2024北京八中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京八中高一（下）期中数学年级：高一科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在范围内，与角终边相同的角是A. B. C. D.2.在三角形ABC中，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，则（）A. B. C. D.－4.函数图像的一个对称中心是A. B. C. D.5.设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为（）A.4 B.2 C.1 D.6.已知平面向量与的夹角为，，，则（）A. B.C. D.7.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│8.若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.9.如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（）A.为定值10 B.为定值6C.为变量且有最大值为10 D.为变量且有最小值为610.如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（）A.0 B. C.2 D.二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分．11.半径为，圆心角为的弧长为___________.12.若函数的最小正周期为，则__________．13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.14.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.15.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论错误的序号是______；①的一个周期为；②的最大值为；③的图象关于直线对称；④在区间上有3个零点．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点（1）求的值；（2）求的值.17.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=，．（Ⅰ）求sin∠DAC；（Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积．18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．19.已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.条件①：最小正周期为；条件②：最大值与最小值之和为；条件③：.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.20.设的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.第①组条件：；第②组条件：；第③组条件：边上的高.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.21.设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.（1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明)（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；（3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，求出结果．【详解】与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是，故选A．【点睛】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，是解题的关键2.【答案】A【详解】试题分析：由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件．考点：充分不必要条件的判定．3.【答案】C【分析】运用诱导公式化简即可.【详解】.故选：C.4.【答案】D【详解】由得，当时，．所以函数图象的一个对称中心为．选D．5.【答案】B【分析】是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，由此可得．【详解】由题意f(x)的周期，对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，∴|x1－x2|min＝2.故选：B．6.【答案】B【分析】根据向量的数量积公式及模长公式直接求解.【详解】由，得，又，所以，所以，所以，故选：B.7.【答案】A【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；8.【答案】A【详解】因为，所以由得因此，从而的最大值为，故选：A.9.【答案】A【分析】设，根据平面向量数量积及加减法运算结合余弦定理可得结果.【详解】设，因为，所以,又，，所以，故选：A.10.【答案】D【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案；【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，设，，则，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴当时，，即的最小值为．故选：D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】根据弧长公式(：扇形圆心角，：扇形的半径)【详解】故答案为：12.【答案】1【分析】利用二倍角的余弦公式和周期公式求解.【详解】因为，因为最小正周期为，所以解得，故答案为:1.13.【答案】.【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得．，得，即，故选D．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．14.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15.【答案】①②③【分析】对于①，代入周期的定义，即可判断；对于②，分别比较两个函数取得最大值的值，即可判断；对于③，代入对称性的公式，即可求解；对于④，根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】对于①，，故①错误；对于②，，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故②错误；对于③，，所以函数的图象不关于直线对称，故③错误；对于④，，即，，即或，解得：或或，所以函数在区间上有3个零点，故④正确.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值；（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【小问1详解】角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则，则；【小问2详解】由（1）得，则，则17.【答案】（1）（2）【分析】（Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以将∠DAC用∠ADC和∠C来表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），进而用诱导公式可得，再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长．△ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求的面积即可得所求．【详解】解：（Ⅰ）△ACD中，因为∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=，所以=；因为，0＜∠C＜π，所以；所以；（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB，所以，所以AD2+6AD﹣160=0，即（AD+16）（AD﹣10）=0，解得AD=10或AD=﹣16（不合题意，舍去）；所以AD=10；在中，由正弦定理得，即，解得CD=15；所以，即．【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理．⑴已知三边，可用余弦定理求角；⑵已知两边一角，可用余弦定理求第三边；⑶已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；⑷已知两角一边，应用正弦定理求边．18.【答案】（1）（2）最大值为和最小值为0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.【小问1详解】由图象可知：，将点代入得，∴【小问2详解】由得当时，即；当时，即；19.【答案】答案见解析【分析】利用三角函数恒等变换公式把函数化简成，选择①②，利用①、②分别求出和，进而求和的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择①③，利用①、③分别求出和，进而求和的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择②③，利用②、③都只能求出m不能求出.【详解】.选择条件①②：(1)由条件①得，，又因为，所以，由②知，，所以，则，所以；(2)令，所以，所以函数的单调增区间为，因为函数在上单调递增，且，此时，所以，故实数的最大值为.选择条件①③：(1)由条件①得，，又因为，所以，由③知，，所以，则，所以；(2)令，所以，所以函数的单调增区间为，因为函数在上单调递增，且，此时，所以，故实数的最大值为.说明：不可以选择条件②③：由②知，，所以；由③知，，所以；矛盾.所以函数不能同时满足条件②和③.【点睛】涉及正余弦型函数性质(单调性、周期性、对称性、最值等)的三角函数式问题，正确利用三角函数恒等变换公式化成的形式是解决问题的关键.20.【答案】（1）（2）答案见详解【分析】（1）结合正弦定理边化角可直接求解；（2）若选①结合余弦定理求得不唯一；若选②，由固定可确定唯一，结合第三角公式求得，再由正弦面积公式即可求解；若选③，由正弦定理可求得，结合余弦定理可求得，再由正弦面积公式即可求解.【小问1详解】由，因为，化简得，又【小问2详解】若选①，则，，，由余弦定理可得，代入数据化简得或3，故选①不成立；若选②，则，，，求得，由正弦定理可得，解得，由，因为，，唯一，则唯一，三角形存在且唯一确定，；若选③，由边上的高可得，解得，又，由余弦定理可得，代值化简得或（舍去），三角形存在且唯一确定，21.【答案】（1）函数不具有性质，具有性质，（2）在上有最大值，（3）证明见解析【分析】（1）直接利用性质判断；（2）由性质，可求出的函数解析式，利用三角函数的性质可求出其最大值；（3）由直线为图像的一条对称轴，可得，由性质可求得，再由直线为图像的一条对称轴，得，从而可得结论【详解】解：（1）因为函数是单调递增函数，所以函