《备考指南一轮·数学·》课件-第8章 第5讲

立体几何第八章第5讲空间向量及其运算高考要求考情分析1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系这一部分往往作为后面学习的基础，在高考中往往作为一个工具，考查直观想象和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有______和______的量叫做空间向量相等向量方向______且模______的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量共面向量____________________的向量大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面(2)空间向量的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

3．(2019年高安期末)已知空间向量a＝(－1，x,1)，b＝(3,1，y)，c＝(z,0,0)，a＋b＝c，则xyz的值为(

)A．±2

B．－2

C．2

D．0【答案】C

4．(一题两空)已知向量a＝(1，－1,2)，b＝(0,1,1)，则|a－b|＝________，cos〈a，b〉＝________.5．(2020年上海模拟)已知向量a＝(7，－1,5)，b＝(－3,4,7)，则|a＋b|＝________.【答案】13

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线平行，只需证明直线的方向向量共线即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(

)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(

)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(

)(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)×重难突破能力提升2空间向量的线性运算共线定理、共面定理的应用

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.空间向量数量积的应用

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．【跟踪训练】3．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为__________．【考查角度】共线向量与共面向量．【考查目的】考查方程思想、空间向量及应用，体现数学运算的核心素养．【思路导引】根据向量a与b共线，列出方程组求x，y的值，验证a与b是否同向即可．特别注意，不要将a，b同向和a∥b混淆，a∥b的意义是a，b方向相同或相反．【拓展延伸】1．基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．2．基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．3．利用向量解决立体几何问题应注意的问题(1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．【真题链接】

1．(2014年广东