浙江专用2024年高考数学一轮复习讲练测专题3.3利用导数研究函数的极值最值练含解析

PAGEPAGE1第03讲利用导数探讨函数的极值，最值练1．（重庆高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中肯定成立的是（）A．函数有极大值和微小值B．函数有极大值和微小值C．函数有极大值和微小值D．函数有极大值和微小值【答案】D【解析】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.2.（2024·安徽高三月考（理））已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）①；②函数在处取得微小值，在处取得极大值；③函数在处取得极大值，在处取得微小值；④函数的最小值为.A．③B．①②C．③④D．④【答案】A【解析】由的图象可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．对于①，由题意可得，所以①不正确．对于②，由题意得函数在处取得极大值，在处取得微小值，故②不正确．对于③，由②的分析可得正确．对于④，由题意可得不是最小值，故④不正确．综上可得③正确．故选A．3．（2024·重庆一中高三月考（文））设函数，则（）A．为的极大值点 B．为的微小值点C．为的极大值点 D．为的微小值点【答案】D【解析】因为，所以，由得，所以，当时，，故单调递增；当时，，故单调递减；所以函数在处取得微小值，无极大值.故选D4．（2024·重庆八中高考模拟（文））已知函数，则的大致图象为()A． B．C． D．【答案】D【解析】，由，可得是极大值点，故选D.5．（2024·安徽毛坦厂中学高考模拟（文））已知函数在处取得微小值，则的极大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，解得，，，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为.故选：B6．（2024·东北育才学校高考模拟（理））已知函数，则的极大值点为()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D7.（2024·福建高考模拟（理））已知函数的极大值和微小值分别为，，则（）A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】,该方程两个根为，故在取到极值，而所以，故选D.8．（2024·吉林东北师大附中高考模拟（理））等差数列的前n项的和为，公差，和是函数的极值点，则（）A． B．38 C． D．17【答案】A【解析】由题，又因为公差，所以,,经计算，,所以，故选A.9.（2024·广西高考模拟（理））已知函数的图象与直线分别交于两点，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数的图象与直线分别交于两点，所以，，其中，且，所以，令，则，令得：；所以易得：时，；时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，即的最小值为.故答案为D10．（2024·河北高考模拟（理））已知，，函数，，设的最大值为，且对随意的实数，恒有成立，则实数的最大值为（）A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】由题可知对随意的实数，恒有成立，只需．因为时，由，得，设，，则有，令，得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故，，又，，所以，从而①，又．②．当时，①②同时取等号，故恒成立，所以实数的最大值为．故选D．1．（2024·河北高考模拟（文））设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，所以当时，；时，；时，；所以当时，，当时，，当或时，，当时，，可得选项B符合题意，故选B．2.（2024·广东高三期末（文））已知是的微小值点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，它的两个零点为，要是函数的微小值点，则必需，此时函数在上递减，在上递增，在处取得微小值.故本题选D.3．（2024·安徽高考模拟（文））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数有两个极值点，所以方程有两不等实根，令，则与直线有两不同交点，又，由得，所以，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；所以，又，当时，；作出函数的简图如下：因为与直线有两不同交点，所以，即.故选D4．（2024·辽宁高考模拟（理））若是函数的极值点，则的值为（）A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2【答案】B【解析】，由题意可知，或当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，明显是函数的极值点；当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B.5.（2024·安徽高考模拟（文））如图，在中，，和分别是边和上一点，，将沿折起到点位置，则该四棱锥体积的最大值为_______．【答案】【解析】在中，由已知，，，所以设，四边形的面积为,当平面时，四棱锥体积最大,此时，且,故四棱锥体积为，，时，；时，,所以，当时，.故答案为6．（2024·浙江高三开学考试）已知函数，则函数的最小的极值点为___________；若将的极值点从小到大排列形成的数列记为，则数列的通项公式为______.【答案】或【解析】，或，明显数列的，当为偶数时，当为奇数时，综上所述，1．（2024·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的微小值为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的微小值为，故选A．2.（2024·江苏高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．【答案】.【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，3．（2024·北京高考真题（理））已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对随意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.4.（2024·全国高考真题（理））已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点冲突.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..假如，则当，且时，，故不是的极大值点.假如，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.假如，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.5．（2024·全国高考真题（理））已知函数．（1）探讨的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满意，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.6．（2024·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的微小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因