2024北京一零一中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京一零一中高一（下）期中数学一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.的值为（）A. B. C. D.2.设与为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.已知，，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，且，则等于（）A. B.3 C.5 D.5.下列函数中，周期为且在上单调递增的是（）A. B.C. D.6.已知函数，若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值为（）A.6 B.5 C.4 D.37.设a是实数，则函数的图象可能是（）A. B. C. D.8.在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（）A.等腰三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形9.已知函数．则“”是“为奇函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.从出生之日起，人的智力、情绪、体力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则（）A.情绪曲线E的最小正周期最大B.存在正整数n，使得第n天时，智力曲线I和体力曲线P都处于最高点C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数条公共的对称轴D.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共的对称中心二、填空题共6小题．11.半径为2，圆心角为2弧度的扇形的面积为______．12.角的终边经过点，则______．13.已知向量，，，其中，．命题p：若，则．能说明p为假命题的一个的坐标为______．14.已知函数存在最大值，则实数a的取值范围为______．15.如图是函数图象的一部分，M，N是它与x轴的两个交点，C，D分别为它的最高点和最低点，是线段MC的中点，且，则函数的解析式为______．16.已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②区间是的单调递增区间；③若，则；④在上无最大值．其中所有正确结论的序号为______．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.已知和是关于x的方程的两实根，且．（1）求m的值；（2）求．18.已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标（其中，，）．x（1）请写出函数的最小正周期和解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的取值范围．19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）若向量，，P为平面内一点，且，，求向量；（2）若，，且，函数的最小值为6，求实数m的值．20.对于一组向量，，，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．（1）设，，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；（2）若，，则向量组，，，，是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，，（且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．

参考答案一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】A【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】.故选：A2.【答案】D【分析】由数量积公式结合向量夹角公式即可求解.【详解】，，.故选：D.3.【答案】D【分析】根据同角三角函数基本关系式结合三角函数符合可得结果.【详解】因为，又，又，，所以，所以，故选：D.4.【答案】A【分析】利用向量平行的性质求解出，再利用坐标运算求向量的模即可.【详解】若，则，解得，可得，故，则，故选：A5.【答案】C【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换规则一一判断即可.【详解】对于A：的图象是将在轴右侧的图象关于轴对称过去，轴及轴右侧部分不变，函数图象如下所示：所以不具有周期性，故A错误；对于B：的图象是将在轴右侧的图象关于轴对称过去，轴及轴右侧部分不变，函数图象如下所示：所以不具有周期性，故B错误；对于C：的图象是将在轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变，函数图象如下所示：又的最小正周期为，所以的最小正周期为，又在上单调递增且函数值为正，所以在上单调递增，故C正确；对于D：的图象是将在轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变，函数图象如下所示：又的最小正周期为，所以的最小正周期为，又在上单调递减且函数值为正，所以在上单调递减，故D错误；故选：C6.【答案】B【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；【详解】令，∵，∴，设，∵若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，∴在上有且仅有4个不相等的实数根，∴，∴正整数的取值为.故选：B.7.【答案】A【分析】，再利用正弦型函数的最值再结合其最小正周期的公式逐项分析即可.【详解】，显然，对A，由图知，根据，则，则，则，则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意；对B，显然因为不恒为0，则B错误；对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误；对D，由图知，则，则，则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误；故选：A.8.【答案】B【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状.【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则，同理，因为，所以，即，所以对于边上任意一点都有，因此，又，为中点，为中点，所以，所以，即，所以，即△为钝角三角形，故选：B.9.【答案】C【分析】若，利用和差角公式求出，即可判断的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性.【详解】因为，若，即，即，所以，又，所以，所以，当为偶数时，则为奇函数；当为奇数时，则为奇函数；综上可得由可得为奇函数，故充分性成立；由为奇函数，则，显然满足，故必要性成立；所以“”是“为奇函数”的充要条件.故选：C10.【答案】D【分析】对A：根据图象求得最小正周期，从而进行比较和判断即可；对B：求得两曲线处于最高点时的取值，再进行求解即可；对CD：求得三个曲线的对称轴和对称中心横坐标的方程，求解即可.【详解】对A：由图可知，曲线的最小正周期分别为：智力曲线，情绪曲线为，体力曲线为，故智力曲线的最小正周期最大，A错误；对B：由图可知，当时，智力曲线处于最高点；当时，体力曲线处于最高点；令，则，又，，故该方程无解，也即不存在正整数n，使得第n天时，智力曲线I和体力曲线P都处于最高点，故B错误；对C：由图可知，智力曲线的对称轴方程为，情绪曲线的对称轴方程为，体力曲线的对称轴方程为，令，不妨先求解，整理可得，则，又，，故该方程无解，该方程组无解，故智力、情绪、体力三条曲线不存在无数条公共的对称轴，C错误；对D：由图可知，智力曲线的对称中心横坐标的方程为，情绪曲线的对称中心横坐标方程为，体力曲线的对称中心横坐标方程为，故的公倍数，均为三个曲线的公共对称中心的横坐标，有无数个；故智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共的对称中心，D正确；故选：D.二、填空题共6小题．11.【答案】4【分析】根据条件求得弧长，利用扇形面积计算公式计算即可.【详解】设弧长为l，半径为r，圆心角为，由题意知，则扇形面积，故答案为：4.12.【答案】【分析】由已知可得的三角函数值，再使用诱导公式求解.【详解】由条件知，.所以.故答案为：.13.【答案】（只要且的纵坐标为1即可）．【分析】设，直接根据，计算可得，即可得出答案.【详解】，则，，，设，则，所以，解得：，.如，此时，p为假命题.故答案为：（只要且的纵坐标为1即可）．14.【答案】【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解.【详解】当，在区间上单调递增，所以此时；当，在区间上不单调，但是此时，若函数存在最大值，则，解得.所以的取值范围为.故答案为：.15.【答案】【分析】根据给定的图象，利用五点法作图，结合点坐标及周期求出，再求出点的坐标，利用数量积的坐标表示求出得解.【详解】依题意，，由是线段MC的中点，得，因此，函数的周期，解得，则，，而，解得，所以函数的解析式为.故答案为：【点睛】方法点睛：已知()的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：①由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出φ.②代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.16.【答案】①③【分析】解方程，可判断①；利用特值法可判断②；推导出，可判断③；分析函数在区间上的最大值点在区间内，再根据最值定理可判断④.【详解】对于①，由，解得函数的定义域为，令，可得，则，故，所以函数有无数个零点，①正确；对于②，，，因为，所以，故函数在上不可能单调递增，故②错误；对于③，对任意的，，，所以当时，有，故③正确；对于④，当时，，令，可得，，解得，，假设函数在上的最大值点为，则，设，因为，则，所以，则，所以在上存在最大值点，则，又因为在上是一条连续不断的曲线，所以函数在上存在最大值，故函数在上存在最大值，④错误；综上，①③正确.故答案为：①③.【点睛】关键点睛：本题第④小问中函数的单调性不好判断，可分析出函数的最值点所在的区间，并分析出函数的图象是连续的，再结合最值定理来进行判断.三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式化简即得；（2）由题可得，然后根据同角关系式将弦化切，计算即可求得.【小问1详解】由题可知，又，得．【小问2详解】因为且，则且，而，解得（舍）或．综上，．18.【答案】（1），．（2）；（3）．【分析】（1）结合题中所给表格，直接得出周期，代入点的坐标即可得到解析式；（2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出函数单调递增区间；（3）根据的范围得到的范围，根据三角函数的图象和性质结合条件即得.【小问1详解】由图表可知，，所以函数最小正周期，，由图表可知，，所以，代入，可得，可得，，因为，所以取，故最小正周期，.【小问2详解】因为函数的单调递增区间为，所以由得，所以．所以的增区间为．【小问3详解】因为，所以有，所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值．所以函数在上的取值范围为．19.【答案】（1）或；（2）-2或．【分析】（1）利用向量共线定理设，求得的坐标，利用数量积的坐标公式计算即可得出结果；（2）数量积运算以及二次函数的单调性，即可得出结果.【小问1详解】，，所以，，因为，设，则，，所以，解得或，所以或．【小问2详解】因为，，所以，，故，，，，从而，令，令，则二次函数的对称轴为，因为，所以，又区间的中点为．①当，即时，当时，，由，，得或．又，所以；②当，即时，当时，，由，，得．又，所以．综上所述：m的值为-2或．20.【答案】（1）（2）存在“1向量”，且“1向量”为，，，，理由见解析；（3）12132.【分析】（1）根据“1向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得；（2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得；（3）首先由，，均是向量组，，的“1向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最大值.【小问1详解】由题意可得