第01讲 集合的概念与运算(提升训练)(解析版)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第01讲集合的概念与运算

【提升训练】

一、单选题

1.集合4=｛不卜<一1或％之3｝,3=卜|办+1<0｝若8=4,则实数。的取值范围是()

A._；，"B.--,1C.(^X),-l)u[0,-KX))D.-1,0U(O,1)

.3J1_3」l_3,

【答案】A

【分析】

根据5=4,分8=0和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数〃的取值范围.

【详解】

解：

••・①当8=0时，即以+1,,0无解，此时。=0,满足题意.

②当时，即依+L,0有解，当时，可得用，一工，

a

。>0

要使5qA,则需要(1解得

匕一

当avO时，口J得工…—,

a

a<0

要使BqA,则需要｛1,解得一；,,avO,

—..33

,a

-1、

综上，实数。的取值范围是一.」.

故选：A.

【点睛】

易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为0.

2.已知集合A=«yy=x+，,x>0>,8=｛巾=卜则AC|B=()

A.[2,+00)B.[2,3]C.(0,3]D.[2,3)

【答案】B

【分析】

先分别求出集合A、B,再求ACI3.

【详解】

因为函数丫=x+，在(0,1)单减，在(1,M)上单增，所以4=«yy=x+-,x>。,={y|yN2},

X入

要使函数y=J=有意义，只需3—工20,解得

所以B=卜b=，3T}=[x\x<3},

所以4nB=[2,3]

3.设集合4={耳以一1|«1}.B={司-2x+〃<0},若4口8=8,则〃的取值范围为()

A.(-oo,0)B.(YO,0]C.(2,+00)D.[2,+co)

【答案】A

【分析】

先解出集合A,根据AD8=8,可知AqB,构造关于。的不等式组，解得〃的范围.

【详解】

A=|x||x-l|<l|=|x|0<x<2j,B=jx|x>,

由得A=3,所以avO.

故选：A.

【点睛】

(1)A<JB=B<^>A^B,AnB=A<=>AcB

(2)由3=A求参数的范围容易漏掉B=0的情况.

4.已知集合4=卜£2.卜2-2X一3<0},8={工|"+2=0},若Ap|B=B,则实数a的取值集合为()

A.{-1,-2}B.{-1,0}C.{-2,0,1}D.{-2,-1,0}

【答案】D

【分析】

先求出集合A,由AC|3=B得到B=A,再分类讨论a的值即可.

【详解】

A-|xe^*|x2-2x-3<01-{l,2},因为人口8=3,所以3三A,

当〃=0时，集合B=卜版+2=。}二0,满足BqA；

当〃工0时，集合5={x|ox+2=0}={工=一：>,

22

由A={1,2}得一一二1或一一=2,解得。=—2或〃=—1，

aa

综上，实数。的取值集合为{-2,-1,0}.

故选：D.

【点睛】

易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略。-0时，集合区=。满足〃=人，

而错解.

5.已知4乃£{-2,—1,1,2},若向量2=(〃/)，则向量.与;;所成的角为锐角的概率是()

【答案】B

【分析】

向量工与：所成的角为锐角等价于工;>0,且工与；不同向，从而枚举出所有满足条件的向量工，除以

总数即可求得概率.

【详解】

向量1A1v与；fl-所成的角为锐角等价!Ktr于f*二**K-Z；〉09,1v且;•；I)与；不同向，

则%;=(。/)-(1,1)=4+6>0,则满足的向量2有(T，2)，(1,1)，(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其

中i=(l,l)或(2,2)时，与;同向，故舍去，共有4种情况满足条件，

又7的取法共有4x4=16种，

41

则向量1与；所成的角为锐角的概率是一=-

m"164

故选：B

【点睛】

关键点点睛：向星蓝与；;所成的角为锐角等价于.々>0,且蓝与:不同向.

6.已知集合4=卜|1。82（了一2）<1},则务A=（）

A.{x|x>4}B.{x|x<2«gx>4}C.{x|戈<2或x>4}D.{x|x>4）

【答案】B

【分析】

先解对数不等式kg（x-2）v1得A=卜|2vxv4},在计算补集即可.

【详解】

.、fx-2>0

由1%飙2）<1得力式一）<1。”

解得2vx<4,故A=|x|log2（x-2）<l|=|x|2<x<4}

所以4A={x|x42或xN4}

故选：B

【点睛】

本题考查对数不等式的运算，集合的补集运算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题易错点在于求解过

程中忽略对数式的意义（％—2>0）而出错.

7.下列五个命题

①在某项测量中，测量结果《服从正态分布NQ,。?/。〉。），若《在（0,2）内取值的概率为0.4,则J在

（0,y）内取值的概率为0.8;

②集合A={X£Z|X2+2X_3V0},B={X|0<X<2},则AC|5的真子集个数为3;

③命题“若丁一4%+3=0,则％=3”的逆否命题为“若三与3,则/一4%+3工0”；

④若（2x-十）的展开式中各项的二项式;系数之和为32,则此展开式中d项的系数为80;

⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，

第2次抽到理科题的概率为

其中正确的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

根据正态分布的对称性判断①，求出交集后判断②，根据逆否命题的定义判断③，由二项式系数和求得〃,

现由二项式定理判断④，利用古典概型概率公式计算判断⑤.

【详解】

g~N(2,〃)(b>0),而P(0Vg<2)=0.4,所以尸(2>0)=尸(0VpV2)+P记>2)=0.4+0.5=0.9,

①错；

A={xeZ|x2+2x-3<0}={xeZ|-3<x<l}={-3,-2,-l,0,l},4n5={0,1},真子集个数为3,

②正确；

命题“若％2—4X+3=0,则1=3”的逆否命题为“若XW3,则X2_4X+3W0”，③正确；

若(2%—9]的展开式中各项的二项式系数之和为32,则2〃=32，〃=5,则展开式通项公式为

15-2

4+i=C；(2幻5r(_)，=(_1>25一。>.2,令5_彳=2,r=2，

2

所以犬的系数为(-1)2X23XC；=80,④正确：

在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件卜，

剩下6道理科题，3道文科题，第2次抽到理科题的概率为一=一，⑤正确.

93

正确命题有4个.

故选：C.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，难度较大，必须掌握多种知识点，才能正确求解.如正态分布，集合的交集运

算与子集的定义，命题与逆否命题，二项式定理，古典概型.注意空集是非空集合的真子集，本题第⑤个

命题也可用条件概率公式计算，如设事件A表示第一次抽到理科试题，8表示第二次抽到理科试题，则

尸⑷P(AB)=3W，则尸(8|4)=锵=|.

8.已知集合4={小2-2]<。},B={x[0<log3X<l},则Ap|8=()

A.{x|0<x<3}B.{x|1<x<3}

C.｛x|0<x<2)D.｛x\\<x<2｝

【答案】D

【分析】

先解出集合A、B,再求4nB.

【详解】

A=-2x<o|=｛x10<x<2),

B=｛*0<log3x<1｝=｛x11<x<3)

所以An8=｛x|lvxv2｝.

故选：D

9.已知非空集合A、5满足以下两个条件：⑴AUB=｛1,2,3,4,5｝,AC\B=0；(2)A的元素个数

不是A中的元素，8的元素个数不是B中的元素.则有序集合对(AB)的个数为()

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【分析】

对集合A中的元素个数进行分类讨论，列举出集合A,由此可求得结果.

【详解】

由题意可知，集合A不能是空集，也不可能为｛1,2,3,4,5｝.

若集合A只有一个元素，则集合A为｛4｝；

若集合A有两个元素，则集合A为｛L3｝、｛3,4｝、｛3,5｝；

若集合A有三个元素，则集合A为｛1,2,4｝、｛1,2,5｝、｛2,4,5｝：

若集合A有四个元素，则集合A为｛1,2,3,5｝.

综上所述，有序集合对(AB)的个数为8.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键在于对集合A中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A,由此得解.

10.若集合4一卜加大>1},Z?=L|y=>/7+2k贝|J(4A)IB-()

A.1x|-2<x<ijB.{x|-2<x<e}

C.1x|-2<x<ijD.|x|-2<x<e}

【答案】B

【分析】

求出A,务A,B，再利用交集运算得解.

【详解】

依题意，A={x|lnx>1}=>e},所以«A={x|x«e}.

因为5=卜卜=>/x+2}={#2-2},

故&A)cB={止2We},

故选：B.

【点睛】

易错点睛：解读集合时，首先要看T前元素的一般形式，看集合是数集还是点集，是什么样的数组成的集

合，是什么样的点集，再化简集合.

11.已知集合2={4/一5%<0},。=卜|4之2卜则PDQ=()

A.{.dx>0}B.1A|>/2<x<5|

C.{X|0<X<4}D.|x|4<x<5|

【答案】D

【分析】

求出集合P,。，利用交集定义求出PflQ.

【详解】

由题意得/>={乂04工<5},Q={x\x>4},

所以PnQ=34WxW5}.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关根据不等式求解集合以及集合的运算，正确解题的关键是熟练掌握不等式

的解法，以及理解交集的定义.

12.已知集合4=卜£"次41},3={-1,0,1,2},则AD8的子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

求出交集API8且可得其子集个数.

【详解】

由题意4口3={0,1},因此它的子集个数为4.

故选：D.

【点睛】

结论点睛：集合A中含有〃个元素，则它的子集个数为2”，其中真子集个数为2"—1・

13.某班45名学生参加“3T2”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优

秀”、“合格”2个等级，结果如下表：

等级

优秀合格合计

项目

除草301545

植树202545

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【分析】

用集合A表示除草优秀的学生，3表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则电A表示除草合格的

学生，则田8表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论.

【详解】

用集合A表示除草优秀的学生，B表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则aA表示除草合格的

学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，

设两个项目都优秀的人数为x,两个项目都是合格的人数为了，由图可得20-X+X+30—x+y=45,

x=y+5,因为y111ax=10,所以=10+5=15.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A3表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn

图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值.

14.设U是一个非空集合，尸是U的子集构成的集合，如果尸同时满足：①尸，②若ABEF,则

Ac(+8)t尸且那么称r是U的一个环，下列说法错误的是()

A.若〃={1,2,3,4,5,6},则/={0,{1,3,5},{2,4,6},1；}是^的一个环

B.若。={«Ac},则存在U的一个环尸，尸含有8个元素

C.茗U=Z,则存在U的一个环尸，”含有4个元素且{2},{3,5}W尸

D.若。=口，则存在U的一个环尸，尸含有7个元素且[0,3],[2,4]w/

【答案】D

【分析】

对A,根据环的定义可判断；对B,根据子集个数可判断;对C,存在产={0,{2},{3,5},{2,3,5}}满足;

对D,根据环的定义可得出产中至少8个元素.

【详解】

对A,由题意可得产={0,{1,3,5},{2,4,6},U]满足环的两个要求，故尸是U的一个环，故A正确，不符

合题意；

对B,若U={〃，h,c],则U的子集有8个,则U的所有子集构成的集合户满足环的定义，且有8个元素，

故B正确，不符合题意；

对C,如尸={0,{2},{3,5},{2,3,5»满足环的要求，且含有4个元素，{2},{3,5}€尸，故C正确，不符

合题意.

对D,・・・[0,3],[2,4卜尸，.•.[0,3]c0[2,4]=[0,2)eF,[Z4]c0[0,3]=(3,4]w尸,

[0,3]<j[2,4]=[0,4]eF,

.-.[0,3]M[0,2)=[2,3]GF,[0,4]M[23]=[0,1)u(3,4]eF,

再加上0，尸中至少8个元素，故D错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义.

15.集合M=--------kN=j(x,y)|y=a(x-2)2,«G/?L若McN=0,则实数。

x-Ix—jjt-

的取值范围是()

A.[0,2)B.[0,4)C.[0,8)D.(0,16)

【答案】C

【分析】

建立方程一[-----L=a(x-2)2,研究方程无解〃的范围.

x-1x-3

【详解】

令」7一~二二〃*-2产即/方=々J-

x-1x-3(x-l)(x-J)

若。=0,则上式无解，满足McN=0,符合题意.

若。工0,得一2=。-2)2(%-1)(工-3)

a

令gQ)="_2)2(x-l)(x-3)=(x-2)2(X2-4X+3)

贝ijg\x)=2(x-2)(x2-4x+3)+(x-2)2(2x-4)

=2(A-2)(2X2-8X+7)

令g'(x)=O得％=2-乎,/=2,巧=2+日

易得g(x)得最小值为g(xj=g(x3)=-；，无最大值.

221

要使一一二(x—2)2(x—D(x—3)无解，必须一一v——，即0＜。＜8

aa4

又。二0符合题意，所以实数。的取值范围是[0,8).

故选：C.

【点睛】

方程无解(有解)问题，可以分离变量转化成函数值域问题.

16.设W为小超过工的最大整数，记函数八幻=凶刈，XG[A?,/2+l),"tN的值域为A,集合5是集

合A的非空子集，对于任意元素攵eB,如果攵一1史8,且Z+1史B,那么女是集合8的一个“孤立元素”，

若集合A的所有子集8中，只有一个“孤立元素”的集合8恰好有6个，则正整数〃的可能值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

首先明确集合A的所有非空子集是什么，利用函数/(尤)=[乂可]，xw[〃/+l),分别代入"的值，得到

函数的值域A，利用已知条件得到满足条件的集合8,逐•判断选项即可.

【详解】

当〃=2时，f(x)=lx[x]],XG[2,3),

由国为不超过％的最大整数，

得函数的值域A={4,5},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集3中，

满足只有一个“孤立元素''的集合B,

则8={4},B={5}；

不满足题意，故选项A不正确;

当〃=3时，/(x)=[4x]],XG[3,4),

由㈤为不超过工的最大整数，

得函数的值域A={9,10,11},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集3中，

满足只有一个“孤立元素”的集合B,

则8二{9},B={10},B=

不满足题意，故选项B不正确：

当〃=4时，/(乃=[M刈,xe[4,5),

由⑶为不超过4的最大整数，

得函数的值域A={16,17,18,19},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集5中，

满足只有一个“孤立元素”的集合B,

则8={16},B={17},B={18},8={19},

3={16,18,19},5={16,17,19},

满足题意，故选项C正确；

当〃=5时，XG[5,6),

由[出为不超过”的最大整数，

得函数的值域4={25,26,27,28,29},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集8中，

满足只有一个“孤立元素”的集合B,

则5={25},5={26},8={27},5={28},

8={29},8={25,27,28},B={25,28,29},

3={25,26,28},3={25,26,29},5={26,27,29},

8={26,28,29},8={25,27,28,29},3={25,26,27,29},

共13个满足条件的集合B，

不满足题意，故选项D不正确；

故选：C.

【点睛】

思路点睛：本题考查的是集合知识和新定义的问题，在解答过程中应充分体会新定义问题概念的确定性，

与集合子集个数，子集构成的规律.

17.已知集合4={工€?4*|工=4+"^=7，丁之。}，若BNA且集合B中恰有2个元素，则满足条件

的集合8的个数为().

A.1B.3C.6D.10

【答案】B

【分析】

将方程平方整理得4y2-8移+/(工一2丫=o,再根据判别式得owx<4,故x=l,2,3,4,再依次检验得

4={2,3,4},最后根据集合关系即可得答案.

【详解】

解:根据题意将冗=后+px-y两边平方得%2=2x+2j2孙-产,

继续平方整理得：4y2-8^+x2(x-2)：=0,故该方程有解.

所以A=64X2—16X2(X—2)2N0,即-9+4X20,解得0KXW4,

因为JVWN",故x=l,2,3,4,

当x=l时，易得方程无解，当x=2时，y2-4y=0,有解，满足条件；

当工=3时，4/-24y+9=0,方程有解，满足条件；

当x=4B寸，/-8y+16=0,方程有解，满足条件；

故4={2,3,4},因为BqA且集合B中恰有2个元素，

所以6集合可以是{2,3},{2,4},{3,4}.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为4y2—8少，+/(X—2『=0,再结合

判别式得x=l,2,3,4,进而求出集合A={2,3,4}.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.

18.设全集U=R,集合M={RxWO},集合N={N/wi},则(q,,M)UN=()

A.(。,1]B.[-1,0]C.[-D.(―oo,-1]

【答案】C

【分析】

先求出N={x|TWx《l}和七M,再求@，M)UN得解.

【详解】

由题得N={x|f«1}={用_1«工<1},

因为M={xlx«0}

所以={x|x>0},

所以@")UN=[—1,内).

故选：C

【点睛】

思路点睛：该题主要考查集合的补集和交集运算，解题思路如下：

(1)利用一元二次不等式的解法，求得集合N；

(2)利用补集的定义以及题中所给的集合M,求得Q,M：

(3)利用并集的定义求得结果.

19.已知全集"二>1,集合4=卜旭(％-2)<1},集合8=卜,2一21一320},则AU(Q/)=()

A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)

【答窠】C

【分析】

先化简求出集合A8,再求得解.

【详解】

由题得A={x|lg(x-2)<l}={x|lg(x-2)<lgl0}=(2,12),

8=卜,2_2_¥-32()}={划工23或14一1),

所以08二(-1,3),

所以AU&B)=(T12).

故选：C

【点睛】

易错点睛：解不等式lg(x—2)<l时，要考虑函数的定义域，必须满足％-2>0,不能只得到工一2<10,

否则容易出错.函数的问题，要注意定义域优先的原则.

20.已知集合人=卜|/-4工+3>0},B={x\w<x<w+4},若AUB=R,则实数机的取值范围

是()

A.[-1,2)B.[-1,1)C.(Y,1)D.[―1,+8)

【答案】B

【分析】

解•元二次不等式求得集合4根据集合的关系得到关于加的不等式组，解出即可.

【详解】

因为4={x|无2-4工+3>0}={划3<1或工>3),

B={x\m<x<m+4},且AU8=R,

m<\

所以有{,c，解得一1«相<1，

w+4>3

故选：B.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，解题方法如下：

(1)根据一元二次不等式的解法求得集合A；

(2)根据两集合的并集为R,得到关于加的不等式组，求得结果.

21.定义集合C=｛（苍,y）|x£&ywR｝,M=｛（x,y）|xcos夕+ysin夕=2,。w[0,2万»,

A/=｛（x,y）||x|+|y|<2）,则下列判断正确的是（）

A.McN=0

B.Q（MDN）=0

（2%）（2声

C.若hhhwM,/1:xcos0+ysine=2,l2:xcos^+—+ysin^+―J=2,

/3:xcosh9—+jsin=2,则由4,J4围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面

积一定相等

D.满足产夕用日P/N的点P构成区域的面积为4（万一1）

【答案】C

【分析】

首先确定集合M和N所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.

【详解】

对于集合M=｛（%y）|xcos夕+ysin8=2,夕w[0,2万）｝,

2

原点到直线xcos6+ysin0=2的距离为d=/,0=2,

Vcos2（94-sin26>

所以集合M表示圆/+y2=4上所有点的切线上的点，

对「集合'=｛（乂〉）旧+302｝,

当xNO,yNO时，x+yW2表示图中三角形40。区域；

当时，-x+yW2表示图中三角形A08区域；

当xWO,y〈O时，一尢一y42表示图中三角形8。。区域；

当xNO,y«O时，％一、《2表示图中三角形。。。区域；

所以集合N=｛（乂月旧+3K2）表示图中ABCD区域,

对于A选项，由图可知McN={(x,)，)|(2,0),(0,2),(—2,0),(0,-2)},不是空集，故A错；

对于B选项，=表示图中圆内部挖去A8CO区域剩下的部分，不是空集，故B错:

对于C选项，Z1:xcos6+ysin夕=2表示在点(2cose,2sin。)处的切线,

cosp+—Uysin[i9+—

X=2表示在点(2cos(e+q-),2sin(8+7))处的切线，

27r27r

/:xcosl0-^-+ysin|6-毛=2表示在点(2cos(〃——),2sin(9——))处的切线，三切点均在圆

3\3J\3J33

上，易知三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；

对于D选项，由B选项知，。促M且尸eN则P点在圆内部挖去人8CO区域剩下的区域内，面积为4〃一8，

故D错；

故选C.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之后，可以辅助

我们解题，达到事半功倍的效果.

X।

22.已知集合人一九|“1一^~~匕』＜11，集合占一{乂2025+1门32021},若8三4,则实数〃的

X

取值范围为()

A.[-e,e]B.[一e4]C.[-覃]D.[—1,(?]

【答案】B

【分析】

令/a)=202Lr+lnx,由f(x)单调性和/(1)=2021可求得集合5，将问题转化为

/7-£^^«1在4«1,”)上恒成立，化简不等式得/一111/4"》一1116一1，构造函数'=/一也，，

x

由导数可确定其单调性；分别在0<4〈1和。>1:种情况卜.，根据不等式恒成立求得取值范围.

【详解】

令f(x)=202氏+lnx,则/(力=2021+」>0,..f(x)在(0,y)上单调递增,

X

又"1)=2021,.•.2021x+lnxN2021的解集为％之1,..8=［1,”)，

.••口,”)为£一|A1的解集的子集,

x

即当方£口,木»)时，用7_6恒成立;

x

由X“T—"+0”匕1(工训得:xa-e~x-a\nx<x(x>1),

即/一InVW+x=—In"*(xN1),

1t-\

令y=，-hu,贝i］)/=l-7=—,

・•・当/£(o,i)时，y<o；当，£(i,+oo)时，y>0；

在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

axax

①当a40时，xe(0,l］,e~e0,^L;,x>e~^即alnxN-x在［1,十刃)上恒成立，

当x=l时，。之一1,则awR：

当”>1时，a>一--,令&(%)=--—(x>l),则n；(x〉［),

Inx'，lnxv7(Inx)

•••当xw(1,e)时，g'(x)>0；当x£(e,+oo)时，g'(x)v0：

.,.g(x)在(l,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，「.g(x)max=g(e)=-e,「.aN-e；

综上所述：4«-60］：

②当0v〃41时，・・・xNl,.•.14/W%,又"'+111%>0，Inx，

/.xa-Inxa<x—InxWx+0-*，♦二a£(0,1］满足题意；

③当a>l时,

若£一出/工"'+工="'—lne%xNl)恒成立，则炉—々Mx—/X-xWO在[1,”)上恒成立，

令y=lnx-(x-l)(XN1),则yz=--1=---<O,

xx

.•.y=111%一(工一1)在[1,+00)上单调递减，:.y<0,即InxKx—l,又"、<1，

£—ci\nX-cx—x£—ci^x—1)—e'—x=xa-ax+a—ex-x

>—(a+l)x+〃-1>£—(a+l)x,

令/=(6f+l)a-l，则x"-(o+l)x=(4+l)a-1+=(〃+l)"T-(〃+1>T=0'

又(4+1)=>1，则芍一。比上0一夕”一

即x"-alnx—"X-尤W0在口,+°0)上不恒成立，

不合题意；

综上所述：实数。的取值范围为[一81].

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题以集合为载体，考查了利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够根据集合的包

含关系将问题转化为不等式恒成立，通过同构的思想将问题进一步转化为函数的函数值之间的比较问题，

通过构造函数，结合函数的单调性来进行求解.

23.若非空实数集X中存在最大元素”和最小元素也则记△(X)=M-m下列命题中正确的是()

A.已知Y-(O,h),且A(X)-△(¥),则人=2

2

B.已知X=m,a+2],Y={y\y=x,x^x}t则存在实数a,使得八(丫)<1

C.己知X={x"(x)>g(x),x£[-Ll]},若A(X)=2,则对任意xw[T,l],都有/(x)Ng(x)

D.已知X=[a,a+2],Y=g,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得△(XuYX?

【答案】D

【分析】

根据A(X)=M-/n的定义，对四个选项一一验证即可.

【详解】

对于A：由'={-1,1},则A(X)=l—(—1)=2；丫={0,圻，则仅丫)=|0-4=2,解得：b=±2,故A

错误；

对于B：由X=［〃M+2］,则A(X)=a+2-。=2；

2

Y={y\y=x9xeX},则A(Y)=一Znin，

①当aK-2时，y=/在［。,。+2］上单减，所以△(Y)=ymax—为泣=。2-(。+2)2=Ta-4vl,解得：

a>~,又。4—2,所以。不存在；

4

②当一2vaWT时，y=V在［&0］上单减，在［0,々+2］上单增，且〃？>(4+2)2所以

△(丫)二)’1^一/面二。2-0=/<］,解得：-又一2<。<一1，所以。不存在；

③当-IvaWO时，y=V在口,0］上单减，在［0,a+2］上单增，且/〈(〃十？?所以

△(丫)=乂皿一乂《所=(。+2)2-()=(。+2)2<1,解得：一3<。<一1,又一IvaWS所以。不存在；

④当。>0时，y=V在［〃M+2］上单增，所以△(y)=ymax-y而”=(。+2)2—/=4。+4<1,解得：

3

a<—,又〃>0,所以a不存在：

4

综上所述：不存在实数小使得仅丫)<1

故B错误；

对于C：•・,X=*"*)>而A(X)=2,则M=1,N=-1,但对任意都有

f(x)>g(x),不一定成立；

对于D：・・・X=3M+2］,・・.A(X)=2,由丫=由力+3］得A(Y)=3,所以则对任意的实数m总存在实

数瓦使得A(Xuy)W3,故D成立.

故选：D

【点睛】

通过阅读材料渗透新概念,新运算，新符号,新规定等知识，是近年的又一考题类驾结合已经学过的知识，掌握

的技能进行理解,根据新定义进行运算，推理，迁移，把握“新定义”内涵，是解决此类问题的关键.

24.已知非空集合A±R,设集合S={x+.y|xwAyeA,xwy},T=[x-y\xeA,yeAf%>y}.分

别用⑶、间、表示集合A、S、7中元素的个数，则下列说法不更硬的是（）

A.若同=4,则网+团48B.若网=4,则闾+r区12

C.若同=5,则同+|刀可能为18D.若⑶=5,则间+|刀不可能为19

【答案】D

【分析】

分析集合S,7中的元素,将问题转化为排列组合问题，求出间+|刀的最大值,若集合A由相邻元素构成时，

则同+|刀取得最小值，依次分析各个选项，即可得解.

【详解】

已知S={x+y|x£4,y£A,xwy},T=^x-y\xeA,yGAfx>y^.

又|A|、|S|、|T|表示集合A、S、丁中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，

对于AB,同=4,同《第=6,|外<第=6,则同十|刀412,故B正确;

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例4={1,2,3,4},则5={3,4,56,7},7={1,2,3）,即

狗明）3「8,故A正确：

对于CD,同=5,|S|«C=1。，|刀4C=1°，则|S|+|T|«20,故D错误;

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例A={1,2,3,4,5},则5={3,4,5,6,7,8,9},T={1,2,3,4},

即（冏+|4）*=11,故同+|刀可能为18,故C正确;

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用排列组合思想求集合中元素的个数，解题的关键是分析集合S,T中的元素，即

从多个元素中选出两个元素的组合求其和与差，即可将问题转化为排列组合的问题，考查学生的逻辑思维

与转化思想，属于较难题.

25.已知使不等式/+3+1）工+%。成立的任意一个右都满足不等式3X一1„0,则实数。的取值范围为

)

[1）1

B.--,+ooC.心/JD.一oc,--

33

【答案】B

【分析】

可分解因式％2+3+1)冗+4=(X+1)(%+0,分三类。=1,a<\,求解不等式解集，利用不等式

f+3+1比+。《0的解集是(-00'的子集，求解〃的取值范围.

【详解】

由题意，3x-l<0»得由Y+(a+l)x+aW0,得(x+l)(x+a)«0

因为使不等式成立x2+(a+l)x+a<0的任意一个x,都满足不等式31一1<0

①若a=l，则*+1)*+。)工0的解集为{一1}，满足{T}q(—,g,符合题意

②若"1,则(x+l)(x+〃)WO的解集为[-1,一句，贝4一1,-〃]=(-<»,；,故一则一

(「

③若则则(x+D(x+a)«O的解集为[一々,一1],则[一〃,一l]q,故〃>1

综上有：a的取值范围为一g，+8)

故选：B

【点睛】

本题考查了含参的一元二次不等式的解法问题，可先将给定式子十字相乘因式分解，根据一元二次不等式

所对应的方程的根的大小分类讨论，写出解集.如若不能十字相乘分解，需要先对判别式与零的大小关系进

行讨论，判别式大于等于零时，用求根公式求出对应方程的根，从而写出解矣.

26.已知集合4={(4,力|工2+)/=]/,),ez},B={(x,y)|\x\3,|y|3,x,yeZ]f定义集合

A㊉3={（X]+X2，yi+y2）l（M，M）£4，（X2，y2）£B},则A㊉B中元素的个数为（）

A.77B.49C.45D.30

【答案】A

【分析】

根据题意，利用数形结合表示出集合4氏然后根据新定义中集合4④B中元素的构成，用平面的点表示即可.

【详解】

因为集合4=｛（x,y）|d+y2=i/,yez｝,所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括

边界），集合8=｛（乂历|凶43口区3,乂），€2｝中有7x7=49个元素（即49个点）：即图中正方形A3CO中

的整点，

集合4㊉B=｛（%+々，）%+%）I（X，,）w4（9，％）£阴的元素可看作正方形EFGH中的整点（除去四

个顶点），即9x9—4=77个.

.•.AO8含有77个元素.

关键点点睛：本题的解题关键是利用数形结合表示集合的几何意义，从而得解.

22

27.设函数/⑴=sin（5+3）,A=｛（^,/（x0））|r（x0）=0｝,8=｛（%,y）嗫+3KI｝,若存在实数

9,使得集合ACIB中恰好有7个元素，则①（①>0）的取值范围是（）

3533

A.—71,—nB.—71,71C.D.71,-71

4442

【答案】B

【分析】

3--<8

由题意求出-48",结合正弦函数的性质可得《f,从而可求出①的取值范围.

“27r八

4>8

Lco

【详解】

解：“：f(xo)=0,.*.f(xo)是/(x)的最大值或最小值，

又/(x)=sin(cox+(p)的最大值或最小值在直线y=±l上，

2221

・・・y=±］代入工+£工1得，£1+1<1，解得-42，

322322

3~<8

又存在实数仍使得集合ACW中恰好有7个元素，f,且①>0,

42乃八

解得，，①的取值范围是

4

故选：B.

【点睛】

关键点睛：

本题的关键是求出x的取值范围，再结合三角函数的性质列关于①的不等式.

28.设集合S,T中至少两个元素，且S,7满足:①对任意x,yeS,若“力y,则x+y£T,②对任意x,yeTf

若xwy,则x-yeS,下列说法正确的是()

A.若S有2个元素，则SUT有3个元素

B.若S有2个元素，则SUT