2024北京三十五中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京三十五中高一（下）期中数学一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．（4分）下列各角中，与27°角终边相同的是（）A．63° B．153° C．207° D．387°2．（4分）向量，与的夹角为，则等于（）A． B． C．﹣2 D．43．（4分）已知，且sinα＜0，则tanα＝（）A． B． C． D．4．（4分）下列函数中，周期为的偶函数为（）A．y＝sin4x B．y＝cos2x C．y＝tan4x D．y＝sin22x5．（4分）设向量＝（1，0），＝（，），则下列结论中正确的是（）A． B． C．与垂直 D．6．（4分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）等于（）A． B． C． D．7．（4分）设函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图像关于直线对称 C．的一个零点为 D．f（x）的图像可以由图像左移得到8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限．则（）A．sinα﹣cosα≤tanα B．sinα﹣cosα≥tanα C．sinα•cosα＜tanα D．sinα•cosα＞tanα9．（4分）如图所示，某风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）．则h与t满足的函数关系为（）A． B． C． D．10．（4分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则的取值范围是（）A． B． C．（0，2） D．（0，3）二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填在答题卡相应的题号处）11．（5分）＝．12．（5分）已知，均为单位向量，且＝﹣，那么|+2|＝．13．（5分）已知f（x）＝2cos2x﹣sinx，则＝，f（x）的最小值为．14．（5分）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用．纯音的数学模型是三角函数．如音叉发出的纯音振动可表示为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与y＝f（x）的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．（1）当n＝1时，函数f（x）的对称中心坐标为；（2）当n＝50时，合音f（x）的音调比纯音（填写“高”或“低”）．15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，），，恒成立，且f（x）在区间上单调，给出下列命题：①f（x）是偶函数；②；③ω是奇数；④ω的最大值为3．其中正确的命题有．三．解答题（共6个小题，共85分。请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．（Ⅰ）求sin（α+π）与cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足，且角β为第三象限角，求cos（α+β）的值．17．（12分）已知函数f（x）＝+cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．（15分）某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）00﹣2（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若x∈（0，π），且f（x）＞﹣1，求x的取值范围．19．（15分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）的解析式的两个作为已知．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．条件①：函数f（x）的最小正周期为π；条件②：函数f（x）的图象经过点；条件③：函数f（x）的最大值为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求得条件分别解答，按第一组解答计分．20．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，点B，D，F为f（x）与x轴的交点，点C，E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值．（1）求参数ω和φ的值；（2）若A＝1，求向量与向量夹角的余弦值；（3）若点P为函数f（x）图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，•≥1恒成立，求A的取值范围．21．（15分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P．（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1

参考答案一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．【解答】解：与27°角终边相同的角的集合为{α|α＝27°+k•360°，k∈Z}，取k＝1，可得α＝387°．∴与27°角终边相同的是387°．故选：D．2．【解答】解：∵，与的夹角为，∴．故选：A．3．【解答】解：因为，且sinα＜0，所以sinα＝﹣＝﹣，则tanα＝＝．故选：A．4．【解答】解：对于A，，由题意可知，y＝sin4x的定义域为R，f（﹣x）＝sin4（﹣x）＝﹣sin4x＝﹣f（x），所以y＝sin4x为奇函数，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，，由题意可知，的定义域为R，f（﹣x）＝sin22（﹣x）＝sin22x＝f（x），所以y＝sin22x为偶函数，故D正确．故选：D．5．【解答】解：∵，∴＝1，＝，故不正确，即A错误∵•＝≠，故B错误；∵﹣＝（，﹣），∴（﹣）•＝0，∴与垂直，故C正确；∵，易得不成立，故D错误．故选：C．6．【解答】解：∵已知，∴＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝，故选：C．7．【解答】解：对于函数，由于它的最小正周期为＝π，故A错误．令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）的图像关于点（，0）对称，故B错误．令x＝﹣，求得f（x）＝1，为最大值，可得f（x）的图像关于直线x＝﹣对称，故C错误．把由图像左移个单位，可得y＝sin（2x++）＝cos（2x+）＝f（x）的图象，故D正确．故选：D．8．【解答】解：对于A，当α＝181°时，sinα﹣cosα的值趋近于1，tanα的值趋近于0，故A错误；当α＝240°时，，＞0，故B错误；sinα•cosα﹣tanα＝＝，则sinα•cosα＜tanα，故C正确，D错误．故选：C．9．【解答】解：设h与t满足的函数关系为h＝Asin（ωt+φ）+b（ω＞0），由题意最大值为4.5m，最小值为0.5m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，由题意知，某风车每12s旋转一周，所以T＝12，所以，又风车从最低点开始运动，所以函数过点，则，不妨设，所以h与t满足的函数关系为．故选：C．10．【解答】解：作出示意图形，如下图所示，根据题意，可得，在点F从D到C的运动过程中，与变大，且它们的夹角变小，可知变大，若F与C重合，则，，可得＝，由于点F在C、D之间，且不与C，D重合，所以∠AGD为锐角，当F与D无限接近时，趋近于0；当F与C无限接近时，趋近于，因此可得0＜＜，即的取值范围是．故选：B．二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填在答题卡相应的题号处）11．【解答】解：cos＝cos（π+）＝﹣cos＝﹣，故答案为﹣．12．【解答】解：向量均为单位向量，且＝﹣，那么．故答案为：．13．【解答】解：f（x）＝2cos2x﹣sinx，则＝×2﹣＝1；又﹣1≤sinx≤1，∴f（x）＝﹣2sin2x﹣sinx+2＝﹣2（sinx+）2+，当sinx＝1时，f（x）取得最小值，为﹣1．故答案为：1；﹣1．14．【解答】解：（1）n＝1时，函数f（x）＝sinx，对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z；（2）当n＝50时，f（x）＝sinnx＝sinx+sin2x+sin3x+...+sin50x，因为sinx的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期为π，sin3x的最小正周期为，…，sin50x的最小正周期为，所以f（x）的最小正周期为2π，频率为，的周期为，频率为，所以f（x）比φ（x）的频率低，故音调低．故答案为：（1）（kπ，0），k∈Z；（2）低．15．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，），，恒成立，∴可得sin（﹣+φ）＝0，﹣+φ＝k1π，k1∈Z，解得φ＝ω+k1π（k1∈Z）…（1）．由题意，可得f（）＝±1，即sin（+φ）＝±1，∴可得φ＝﹣+k2π+（k2∈Z）…（2）．由（1）、（2）可得，ω＝1+2（k2﹣k1），即ω＝2n+1，n∈Z，∴ω＝1，3，5，7．若ω＝1时，φ＝，f（x）＝sin（x+），满足条件．若ω＝3时，φ＝，f（x）＝sin（3x+），满足条件．若ω＝5时，φ＝﹣，f（x）＝sin（5x﹣），在区间（﹣，）上不单调，不满足条件．当ω＝7时，φ＝﹣，且f（x）＝sin（7x﹣）区间（﹣，）上不单调，不满足条件．综上，f（x）＝sin（x+）或f（x）＝sin（3x+）．故选项①错误．由于x＝为函数的对称轴，所以应有f（0）＝f（），故选项②正确．根据ω＝2n+1，n∈Z，可得选项③正确．由解答过程可得，ω＝1或ω＝3，故选项④正确．故答案为：②③④．三．解答题（共6个小题，共85分。请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）16．【解答】解：由题意得sinα＝，cosα＝，（I）所以sin（α+π）＝﹣sinα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣；（Ⅱ）若角β满足，且角β为第三象限角，则sinβ＝﹣，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝．17．【解答】解：函数f（x）＝+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x），（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）令2k≤2x+≤2k，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．18．【解答】解：（1）由表格可知A＝2，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），因为f（）＝2sin（+φ）＝2，所以+φ＝+2kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）当x∈上时，t＝2x+∈[，]，因为y＝sint在[，]上单调递减，在[，]上递增，所以f（x）的最大值为2×sin＝2，又2sin＝，2sin＝﹣，所以f（x）的最小值为2sin＝﹣．（3）由x∈（0，π），得2x+∈（，），由f（x）＝2sin（2x+）＞﹣1，得sin（2x+）＞，所以2x+∈（，）∪（，），解得：x∈（0，）∪（，π）．19．【解答】解：（I）由题可知，f（x）＝＝，选择①②：（1）因为，所以ω＝1，又因为，所以，；若选①③：因为，所以ω＝1，因为f（x）的最大值为m+＝，即m＝0，所以f（x）＝sin（2x+）+；若选②③：因为，所以，因为f（x）的最大值为m+＝，即m＝0，此时m不存在；（2）若选①②，令，则，所以，k∈Z，当k＝1，k＝2时，函数f（x）的零点为，因为函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，所以，所以t的取值范围是；选择①③：，令，则，k∈Z，或，k∈Z，所以，k∈Z，或，k∈Z，当k＝0时，函数f（x）的零点分别为，因为函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，所以{t|}．20．【解答】解：（1）因为f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4∴，∴，又时，g（x）取最小值，则，k∈Z，∴，k∈Z，又∵|φ|＜π，则，即，φ＝；（2）因为A＝1，所以，则，，，则，则，即向量与向量夹角的余弦值为；（3）因为P是f（x）上动点，，，，又∵恒成立，设，则，，则＝，易知在或处有最小值，在或处有最大值，所以当或时，有最小值，即当P在C或E时，有最小值，此时或，当P为时，，，，得，又A＞0，则，当P为时，，，∴，解得，综上，，即A的取值范围为．21．【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}