《高考备考指南 理科数学》课件-第5章 第1讲

第五章第1讲[A级基础达标]1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a【答案】B【解析】对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．2．(2016届邯郸二模)如图所示，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→)) C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))【答案】D【解析】由图知eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).3．(2017届福州质量检测)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－b C．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)【答案】D【解析】依题意得eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝2(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故选D．4．(2017届温州八校检测)已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部【答案】C【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P在线段AC上．5．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，知点O为△ABC的重心，又O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－b C．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b【答案】D【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.7．向量e1，e2不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．【答案】④【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))不共线，可得A，C，D共线且B不在此直线上．8．(2015年北京)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.【答案】eq\f(1,2)－eq\f(1,6)【解析】由题中条件得，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？【解析】∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．10．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)).【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，所以2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b－c.[B级能力提升]11．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则()A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上【答案】B【解析】因为2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B．12．设a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是()A．－2 B．－1 C．1 D．【答案】B【解析】∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)．∴2＝2λ，p＝－λ.∴λ＝1，p＝－1.13．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】如图，作∠BAC的平分线AD．∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))．∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→)).∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．14．设G为△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，则角B的大小为()A．45° B．60° C．30° D．15°【答案】B【解析】∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，将其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.故选B．15．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．【答案】直角三角形【解析】eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．16．(2016年广州调研)已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________.【答案】3【解析】由已知条件得eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，则m＝3.17．若a，b是两个不共线的非零向量，则当t为何值时，共起点的三向量a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的终点在同一条直线上？【解析】设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.∵a与b为不共线的非零向量，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴当t＝eq\f(1,2)时，三向量终点在同一直线上．18．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若