专题22 动点、图形多可能性问题-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（河南专用）

PAGE1专题22动点、图形多可能性问题（解析版）1.（2024·河南·统考中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.【答案】①.②.【详解】解：∵，，∴，∵线段绕点C在平面内旋转，，∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，∵，∴，∴点E在以为直径的圆上，在中，，∵为定值，∴当最大时，最大，最小时，最小，∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：则，∴，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值为；当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：则，∴，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值为；故答案为：；．2.（2023·河南·统考中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．【答案】2或【详解】解：当时，∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线的中点，∴，∴，即：，∴，当时，∵M为对角线的中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．3.（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．【答案】或##或【详解】如图，连接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，，如图，在中，，在中，故答案为：或．4.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为______．【答案】12或【详解】解：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A'C交AB边于点E，如图，

由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分线段DD'．

则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

∴BC=AC⋅tanA=1×tan60°=3．

∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，

∴CE=32．

∴A'E=A'C−CE=1−32．

在Rt△A'D'E中，

∵cos∠D'A'E=A'EA'D'，

∴A'EA'D'=12，

∴A'D'=2A'E=2−3．

②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，

由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=13∠ACB=30°；

则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1

一、填空题1．（2024·河南周口·三模）正方形的边长为，E是边上的一个动点（不与A，D两点重合），将沿折叠得，若是等腰三角形，则．【答案】或【详解】解：是等腰三角形，分三种情况：①当时，如图，过作于点，交于点，四边形是正方形，，，，∴MN是正方形的对称轴，如图，连接，则，将沿折叠得，，是等边三角形，，，，，；②当时，如图，过作，交于点，交于点，，，，，，，由勾股定理得：，，四边形为矩形，，，，设AE=x，则，，由勾股定理得：，即，解得，，，；③当时，由题意，，，此时四边形BCDP是正方形，点与点重合，不符合题意，综上所述，的长为或．故答案为：或．2．（2024·河南新乡·二模）在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则．【答案】1或9【详解】解：根据题意得：，分情况讨论：当点在线段上时，根据折叠性质：，在中，，设BP=x，则，在中，，解得：，当点在线段的延长线上时，根据折叠性质：，，，在和中，，，，在中，，，综上：的长为1或9，故答案为：1或9．3．（2024·河南濮阳·二模）如图，在矩形中，，E是边上一动点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为F．再作点B关于直线的对称点G，连接．当点G恰好落在矩形的边上时，线段的长为．

【答案】或3【详解】解：如图①，点G落在上，

沿直线BE翻折，点A的对应点为F，，点B，点G关于直线EF的对称，，∴B、F、G三点共线，，，∵，，，∵，∴，∴，∴∴，如图②，点G在上，

由上可知，，∴，∴，∴，∴线段的长为或3，故答案为：或34．（2024·河南安阳·三模）如图，在等边中，于点，点分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，若是直角三角形，则的值为．

【答案】或【详解】解：是等边三角形，，，，，，由折叠的性质可得：，如图，当时，

，，，，，，，解得：，，，如图，当时，

，，，，，解得：，，，，，，综上所述：的值为或，故答案为：或．5．（2024·河南鹤壁·二模）如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为．【答案】1或【详解】解：如图：以点B为圆心，为直径画圆，与分别相交于两点，且为，然后过点B分别作的垂直平分线交于当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接∵四边形是正方形∴则即∴∵为边的中点，∴故∴如图：当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接交于一点，∵沿所在直线翻折∴即直线是的平分线，过点G作，∴∵四边形是正方形∴∴则设，则∵∴则中，得即解得∵∴则解得综上：线段的长为1或故答案为：1或6．（2024·河南南阳·二模）如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点(点不与点，重合)．将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为．

【答案】或或【详解】解：①当时，连接，如图：

点是AB的中点，，，四边形是矩形，，，，，将沿所在直线翻折，得到，，，，点，，三点共线，，，设则，在中，，解得：，；②当时，如图：

，点在线段CD的垂直平分线上，点在线段AB的垂直平分线上，点是AB的中点，是AB的垂直平分线，，将沿所在直线翻折，得到，，，四边形是正方形，；③当时，连接，，如图：

点是AB的中点，，，四边形是矩形，，，，将沿所在直线翻折，得到，，，，点，，三点共线，，，设则在中，，在中，，，即解得：，；综上所述，的长为或或，故答案为：或或．7．（2024·河南驻马店·三模）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为．

【答案】或【详解】解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，∴，，∴设，则，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵为等腰三角形，当时，，当时，∵，∴点与点重合，∴，

不存在的情况；综上：的长为或．故答案为：或．8．（2024·河南新乡·一模）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，∠AOC=60°，则当为直角三角形时，的长为．【答案】或【详解】解：如图1，当∠AMB＝90°时，∵O是AB的中点，AB＝2，∴OM＝OB＝1，又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，∴BOM是等边三角形，∴BM＝BO＝1，∴RtABM中，AM＝＝；如图2，当∠ABM＝90°时，∵∠BOM＝∠AOC＝60°，∴∠BMO＝30°，∴MO＝2BO＝AB＝2，∴RtBOM中，BM＝＝，∴RtABM中，AM＝＝，综上所述，当ABM为直角三角形时，AM的长为或．故答案为：或．9．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC=4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为．【答案】﹣1或1【详解】解：情况一：如图1中，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴AB＝AG＝5，∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，∵，∴BG＝＝＝，∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝-1．情况二：如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（6﹣x）2，解得x＝，∴BG＝，AG＝5﹣＝，∵，∴＝，∴＝，∴AM＝，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC﹣AH＝1．综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．故答案为：﹣1或1．10．（2024·河南濮阳·三模）如图，正方形的对角线上有一动点，作于点，连接，若，则的长为．【答案】或/或【详解】解：如图，延长交于H，∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得∶，当时，，∴；当时，，∴；综上所述，的长为或．故答案为∶或11．（2024·河南南阳·一模）在矩形中，，点为的中点，点在边上，且．连接，和，若为直角三角形，则的长为．【答案】12或/或12【详解】解：，点为的中点，，在矩形中，，，，，①当时，如图1所示．∴，，．，．，即，解得．．②当时，如图2所示，同理可得，．，即，解得．．③，不可能为直角．综上所述，的长为12或．故答案为：12或．12．（2024·河南开封·二模）若一个三角形的三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点G在边上，将沿所在直线折叠，得到，再将沿过点A的直线折叠，使与重合，点的对应点为点E，折痕与交于点F，若是“勾股三角形”，则的长为．【答案】或【详解】解：由折叠的性质，可得：，，，，，，∵是“勾股三角形”，或，当时，设，则：，，，，，，，当时，同理可得：；故答案为：或．13．（2024·河南漯河·二模）矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是．【答案】或3−22【详解】解：由题意矩形沿过点A的直线折叠，使点落在点处，∴，∴点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，

当与相切于点E时，，是直角三角形，此时分两种情况：①如图，点E在矩形的外部，过点E作交于点H，交于点G，

∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直线的距离，②如图，点E在矩形的内部，过点E作交于点N，交于点M，

∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直线的距离，综上，点E到直线的距离是或3−22，故答案为：或3−22．14．（2024·河南信阳·一模）如图，已知矩形的两条边，点是对角线的交点，点是边上一个动点，作点关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是．【答案】或5【详解】如图，∵点关于直线的对称点为，∴，∴∵四边形是矩形，∴①当时，则∴在Rt中，，设则在Rt中，根据勾股定理得，即解得x=5②当时，则∵点关于直线的对称点为，∴是的平分线，综上所述，的长是或5．故答案为：或5．15．（2024·河南郑州·一模）如图，在菱形中，，，点为边上一点，，点为边上的一动点，沿将翻折，点落在点处，当点在菱形的对角线上时，的长度为．【答案】2或【详解】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°−30°＝60°，∴AN＝AM＝2；②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，∵AB＝3，∴BM＝AB−AM＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°−60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝12∠ADC∵∠BPN＝∠BPM＋60°＝∠DNP＋60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴，即，∴PD＝x，∴解得：或（不合题意舍去），∴；综上所述，AN的长为2或；故答案为：2或．16．（2024·河南南阳·一模）在平行四边形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与射线交于点．若，，则线段．【答案】或【详解】解：①如图，当在边上，连接，四边形是平行四边形，，，，，由折叠得：，AE=EF，，，，是的中点，，，，，，，．②如图，当在边延长线上，同理可求：，，；综上所述：的长为或．17．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，，，AC=1，在直线左侧找到一点D，使四边形满足一组对边平行且有一组对角互余，则的长为．【答案】或【详解】解：分两种情况讨论如下：①当，时，过点作，交的延长线于，如图1所示：在中，，，AC=1，，由勾股定理得：，，，，在中，，，由勾股定理得：，即，，，，，，四边形为矩形，，，，在中，由勾股定理得：，②当，时，过点作，交的延长线于，如图2所示：同理：，，，，，，，为等边三角形，，在Rt△ADE中，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：．综上所述：的长为或．故答案为：或．18．（2024·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，为上一动点，连接．将沿折叠，当点恰好落在矩形的对角线上时，的长为．【答案】或【详解】解：分两种情况：当点在上时，如图，四边形是矩形，，，，由轴对称的性质可知：，，，，，而，，，解得：；当点在上时，如图，由轴对称的性质可知，，，又，，，，即，解得：；综上所述，的长为或，故答案为：或．19．（2024·河南鹤壁·一模）矩形纸片中，，，点在AD边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与AD，分别交于点，，则线段的长度为．【答案】或【详解】解：∵折叠，∴，∵四边形是矩形，∴∴，又∴∴，当点在点的右侧时，如图所示，设交于点，

∵，，，∴中，，则，∵，∴∴，当点在点的左侧时，如图所示，设交于点，∵，，，∴中，

则，∵，∴∴，综上所述，的长为：或，故答案为：或．20．（2024·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为．【答案】2或/或2【详解】解：①如图，当在外部时，，延长交于N，过点A作于H，∵和都为等腰直角三角形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；②如图，当在的内部时，，∵和都为等腰直角三角形，∴，，，AB=22，∵，∴，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故答案为：2或．21．（2024·河南驻马店·三模）在中，，，，是边上的中线，把绕点D旋转，旋转角为，对应点为点．如果与直角边平行，则点到点C的距离为．【答案】或【详解】解：如图所示，当时，过点C作交的延长线与H，∵在中，，，，∴，∵是边上的中线，∴，由旋转的性质可得，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；如图所示，当时，设交于H，在Rt△CDH中，，∴，∴；综上所述，点到点C的距离为或，故答案为：或．22．（2024·河南周口·一模）如图，等边的边长为3，D为上一点，，P是线段上的动点，若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为．【答案】或【详解】解：如下图，过点D作于点M，等边的边长为3，，，，∴，∴，，，；分两种情况：①如下图，连接，若，，，，，即，解得，②如下图，连接，若，，，，，即，解得，综上所述，的长为或，故答案为：或．23．（2024·河南濮阳·一模）在矩形中，，E为线段的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点C的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为．【答案】3或【详解】分两种情况：

①当点落在对角线上时，连接，如下图所示：将矩形沿折叠，点C的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上，,∵点E为线段的中点，,∴，又∵，，即,，∴，是中点点是的中点，在矩形中，,,

,点运动的距离为3；②当点落在对角线上时，作于，则，四边形为矩形，如图2所示：在矩形中，，,，∵，，,，,四边形为矩形，,,点运动的距离为；综上所述：点运动的距离为3或；故答案为：3或．24．（2024·河南开封·三模）如图所示，在中，，，是的中位线，D是边上一点，，P是线段上的一个动点，连接，相交于点O．若是直角三角形，则的长是．

【答案】或【详解】解：，，是等腰直角三角形，，，是的中位线，，，，分两种情况：①当时，如图1，过点F作于H，

是等腰直角三角形，，，，，，设，由勾股定理得：，，，；②当时，如图2，过点F作于H，则，

，，，，，即，，综上，的长为或．故答案为：或．25．（2024·河南信阳·一模）在菱形纸片中，，，点F在边上，将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E．当与菱形的边垂直时，的长为．【答案】2或【详解】解：分两种情况，①当时，如图，设于G，

∵四边形是菱形，∴，，∵于G，∴，∴，∴在中，，由勾股定理，得，∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴，∴，∴；②当时，如图，设于G，过点F作于H，

∵四边形是菱形，∴，，，∴∵∴∴∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E，∴，∵∴∴∴，∵，，∴，设，则，，在中，由勾股定理，得解得：，（舍去），∴；综上，的长为2或．故答案为：2或．26．（2024·河南鹤壁·一模）矩形中，点是边上一动点，将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，且点是的三等分点时，的值为．【答案】或【详解】解：根据题意，分两种情况：当时，如图所示：设，则，，，将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，，且，即，在中，由勾股定理可得，，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去），；当时，如图所示：设，则，，，将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，，且，即，在中，由勾股定理可得，，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去），；综上所述，的值为或．27．（2024·河南郑州·二模）在矩形中，点E是的中点，将沿所在直线折叠后得到．点B的对应点为点F．延长交直线于点P，若，PD=1，则的长为．【答案】或【详解】解：情形一：当点在边上时，连接，如图1，∵E是的中点，∴，∵沿折叠后得到，∴，∴，∵在矩形中，∴，∴，∵∴∵在和中，，∴，∴，在中，设，由勾股定理得，∴，解得，（负值舍去），∴；情形二：当点在边延长上时，连接，如图2，同理可证，∴在中，设，由勾股定理得，∴，解得，（负值舍去），∴；综上，的值为或故答案为：或28．（2024·河南信阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为．【答案】或10．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，∴AM＝BN，∵AM∥BN，∴四边形ABNM的矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，∴DC′＝D