等比数列的定义、通项公式与求和公式即可求出.【详解】因为是线段的中点，，所以，因为，，所以，，所以，因为，，所以，即，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以，故答案为：；.【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的定义、通项公式与求和公式的应用，解题的关键是根据已知的递推式化简变形得数列是以为公比，2为首项的等比数列，考查数学计算能力，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）16.【答案】（1），（2）（3）【分析】（1）根据组合数公式得到方程，即可求出，再写出展开式的通项，即可求出二项式系数最大项；（2）令，解得，再利用通项计算可得；（3）令，即可求出各项系数和.【小问1详解】因为，即，整理得，解得或（舍去），故．所以展开式的通项为（且），则，故二项式系数的最大项为第项，为．【小问2详解】令，解得，所以，所以二项展开式中含项的系数为；【小问3详解】对于，令可得，所以展开式中所有项的系数的和为.17.【答案】（1），（2），没有最大值（3）【分析】（1）根据下标和性质求出，即可求出公差，从而求出的通项公式，再求出，即可求出，从而求出的通项公式；（2）根据等差数列求和公式及二次函数的性质计算可得；（3）由（1）可得，再由等比数列求和公式计算可得.【小问1详解】因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，即，所以公差，则，所以，又因为，，即，所以公比，所以；【小问2详解】数列的前项和，所以或时，取得最小值，且，没有最大值；【小问3详解】由（1）可得，所以的前项和．18.【答案】（1），．（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）依题意，根据二项分布概率公式及期望公式计算可得；（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出与，然后即可比较大小．【小问1详解】依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件，则，又．【小问2详解】由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，其他为未收看者人，所以的可能取值为，，，，所以，，，，所以的分布列为：0123故；【小问3详解】依题意可得，，所以．19.【答案】（1）；（2）；（3）2，理由见解析.【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把代入，利用导数结合极值点的定义求解即可.（3）根据绝对值的意义，结合导数及零点的定义、零点存在定理分类讨论进行求解即可.【小问1详解】当时，函数，求导得，则，而，于是切线方程为，即，所以曲线在点处的切线的方程.【小问2详解】当时，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数有且仅有一个极小值点.【问3详解】函数的零点个数为2，理由如下：①当时，，而，求导得，因此函数在区间上单调递减，，即函数在区间上有且仅有一个零点；②当时，，求导得，由，得，函数在上单调递增，，于是，即恒成立，函数在区间上单调递增，又，因此函数在区间上有且仅有一个零点．综上，函数的零点个数为2．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据绝对值的性质分和两种情况进行讨论求解.20.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）当时切线不存在，当时，求出函数的导函数，切点，根据导数的几何意义得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）当时，有，即存在实数使；当，时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由单调性求出函数的极小值，再由导数求出极小值的最大值得答案．【小问1详解】当时，则过点的切线不存在；当时，据题意，函数，则，设切点，则，所以过点的