华师福建 九年级 下册 数学 第27章《垂径定理及其推论》课堂学案

27.1圆的认识2.圆的对称性第2课时垂径定理及其推论学习目标1.掌握垂径定理及其推论.2.能运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.知识点1垂径定理例1垂径定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且平分这条弦所对的两条________．几何语言：如图，∵_______________________________________________，∴___________________________________________.练1－1如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm.求DC的长．练1－2如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D.求证：AC＝BD.知识点2垂径定理的推论例2如图，CD为⊙O的直径，E为弦AB(不是直径)的中点．请问CD与AB垂直吗？练2如图是一个中式拱门的截面图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4m，EM＝6m，求⊙O的半径．例3在圆柱形油槽内装有一些油，其截面如图所示．已知截面⊙O的半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，求油面AB上升了多少．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝________cm. (第1题) (第2题) (第3题)2．如图，P为⊙O内的一点，且OP＝6，若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为()A．12 B．16 C．17.5 D．203．如图，侧面形状为圆弧形的拱桥的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，则拱桥的半径为()A．15m B．13m C．9m D．6.5m4．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径；(2)在(1)的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？答案27.1圆的认识2.圆的对称性第2课时垂径定理及其推论新课学习例1平分；弧；CD⊥AB，且CD为直径；AP＝BP，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))练1－1解：连结OA，∵OC⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝4cm.在Rt△OAD中，由勾股定理得，OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm，∴DC＝OC－OD＝2cm.练1－2证明：过点O作OE⊥AB于点E.∵两个圆是同心圆且圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.例2解：垂直，理由如下：如图，连结OA，OB.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.在△AOE和△BOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝BO，,OE＝OE，,AE＝BE，))∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO＝∠BEO＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴CD⊥AB.练2解：如图，连结CO.∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，∴EM⊥CD，CM＝eq\f(1,2)CD＝2m．设⊙O的半径为rm，在Rt△OCM中，由勾股定理得OC2＝OM2＋CM2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝eq\f(10,3).∴⊙O的半径为eq\f(10,3)m.深挖拓展例3解：有两种情况：(1)如图①，设宽度为8cm的油面为CD，连结OB，OD，作ON⊥AB，与CD，AB的交点分别为M，N.易知OM⊥CD，CM＝MD＝eq\f(1,2)CD＝4cm，AN＝BN＝eq\f(1,2)AB＝3cm.在Rt△BON中，由勾股定理得ON＝eq\r(OB2－BN2)＝4cm.在Rt△DOM中，由勾股定理得OM＝eq\r(OD2－DM2)＝3cm.∴MN＝ON－OM＝1cm，即油面上升了1cm.(2)如图②，设宽度为8cm的油面为EF，过O作PQ⊥EF，与AB，EF的交点分别为Q，P，连结OB，OE.易知PQ⊥AB，EP＝PF＝eq\f(1,2)EF＝4cm，AQ＝BQ＝eq\f(1,2)AB＝3cm.在Rt△BOQ中，由勾股定理得OQ＝eq\r(OB2－BQ2)＝4cm.在Rt△EPO中，由勾股定理得OP＝eq\r(OE2－EP2)＝3cm.∴QP＝OQ＋OP＝7cm，即油面上升了7cm.综上所述，油面AB上升了1cm或7cm.课堂小测1．82.A3.D4．解：(1)设圆心为O，过点O作OE⊥AB于点D，交弧AB于点E，连结OB，如图．∵OE⊥AB，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝8cm，由题意知ED＝4cm，设半径为xcm，则OD＝(x－4)cm，在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴这个圆形截面的半径为10cm.(2)能顺利通过这个管道．理由：如图，MN是垂直于OE的一条弦，延长EO交MN于点F，连结OM.设MN＝12cm，则MF＝eq\f(1,2)MN