《备考指南一轮 数学》课件-第8章 第1讲

第八章第1讲[A级基础达标]1．(2020年新余模拟)如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为()A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(8\r(3),3)C．eq\f(\r(15),3)π D．eq\f(8\r(3),3)π【答案】C【解析】圆锥的展开图为扇形，半径R＝4，侧面积为扇形的面积，所以扇形的面积S1＝eq\f(1,2)αR2＝4π，解得α＝eq\f(π,2).所以弧长l＝αR＝2π.所以底面周长为2π.由此可知底面半径r＝1，所以底面面积为S＝π，圆锥体的高为h＝eq\r(15).故圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(15),3)π.故选C．2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B【解析】设球的半径为R，表面积等于16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).3．(2019年娄底期末)已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)【答案】C【解析】设圆柱底面半径为r，则高h＝2r，该圆柱的侧面积为2πr·h＝4πr2，表面积为4πr2＋2πr2＝6πr2.故该圆柱的侧面积与表面积的比值为eq\f(4πr2,6πr2)＝eq\f(2,3).故选C．4．(2019年淮安期末)已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为eq\r(3)，则该正四棱锥的表面积为()A．8 B．12C．16 D．20【答案】B【解析】如图，四棱锥P－ABCD为正四棱锥，高OP＝eq\r(3)，底面边长AB＝2.过O作OG⊥BC，垂足为G，连接PG，则斜高PG＝eq\r(1＋3)＝2.所以正四棱锥的表面积是S＝2×2＋4×eq\f(1,2)×2×2＝12.故选B．5．(2019年南京期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为()A．80 B．240C．320 D．640【答案】B【解析】作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，则由等腰梯形的性质，可得斜高h′＝eq\r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16－4,2)))2)＝8.再用棱台侧面积公式，得棱台的侧面积为S侧＝3×eq\f(1,2)(4＋16)×8＝240.故选B．6．(2019年泉州期末)两直角边分别为1，eq\r(3)的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是()A．eq\f(3＋\r(3),2)π B．3πC．eq\f(9＋2\r(3),4)π D．(3＋2eq\r(3))π【答案】A【解析】由题知该几何体为两个圆锥底对底组合在一起，其中若L1＝1，R1＝eq\f(\r(3),2)与L2＝eq\r(3)，R2＝eq\f(\r(3),2)，所以S＝eq\f(1,2)×eq\r(3)π×1＋eq\f(1,2)×eq\r(3)π×eq\r(3)＝eq\f(3＋\r(3),2)π.故选A．7．(2019年上海期末)圆锥的母线长是eq\r(3)，高是eq\r(2)，则其侧面积是________．【答案】eq\r(3)π【解析】已知圆锥的母线长为eq\r(3)，高为eq\r(2)，则该圆锥的底面半径为1.圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×2π×eq\r(3)＝eq\r(3)π.8．如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？【解析】(1)如图，设内接圆柱底面半径为r.S圆柱侧＝2πr·x…①因为eq\f(r,2)＝eq\f(4－x,4)，所以r＝eq\f(1,2)(4－x)…②将②代入①，S圆柱侧＝2πx·eq\f(1,2)(4－x)＝π(－x2＋4x)(0＜x＜4)．(2)因为S圆柱侧＝π(－x2＋4x)＝π[－(x－2)2＋4]，所以x＝2时，S圆柱侧最大＝4π.[B级能力提升]9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为()A．eq\f(81π,4) B．eq\f(243π,16)C．9π D．16π【答案】B【解析】如图所示，R2＝(4－R)2＋2，所以R2＝16－8R＋R2＋2，所以R＝eq\f(9,4)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(243π,16).10．(2020年广州模拟)三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝AA1＝2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．48π B．32πC．12π D．8π【答案】D【解析】因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝AA1＝2，所以三棱柱扩展为长方体，体对角线为外接球的直径．设外接球的半径为R，则2R＝eq\r(2＋2＋4)＝2eq\r(2)，所以R＝eq\r(2).所以外接球的半径为eq\r(2)，所以球的表面积等于4π×(eq\r(2))2＝8π.故选D．11．(2020年南昌模拟)如图，一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱，当该圆柱的体积最大时，x＝()A．2 B．3C．4 D．5【答案】A【解析】因为圆锥的底面半径为2，高为6，所以内接圆柱的底面半径为r时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3r，所以内接圆柱的高h＝6－3r.所以圆柱的体积V＝πr2(6－3r)＝6πr2－3πr3(0＜r＜2)．V′＝12πr－9πr2(0＜r＜2)，令V′＝0，得r＝eq\f(4,3)，(r＝0舍去)，当0＜r＜eq\f(4,3)时，V′＞0；当eq\f(4,3)＜r＜2时，V′＜0，所以当r＝eq\f(4,3)时，该圆柱的体积最大，此时内接圆柱的高h＝6－3r＝2.故选A．12．(2020年湖北一模)已知圆锥的顶点为S，母线SA与圆锥底面所成的角为30°，若圆锥的体积为8π，则此圆锥的侧面积为________．【答案】8eq\r(3)π【解析】如图所示，由题意设圆锥的高为h，则底面半径为eq\r(3)h，母线长为l＝2h，所以圆锥的体积为V圆锥＝eq\f(1,3)π·3h2·h＝8π，解得h＝2，r＝2eq\r(3)，l＝4.所以此圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π×2eq\r(3)×4＝8eq\r(3)π.13．(2020年大庆月考)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD＝2eq\r(3)，AB＝eq\r(6)，则四棱锥P－ABCD外接球的体积为________．【答案】eq\f(32π,3)【解析】取AC与BD的交点，记为T，连接PT，由对称性可知PT⊥底面ABCD，且外接球的球心必在PT上．设外接球半径为R，球心为O，作出剖面图如图所示，则在Rt△OBT中，由勾股定理有R2＝(eq\r(3))2＋(3－R)2，解得R＝2，因此，外接球的体积为V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3).14．有一矩形ABCD硬纸板材料(厚度忽略不计)，边AB的长为6分米，其邻边足够长．现从中截取矩形EFHG(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、∠EOF＝120°为圆心角的扇形，且弧eq\x\to(EF)，eq\x\to(GH)分别与边BC，AD相切于点M，N.(1)当BE的长为1分米时，求折成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？【解析】(1)在题图甲中，连接MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R分米，在Rt△OET中，因为∠EOT＝eq\f(1,2)∠EOF＝60°，所以OT＝eq\f(R,2)，则MT＝OM－OT＝eq\f(R,2).从而BE＝MT＝eq\f(R,2)，即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝eq\f(1,3)πR2－eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)))平方分米．又柱体的高EG＝4分米，所以V＝S·EG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－4\r(3)))立方分米．故当BE长为1分米时，折成的包装盒的容积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－4\r(3)))立方分米．(2)设BE＝x分米，则R＝2x分米，所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝eq\f(1,3)πR2－eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)))x2平方分米．又柱体的高EG＝(6－2x)分米，所以V＝S·EG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)－2\r(3)))(－x3＋3x2)，其中0＜x＜3.令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0,3)，则由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘所以当x＝2时，f(x)取得极大值，也是最大值．故当BE的长为2分米时，折成的包装盒的容积最大．[C级创新突破]15．(多选题)(2020年潍坊模拟)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π【答案】AB【解析】若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝eq\r(2)，这时表面积为π·1·l＋π·12＝(1＋eq\r(2))π；若绕斜边一周时旋转体由两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为eq\f(\r(2),2)，一个圆锥的母线长为1，所以表面积S＝2·π·eq\f(\r(2),2)·1＝eq\r(2)π.故选AB．16．(一题两空)(2020年滨州模拟)在四面体S－ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，则该四面体体积的最大值为________，此时四面体外接球的表面积为________．【答案】eq\f(\r(30),6)8π【解析】四面体的体积最大时即面SAB⊥面ABC，SA＝SB＝2.又SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，所以∠ACB＝90°.取AB的中点H，连接CH，SH，SH⊥AB，面SAB∩面ABC＝AB，SH在面SAB内，而SH＝eq\f(1,2)·eq\r(2)SA＝eq\r(2)，所以SH⊥面A