《高考备考指南 理科数学》课件-第8章 第3讲

第八章第3讲[A级基础达标]1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内【答案】B【解析】过直线外一点作该直线的平行直线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内．2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β【答案】C【解析】在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若α∥β，α∥γ，则β∥γ【答案】D【解析】借助正方体模型逐一判断．如图所示，正方体的棱A1B1，B1C1都与底面ABCD平行，但这两条棱相交，故A不正确；在正方体中AB∥A1B1，A1B1⊂平面A1B1BA，而AB在平面A1B1BA内，故B不正确；正方体的棱B1C1既平行于平面ADD1A1，又平行于平面4．(2016年海淀模拟)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】①正确；②中也可能直线l⊂α，故错误；③中三条直线也可能相交于一点，故错误；④正确，所以正确的命题有2个．5．(2016年惠州模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m【答案】C【解析】借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C．6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】B【解析】①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.7．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【答案】平面ABD与平面ABC【解析】如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.8．如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于点G，连接CD交平面β于点H，则四边形BGEH必为________．【答案】平行四边形【解析】由题意知，直线a与直线AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．9．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C－A1DE的体积．【解析】(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.10．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【解析】(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.[B级能力提升]11．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A．若m⊥α，m⊥β，α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β【答案】C【解析】由线面垂直的性质可知A正确；由面面平行的性质可知B正确；m⊂α，n⊂β，m∥n，α，β可能平行，也可能相交，故C错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知D正确．12．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】C【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．13．如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．【答案】(8,10)【解析】设eq\f(DH,DA)＝eq\f(GH,AC)＝k，∴eq\f(AH,DA)＝eq\f(EH,BD)＝1－k.∴GH＝5k，EH＝4(1－k)．∴周长＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周长的范围为(8,10)．14．已知a，b是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；②若a，b与α所成角相等，则a∥b；③若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.其中正确的命题的序号是________．【答案】①④【解析】①若α∥β，a⊂α，则a∥β；这是显然正确的．②若a、b与α所成角相等，则a∥b；如果a、b是圆锥的母线，显然不正确．③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；如教室的墙角的三个平面关系，不正确．④若a⊥α，a⊥β，则α∥β；这是显然正确的．15．如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在线段CE上，设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.【解析】在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中，过点G作GN∥BC交CE于点N，连接MN，则由eq\f(CN,CE)＝eq\f(BG,BE)＝eq\f(MB,AB)＝eq\f(1,3)，得CN＝eq\f(1,3)CE.因为MG∥AE，AE⊂平面ADE，MG⊄平面ADE，所以MG∥平面ADE，又GN∥BC，BC∥AD，AD⊂平面ADE，GN⊂平面ADE，所以GN∥平面ADE，又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE，因为MN⊂平面MGN，所以MN∥平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN∥平面ADE.16．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.【证明】(1)如图所示，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一：如图所示，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平