《高考备考指南 理科数学》课件-第8章 第5讲

立体几何第八章第5讲空间向量及其运算【考纲导学】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．②相等向量：方向______且模______的向量．③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相_____________的向量．④共面向量：____________________的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb.②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.③空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(

)A．(－8，－6，－1)

B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1)

D．(－8，－6,1)【答案】A【答案】B【答案】B【答案】(－5,6,24)

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)×课堂考点突破2空间向量的线性运算共线定理、共面定理的应用

空间数量数量积的应用

已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值．【跟踪训练】3．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)．(1)计算2a－3b和|2a－3b|；(2)求〈a，b〉．课后感悟提升31种意识——基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．2种方法——基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．3个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的问题(1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．1．(2010年广东)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.【答案】2

【解析】c－a＝