概率与数理统计教案-

概率与数理统计教案-一、教学内容本次课程主要讲解随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差和相关系数等内容。二、教学目标1.让学生理解随机变量数学期望、方差、协方差和相关系数的概念。2.掌握离散型和连续型随机变量数学期望、方差的计算方法。3.熟悉常见分布的数学期望和方差公式。4.理解协方差和相关系数的性质及意义，能运用这些概念分析变量间的关系。三、教学重难点1.重点数学期望和方差的定义与计算。常见分布的数学期望和方差。2.难点随机变量函数的数学期望计算。协方差和相关系数的理解与应用。四、教学方法讲授法、举例法、练习法相结合。通过详细讲解概念和公式，结合具体例子帮助学生理解，再安排适量练习巩固所学知识。五、教学过程（一）导入（5分钟）通过回顾上节课随机变量的分布，引出本节课要研究的随机变量的数字特征。例如，我们知道了随机变量X的分布列，但这还不够直观地了解它的整体特征，就像描述一个班级学生的成绩，只知道每个学生的分数还不够，还需要知道平均成绩等数字特征，从而引出数学期望的概念。（二）数学期望（25分钟）1.离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量X的分布列为\(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots\)，若级数\(\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)绝对收敛，则称级数\(\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)的值为随机变量X的数学期望，记为\(E(X)\)，即\(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)。举例：抛掷一枚均匀的骰子，设X表示出现的点数，求\(E(X)\)。首先写出X的分布列：\(P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac{1}{6}\)。然后根据数学期望的定义计算：\(E(X)=1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5\)。2.连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量X的概率密度函数为\(f(x)\)，若积分\(\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)绝对收敛，则称积分\(\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)的值为随机变量X的数学期望，记为\(E(X)\)，即\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)。举例：设随机变量X的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，求\(E(X)\)。根据定义计算：\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3\big|_0^1=\frac{2}{3}\)。3.随机变量函数的数学期望定理：设\(Y\)是随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)（\(g\)是连续函数）。若\(X\)是离散型随机变量，分布列为\(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots\)，且\(\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k\)绝对收敛，则\(E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k\)。若\(X\)是连续型随机变量，概率密度函数为\(f(x)\)，且\(\int_{\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)绝对收敛，则\(E(Y)=E[g(X)]=\int_{\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)。举例：已知\(X\)的分布列如下：\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，求\(Y=X^2\)的数学期望\(E(Y)\)。方法一：先求出\(Y\)的分布列，\(Y\)取值为\(0\)和\(1\)，\(P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(Y=1)=P(X=1)+P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。再根据离散型随机变量数学期望公式计算：\(E(Y)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。方法二：直接利用随机变量函数的数学期望公式，\(E(Y)=E(X^2)=(1)^2\times\frac{1}{4}+0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。（三）常见分布的数学期望（20分钟）1.01分布设\(X\)服从参数为\(p\)的\(01\)分布，其分布列为\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)。则\(E(X)=1\timesp+0\times(1p)=p\)。2.二项分布\(B(n,p)\)设\(X\simB(n,p)\)，其分布列为\(P(X=k)=C_n^kp^k(1p)^{nk},k=0,1,\cdots,n\)。根据二项式定理\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{nk}\)，\(E(X)=\sum_{k=0}^{n}kC_n^kp^k(1p)^{nk}\)。对\(kC_n^k=nC_{n1}^{k1}\)进行变形可得：\(E(X)=\sum_{k=0}^{n}kC_n^kp^k(1p)^{nk}=np\sum_{k=1}^{n}C_{n1}^{k1}p^{k1}(1p)^{nk}=np(p+(1p))^{n1}=np\)。3.泊松分布\(P(\lambda)\)设\(X\simP(\lambda)\)，其分布列为\(P(X=k)=\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,\cdots\)。\(E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambda\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e^{\lambda}\lambda^{k1}}{(k1)!}\)。令\(m=k1\)，则\(E(X)=\lambda\sum_{m=0}^{\infty}\frac{e^{\lambda}\lambda^{m}}{m!}=\lambda\)。4.均匀分布\(U(a,b)\)设\(X\simU(a,b)\)，其概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{ba},&a\ltx\ltb\\0,&其他\end{cases}\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{a}^{b}x\cdot\frac{1}{ba}dx=\frac{1}{ba}\cdot\frac{x^2}{2}\big|_a^b=\frac{a+b}{2}\)。5.指数分布\(E(\lambda)\)设\(X\simE(\lambda)\)，其概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}\lambdae^{\lambdax},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}x\lambdae^{\lambdax}dx\)。利用分部积分法，令\(u=x\)，\(dv=\lambdae^{\lambdax}dx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^{\lambdax}\)。可得\(E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambdae^{\lambdax}dx=xe^{\lambdax}\big|_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{\lambdax}dx=\frac{1}{\lambda}\)。6.正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)设\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，其概率密度函数为\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x\mu)^2}{2\sigma^2}}\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)。令\(t=\frac{x\mu}{\sigma}\)，则\(x=\mu+\sigmat\)，\(dx=\sigmadt\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}(\mu+\sigmat)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}\sigmadt=\mu\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt+\sigma\int_{\infty}^{\infty}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt\)。因为\(\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt=1\)，\(\int_{\infty}^{\infty}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt=0\)，所以\(E(X)=\mu\)。（四）方差（25分钟）1.定义设\(X\)是一个随机变量，若\(E[(XE(X))^2]\)存在，则称\(E[(XE(X))^2]\)为\(X\)的方差，记为\(D(X)\)或\(Var(X)\)，即\(D(X)=E[(XE(X))^2]\)。其算术平方根\(\sqrt{D(X)}\)称为标准差或均方差，记为\(\sigma(X)\)。2.计算方法对于离散型随机变量\(X\)，\(D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}(x_kE(X))^2p_k\)。对于连续型随机变量\(X\)，\(D(X)=\int_{\infty}^{\infty}(xE(X))^2f(x)dx\)。常用公式：\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2\)。证明：\(D(X)=E[(XE(X))^2]=E(X^22XE(X)+[E(X)]^2)=E(X^2)2E(X)E(X)+[E(X)]^2=E(X^2)[E(X)]^2\)。3.举例已知\(X\)的分布列如下：\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，求\(D(X)\)。先求\(E(X)\)：\(E(X)=(1)\times\frac{1}{4}+0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{4}=0\)。再求\(E(X^2)\)：\(E(X^2)=(1)^2\times\frac{1}{4}+0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。最后根据公式\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=\frac{1}{2}0^2=\frac{1}{2}\)。4.常见分布的方差01分布：\(D(X)=p(1p)\)。证明：\(E(X)=p\)，\(E(X^2)=1^2\timesp+0^2\times(1p)=p\)，所以\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=pp^2=p(1p)\)。二项分布\(B(n,p)\)：\(D(X)=np(1p)\)。证明：\(E(X)=np\)，\(E(X^2)=\sum_{k=0}^{n}k^2C_n^kp^k(1p)^{nk}\)。由\(k^2C_n^k=n(n1)C_{n2}^{k2}+nC_{n1}^{k1}\)可得：\(E(X^2)=n(n1)p^2+(np)^2\)，则\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=n(n1)p^2+(np)^2(np)^2=np(1p)\)。泊松分布\(P(\lambda)\)：\(D(X)=\lambda\)。证明：\(E(X)=\lambda\)，\(E(X^2)=\sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!}\)。由\(k^2\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambdak\frac{e^{\lambda}\lambda^{k1}}{(k1)!}\)可得\(E(X^2)=\lambda^2+\lambda\)，所以\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=\lambda^2+\lambda\lambda^2=\lambda\)。均匀分布\(U(a,b)\)：\(D(X)=\frac{(ba)^2}{12}\)。证明：\(E(X)=\f