山东省菏泽市单县一中2025届高三下学期二模考前第一次调研考试数学试题（原卷版+解析版）

高三二模考前第一次调研考试数学试题时间120分钟，分值150分一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.2.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数，则对任意实数，下列结论正确的是（）A.是偶函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递增C.是奇函数，且在上单调递减D.偶函数，且在上单调递减4.已知向量，且，则的面积为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（）A.1 B.2 C. D.7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.8.已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.的图象与的图象在内有4个交点10.函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B函数既有极大值，也有极小值C.方程有个不同的实数解D.在定义域内，恒有11.二元一次方程：可以表示平面内所有的直线，二元二次方程可以表示平面内所有的二次曲线.下列对二元二次方程所表示曲线的性质描述正确有（）A.曲线关于直线对称B.曲线上点的纵坐标的范围是C.存在，使与曲线相切D.过的直线与曲线交于两点，的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答）13.已知直线与曲线相切，则直线的方程为：__________.14.在平面直角坐标系内，已知，若的面积不超过，则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）的个数为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在矩形中，点在线段上，且.（1）求；（2）若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值.16.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望；②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．参考数据：取．若，则，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87917.已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值.18.如图，在平面四边形中，等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.（1）证明：；（2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值.19已知函数.（1）求在处的瞬时变化率；（2）若恒成立，求的值；（3）求证：

高三二模考前第一次调研考试数学试题时间120分钟，分值150分一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可得.【详解】因，，故，故选：C2.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、线虚数的定义进行判断即可.【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有，当时，显然，但是，都不是纯虚数”，因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件，故选：A3.函数，则对任意实数，下列结论正确的是（）A.是偶函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递增C.是奇函数，且在上单调递减D.是偶函数，且在上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据奇偶函数的定义即可判定奇函数，根据指数函数的单调性即可求解单调性.【详解】的定义域为，而，则，故是奇函数，由于，函数单调递增，故在上单调递增，故选：B4.已知向量，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解.【详解】因为，得到，化简得，所以，又，所以，得到，所以，则，，所以的面积为，故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用倍角公式，通过构角，得到，即可求解.【详解】因，又，所以，得到，又，所以，故选：A.6.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据线线垂直可得平面，进而根据面面垂直的性质可得平面，进而根据三角形的边角关系，结合锥体体积公式求解.【详解】如图：取的中点，连接，则且，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，过作的垂线，垂足为，即,平面，故平面，由题意可知，由余弦定理可得,故，所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为故选：B7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解.【详解】如图，延长交的延长线于点,由于是的角平分线上的一点，且,所以点为的点，所以,又为的中点，所以，故，故，即，将点代入可得，解得，故离心率为，故选：B8.已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据累加法可得即可求解.【详解】当时，因为，故由累加法可得，故，故AB错误，由，所以故，所以C错误,D正确，故选：D【点睛】关键点点睛：利用累加法可得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.的图象与的图象在内有4个交点【答案】BD【解析】【分析】根据函数图象的变换可得，即可代入验证求解ABC，作出两个函数的图象即可求解D.【详解】的图象向右平移个单位后，可得，进而可得，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故不是的对称轴，故C错误，对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确，故选：BD10.函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数既有极大值，也有极小值C.方程有个不同的实数解D.在定义域内，恒有【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由题知定义域为，，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对于B，利用极值的定义，即可求解；对于选项C，利用函数的单调性，得出函数图象，再数形结合，即可求解；对于D，构造函数，利用的图象关于点中心对称，即可求解.【详解】易知的定义域为，，对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误，对于选项B，由，得到或，当时，，当时，，当，，当时，，所以的极大值为，极小值为，故选项B正确，对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为，当时，，且时，，当从左边时，，当从右边时，，且时，，当时，，图象如图所示，由图知，只有一个零点，且，令，由，得到，所以，令，由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确，对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称，所以，即，得到，故选项D正确，故选：BCD11.二元一次方程：可以表示平面内所有的直线，二元二次方程可以表示平面内所有的二次曲线.下列对二元二次方程所表示曲线的性质描述正确有（）A.曲线关于直线对称B.曲线上点的纵坐标的范围是C.存在，使与曲线相切D.过的直线与曲线交于两点，的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据换成，将换成，方程不变，即可判定A，配方，即可根据求解B，联立方程，根据方程的根即可求解C，根据对称性，联立方程求解交点，即可求解D.【详解】对于A，将换成，将换成，方程不变，因此方程所表示的曲线关于直线对称，A正确，对于B，，故，故，故B正确，对于C，联立，化简得，即，故，该方程有唯一的实数根，故曲线与直线有唯一的交点，因此无论为何值，与曲线均不相切，故C错误，对于D，由选项A可知：曲线关于对称，故，可得,此时，故的最小值为2，故D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据曲线关于对称，且在直线上，可知过过且与垂直的直线与曲线截的长度最小.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】利用分步计数原理，结合优先特殊元素或特殊位置来解决问题.详解】第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种；第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种；第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种，利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种，故答案为：.13.已知直线与曲线相切，则直线的方程为：__________.【答案】【解析】【分析】根据直线过定点，进而根据单调性可知为切点，求导，即可根据点斜式求解方程,当不是切点时，根据，构造函数求解方程的根即可求解.【详解】将变形为，故直线恒过点，又经过点，若直线与相切于点，，故，所以直线的方程为，即，若直线与不相切于点，设切点为，则，故，故，化简可得，记，则，由于且，在单调递增，故单调递增，且，故，因此在单调递减，由于，结合可知，当时，无实根，故当不是切点时，无满足条件的切线方程，综上可知：切线方程为故答案为：【点睛】关键点点睛：根据直线经过定点，根据切点是否为，结合求导求解.14.在平面直角坐标系内，已知，若面积不超过，则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）的个数为__________.【答案】24【解析】【分析】根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可得即可得，对分别取0，1，2，3，求解的取值，即可求解整点.【详解】设，直线方程为，可知，故,得设，则为整数，则，可得，故，当时，点在直线上，此时不能构成三角形，故舍去，当时，，此时有4个整数点，当时，，此时有4个整数点，当时，，此时有4个整数点，根据对称性可知：当时，也分别有4个整数点，故共有24个整点，故答案为：24【点睛】关键点点睛：根据,得可得则，即可代入求解整点.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在矩形中，点在线段上，且.（1）求；（2）若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过作于，设，则，根据条件，利用正切的和角公式建立方程，即可求解；（2）设，根据条件，利用面积公式得到，再利用余弦定理及重要不等式，可得，即可求解.【小问1详解】过作于，设，易知，则，由，整理得到，解得或（舍），所以.【小问2详解】由（1）易知，，设，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.16.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望；②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．参考数据：取．若，则，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）答案见解析（2）①分布列见解析，；②【解析】【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；（2）①根据题意结合超几何分布求分布列和期望；②根据题意求平均数和方差，结合正态分布求，进而利用对立事件分析求解.【小问1详解】由题意可得：列联表为

物理优秀物理非优秀总计数学优秀246数学非优秀044总计2810零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，可得，依据小概率值的独立性检验，可以推断成立，即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.【小问2详解】由题意可知：抽取的5人中数学等第优秀的有3人，非优秀的有2人，则的可能取值为1，2，3，可得：，所以的分布列为123的期望；由题意可得：物理成绩的平均分为（分）；方差，结合题意可知：，即，则，可得，记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，可得，所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为.17.已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据即可求解，（2）求导可得切线斜率，即可根据点斜式求解直线方程，进而可得方程为，根据相切即可求解，（3）联立直线与曲线方程可得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入化简即可求解.【小问1详解】由题意可得，故抛物线的方程为【小问2详解】设，所以直线即同理可得，设则且故在直线上，即直线方程为，由于直线与圆相切，故，化简可得，故点的轨迹方程【小问3详解】由题意可知，设直线的方程为，,联立方程，化简可得，则故，由于直线与双曲线的下支相交于两点，故，解得，，故为定值.18.如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.（1）证明：；（2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解，（2）利用等体积法即可求解，（3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值.