《高考备考指南 理科数学》课件-第3章 第1讲

导数及其应用第三章第1讲导数的概念及运算栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断1(x0，y0)

切线斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)cosx

－sinx

axlna

ex

f′(x)±g′(x)

f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．yu′·ux′

y对u

u对x2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(

)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(

)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×课堂考点突破2导数的运算【规律方法】(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)①如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．导数的几何意义【考向分析】导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的考向有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值；(4)导数与函数图象的关系．【答案】D

【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D．【规律方法】导数几何意义的应用的2个注意点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．导数几何意义的综合应用

已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗t＋3↘t＋1

↗【规律方法】解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根．构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可．【跟踪训练】2．过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有(

)A．3条B．2条

C．1条

D．0条课后感悟提升31个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．4个注意点——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(2)利用导数公式求导数时，要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．1．(2016年新课标Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__________．2．(2016年新课标Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.3．(2015年新课标Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－