2024北京延庆区高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京延庆高一（下）期中数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列与角的终边关于y轴对称的角是（）A. B. C. D.2.下列各式的值等于的是（）A. B.C. D.3.若，，且，则x的值为（）A.1 B. C.或0 D.或14.下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.5.A是的内角，则“”是“A为锐角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数图象的对称轴方程可能是（）A. B.C. D.7.设，，，则（）A. B.C. D.8.若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.9.关于函数，给出下列三个命题：①是周期函数；②曲线关于直线对称；③在区间上恰有1个零点．其中正确的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.对于函数，其定义域均为D，若存在，使得，则称与在D上具有“m关联”性质．若与在上具有“m关联”性质，则m的取值范围是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知角的终边经过点，则________．12.计算：________．13.已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．14.如图，在的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点上，且满足．求________；________．15.已知函数，．给出下列四个结论：①存在m，使得没有最值；②不存在m，使得有单调减区间；③当时，函数只有两个零点；④当时，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知，．（1）求；（2）求和；（3）求．17.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点．（1）用，表示和；（2）当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和；（3）设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）若，求函数的最大值和最小值及相应x的值；（3）①将函数的图像向左平移个单位，得到的图像；②将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像；③将函数的图像向下平移个单位，得到的图像；从上述①②③中选择一个变换，求出的解析式，使得在上有两个零点，并求出零点．注：如果选择的条件不符合要求，第（3）中求零点得0分．19.在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示．（1）求AB弧的长及扇形AOB的面积；（2）若，求、和；（3）在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？20.已知函数的部分图象如下图，，．（1）若已知图中点A的横坐标．（ⅰ）求，，的解析式；（ⅱ）若，求x的取值范围；（2）求的值．21.对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．（1）若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；（2）若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；（3）若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】由对称性求解即可.【详解】与角的终边关于y轴对称的角是.故选：B.2.【答案】D【分析】运用二倍角公式、同角三角函数的基本关系、特殊角的三角函数值判断即可.【详解】对于A,,故A错误；对于B,由特殊角的三角函数值可知,故B错误;对于C,由同角三角函数的基本关系可知,故C错误；对于D,,故D正确.故选：D.3.【答案】C【分析】由向量垂直可以得到数量积为0，进而列出方程求解.【详解】由题设，由题，得，解得x=0或x=−1.故选：C.4.【答案】A【分析】逐个函数分析，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．【详解】对于A，为偶函数，对，且，因为在上为增函数，所以，所以，故在上为增函数，故A正确；对于B，为奇函数，故B错误；对于C，为奇函数，故C错误；对于D，为偶函数，但取，，，则，故D错误.故选：A.5.【答案】C【分析】先化简，再根据充分必要条件的知识判断即可.【详解】因为是的内角，所以，又因为，所以因为角为锐角，所以.所以“”是“为锐角”的充分必要条件.故选：C.6.【答案】B【分析】易知正弦函数的对称轴，因此用整体的思想可以列出方程求解.【详解】令,解得,所以的对称轴方程为当时，其对称轴方程为，故B正确；因为A，C，D均不满足对称轴方程，所以A，C，D错误.故选：B.7.【答案】A【分析】首先判断，然后根据三角函数的定义和单调性判断即可得出答案.【详解】因为是钝角，所以，，，因为，在0,π上是减函数，所以，而在上是增函数，可得，所以，所以，故选：A.8.【答案】D【分析】先将平移变换后的函数图象求出来，再由奇函数列出等式求解即可.【详解】函数的图象向左平移个单位后得到，因为平移后的函数是奇函数，所以，解得，因为，所以当时，.故选：D.9.【答案】A【分析】选项①，根据条件得到，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令，直接求出的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为，所以，故，所以选项①正确，对于②，因为，由对称轴的定义知，为函数的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为，令，得到，解得或，又，由，得到，由，得到，所以在区间上有2个零点．选项③错误，故选：A.10.【答案】D【分析】先求出，在上的值域，再根据“关联”的定义求得的取值范围.【详解】，当时，，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以的值域为，，其中，，，可得，，所以的值域为，由题意，与在上具有“关联”的性质，所以，即得取值范围是.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【分析】根据角的终边经过某一点的正弦、余弦、正切值求解即可.【详解】因为角的终边经过点,则,所以,所以.故答案为：.12.【答案】0【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.【详解】，故答案为：0.13.【答案】（不唯一）【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：14.【答案】①.②.0【分析】建立平面直角坐标系，然后进行坐标运算即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，假设方格的边长为1，则所以,所以;因为,所以,所以，解得，所以.故答案为：15.【答案】①③④【分析】对于①，取画出函数图象可以判断；对于②，当时，函数在单调递减；对于③，当时，画出函数图象，判断其与有多少个交点即可；对于④，当时画出函数图像，数形结合求解范围即可.【详解】对于①，取时，图象如图所示：此时函数不存在最值，故①正确；对于②，当时，的图象大致如下：函数在上单调递减，故②错误；对于③，当时，图象如图所示：此函数y=f(x)的图象与只有两个交点，所以函数只有两个零点，故③正确；对于④，当时，图象如图所示：因为,不妨设,则有,又因为关于对称，所以,所以,故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】（1）（2），（3）【分析】（1）用两角和的正弦公式展开并代入计算即可；（2）根据同角三角函数的商数关系及二倍角公式计算即可；（3）先平方，利用降幂公式进行化简并求值，再开方即可.【小问1详解】因为,所以,所以;【小问2详解】;;【小问3详解】因为,因为，所以，所以.17.【答案】（1），.（2）（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据向量的加、减及数乘运算表示即可；（2）根据题意求出及P的坐标，再求，的坐标，利用夹角公式求解即可；（3）假设存在满足题意的,根据列出方程，看方程是否有解即可.【小问1详解】因为,且,所以,即,,所以【小问2详解】当为线段AB的中点时，，所以,所以所以.【小问3详解】假设存在满足题意的,则则所以,，所以,故,整理得,,方程显然无根,即不存在实数使得.18.【答案】（1）,,.（2）当x=0时,函数的最小值为;当时,函数的最大值为.（3）答案见解析【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调区间;（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值和最小值;（3）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数解析式，进一步求出零点的个数.【小问1详解】函数,故函数的最小正周期为,令，整理得,故函数的单调递增区间为,.【小问2详解】由于,故,故,所以函数的值域为.当x=0时,函数的最小值为,当时,函数的最大值为;【小问3详解】选择①：将函数的图像向左平移个单位,得到的图像;由于,故,当时,，故函数在上有唯一个零点.选择②：将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的图像,由于,故,当时,，故函数在上有唯一个零点.选择③：将函数的图像向下平移3个单位,得到的图像,令,整理得,当或时函数的值为0，故函数在上有两个零点.故只有③满足有两个零点.19.【答案】（1）;.（2）;；.（3）当，矩形面积的最大值为.【分析】（1）先由公式求弧AB长，再由扇形的面积公式求出扇形AOB的面积；（2）由两角差的正切公式可得的值，进而求出的大小，再求出的大小，由两角差的余弦公式可求出的值.（3）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形MNPQ面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.【小问1详解】解：AB弧的长为，根据扇形的面积公式可得.【小问2详解】因为，，所以,因为，所以，，.【小问3详解】设，则，，所以，所以矩形的面积，，所以当时，取得最大值，所以，矩形面积的最大值为.20.【答案】（1）（i），，;（ii）（2）【分析】（1）（i）由图可知，求出T，再求出，将点A带入即可求，进而知道的解析式；（ii）结合正弦函数的图象解不等式即可.（2）先由求出，再将点代入，求，再由列出等式，经过变形求解即可.【小问1详解】(i)图中点的横坐标,，将点代入得：，所以,所以，因为，所以时，..(ii)若,则,,解得，即的取值范围为.【小问2详解】由图可知,,又,将点代入得：，所以,解得,因为,即,所以,所以当时，，，，，，由图可知，，，，.21.【答案】（1）（2），常数为12（3）或，【分析】（1）根据集合相对的“正弦方差”的定义及诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据集合相对的“正