《备考指南一轮 数学》课件-第7章 第2讲

第七章第2讲[A级基础达标]1．(2019年哈尔滨模拟)若lga，lgb，lgc成等差数列，则()A．b＝eq\f(a＋c,2) B．b2＝acC．2b＝ac D．2lgb＝lg(a＋c)【答案】B【解析】若lga，lgb，lgc成等差数列，则2lgb＝lga＋lgc＝lgac，即b2＝ac.故选B．2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A．eq\f(17,2) B．eq\f(19,2)C．10 D．12【答案】B3．(2020年郑州模拟)在等差数列{an}中，a2＋a10＝0，a6＋a8＝－4，则a100＝()A．212 B．188C．－212 D．－188【答案】D【解析】等差数列{an}中，a2＋a10＝0，根据等差数列的性质2a6＝a2＋a10＝0，解得a6＝0；a6＋a8＝2a7＝－4，解得a7＝－2，所以公差d＝－2，所以a100＝a6－2(100－6)4．(2020年淮南月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝()A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【解析】因为等差数列{an}前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，所以S20－S10＝50.由等差数列的性质可得，10,50，S30－S20，S40－S30仍然是等差数列，公差为40，所以S30－S20＝90，S40－S30＝130，则S30＝150，S40＝280.故选D．5．(2020年安徽模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a11＋a13＝9，则S17＝()A．57 B．51C．42 D．39【答案】B【解析】依题意，a3＋a11＋a13＝3a1＋24d＝3a9＝9，所以a9＝3，所以S17＝eq\f(a1＋a17,2)×17＝17a9＝3×17＝51.故选B．6．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加()A．eq\f(4,7)尺 B．eq\f(16,29)尺C．eq\f(8,15)尺 D．eq\f(16,31)尺【答案】B【解析】设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故该女子织布每天增加eq\f(16,29)尺．故选B．7．(2019年新课标Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则eq\f(S10,S5)＝________.【答案】4【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(10a1＋a10,5a1＋a5)＝eq\f(22a1＋9d,2a1＋4d)＝eq\f(22a1＋18a1,2a1＋8a1)＝4.8．(2019年江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________【答案】16【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋da1＋4d＋a1＋7d＝0，,9a1＋\f(9×8,2)d＝27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2.))所以S8＝8a1＋eq\f(8×7d,2)＝8×(－5)＋56＝16.9．(2019年宁县期末)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．已知a1＋a3＝16，S4＝28.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n取何值时Sn最大？并求出这个最大值．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a3＝16，S4＝28，所以2a1＋2d＝16,4a1＋eq\f(4×3d,2)＝28，联立解得a1＝10，d＝－2.所以an＝10－2(n－1)＝12－2n.(2)令an＝12－2n≥0，解得n≤6.所以n＝5或6时，Sn取得最大值．S6＝eq\f(6×10＋0,2)＝30.10．已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2a3＝45，a1＋a4＝(1)求数列{an}的通项公式；(2)求f(n)＝eq\f(n,4)(an－17)(n∈N*)的最小值．【解析】(1)因为等差数列{an}中，公差d＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a3＝45，,a1＋a4＝a2＋a3＝14))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,a3＝9))⇒d＝4⇒an＝4n－3.(2)因为an＝4n－3，所以f(n)＝eq\f(1,4)n(4n－3－17)＝n2－5n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(25,4)，所以当n＝2或3时，f(n)取得最小值－6.[B级能力提升]11．(2020年六安月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a7,a4)＝eq\f(14,13)，则eq\f(S13,S7)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(14,13) D．eq\f(13,14)【答案】A【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和，eq\f(a7,a4)＝eq\f(14,13)，所以eq\f(S13,S7)＝eq\f(\f(13,2)a1＋a13,\f(7,2)a1＋a7)＝eq\f(13a7,7a4)＝eq\f(13,7)×eq\f(14,13)＝2.故选A．12．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6a7的最大值为A．36 B．6C．4 D．2【答案】C【解析】在等差数列{an}中，因为S12＝6(a6＋a7)＝24，所以a6＋a7＝4.又a6>0，a7>0，所以a6·a7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a6＋a7,2)))2＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，取“＝”，即a6·a7的最大值为4.故选C．13．(2020年孝感模拟)已知等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且eq\f(a7,a6)＜－1，则满足Sn＞0的最大正整数n的值为()A．6 B．7C．11 D．12【答案】C【解析】等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差d＜0.由于eq\f(a7,a6)＜－1，所以a6＞0，a7＜0.又因为eq\f(a6＋a7,a6)＜0，所以a6＋a7＜0.所以S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＞0，S12＝eq\f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)＜0.所以满足Sn>0的最大正整数n的值为11.故选C．14．《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】B【解析】根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1＝193，公差d1＝13的等差数列，记其前n项和为Sn；驽马走的路程可以看成一个首项b1＝97，公差为d2＝－0.5的等差数列，记其前n项和为Tn.依次分析3个说法：对于①，b9＝b1＋(9－1)×d2＝93，故①正确；对于②，S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d1＝5×193＋10×13＝1095，故②正确；对于③，设第n天两马相遇，则有Sn＋Tn≥6000，即na1＋eq\f(nn－1,2)d1＋nb1＋eq\f(nn－1,2)d2≥6000，变形可得5n2＋227n－4800≥0，分析可得n的最小值为16，故两马相遇时，良马走了16日，故③错误.3个说法中只有1个错误．故选B．15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq\f(3,2)，Sk＝－12，则正整数k＝________.【答案】13【解析】Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋eq\f(3,2)＝－eq\f(21,2)，又Sk＋1＝eq\f(k＋1a1＋ak＋1,2)＝eq\f(k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(3,2))),2)＝－eq\f(21,2)，解得k＝13.16．(2020年丽水模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2014＝________.【答案】－2014【解析】等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，首项为eq\f(S1,1)＝－2014.因为eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，公差为eq\f(2,2)＝1，所以eq\f(S2014,2014)＝－2014＋1×2013＝－1.所以S2014＝－2014.17．(2019年南昌期中)已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足2an＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式5Tn＜a2－a恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)当n≥2时，2an＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)，所以2(Sn－Sn－1)＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)，即eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝eq\f(1,2).所以数列{eq\r(Sn)}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列．故eq\r(Sn)＝eq\f(n＋1,2)，an＝eq\f(1,2)(eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1))＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)＋\f(n,2)))＝eq\f(2n＋1,4)(n≥2)．因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1,4)，n≥2，,1，n＝1.))(2)当n≥2时，eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,\f(2n＋1,4)·\f(2n＋3,4))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，所以Tn＝eq\f(4,5)＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)＋\f(1,7)－\f(1,9)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(12,5)－eq\f(8,2n＋3)＜eq\f(12,5).又因为5Tn＜a2－a，所以12≤a2－a，解得a≤－3或a≥4，即所求实数a的范围是a≤－3或a≥4.18．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2＋a5＝(1)求通项an；(2)求Sn的最小值；(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c.【解析】(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根．又公差d＞0，所以a3＜a4.所以a3＝9，a4＝13.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))所以通项an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×d＝2n2－n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,4)))2－eq\f(1,8).所以当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知Sn＝2n2－n，所以bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).所以b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).因为数列{bn}是等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即eq\f(6,2＋c)×2＝eq\f(1,1＋c)＋eq\f(15,3＋c).所以2c2＋c＝0.所以c＝－eq\f(1,2)或c＝0(舍去)．经验证c＝－eq\f(1,2)时，{bn}是等差数列，故c＝－eq\f(1,2).[C级创新突破]19．(多选题)(2020年泉州模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是A．a4＝0 B．Sn的最大值为S3C．S1＝S6 D．|a3|＜|a5|【答案】AC【解析】设等差数列{an}的公差为