《备考指南一轮·数学·》课件-第3章 第3讲

函数第三章第3讲函数的奇偶性与周期性高考要求考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值，三角函数等结合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多．体现了逻辑推理和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称y轴f(－x)＝－f(x)原点[谨记常用结论]函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数3．(2019年福建模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋4)＝－f(x)，如果当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)＝(

)A．27

B．－27

C．9

D．－9【答案】B【解析】因为y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)．所以f(x)是周期为8的周期函数．因为当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，所以f(985)＝f(123×8＋1)＝f(1)＝－f(－3)＝－33＝－27.故选B．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(

)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(

)(4)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数．(

)(5)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2函数奇偶性的判断方法二(定义法)：易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)．故f(x)是偶函数．方法三：f(x)可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．【规律方法】判定函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：【跟踪训练】1．(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

)A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】(1)C

(2)B函数的周期性【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝x－sinπx，则f(1)＝1－sinπ＝1，f(2)＝2－sin2π＝2.又由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝－f(2)＝－2，则有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋[f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.故选C．【规律方法】函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数性质的应用【考向分析】函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们结合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的考向：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．【答案】(1)A

(2)C【答案】A【答案】D【解析】因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R内的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R内是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故选D．【规律方法】函数性质应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．函数性质的综合运用【规律方法】函数性质综合应用的注意点函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题．【答案】(1)2

(2)①②④(2)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，得f(0)＝0.令x＋y＝0，得y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数，①正确；f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)，又f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1,2]上为减函数，③错误；由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0，得f(2)＝－f(0)＝f(0)，④正确．综上，①②④正确．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年深圳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数．若对于x≥0都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2019)＋f(2020)的值为(

)A．－2

B．－1

C．1

D．2【考查角度】函数奇偶性的性质以及函数的周期性的判断及其应用．【考查目的】考查运算求解能力和逻辑推理能力，体现逻辑推理的核心素养．【思路导引】先利用f(x)的奇偶性求出f(x)的周期T＝2，再借助f(x)的奇偶性和周期性将f(－2019)和f(2020)转化到区间[0,2)上进行求值即可．【解析】因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又因为对于x≥0，都有f(1－x)＝f(1＋x)，令t＝1－x，则x＝1－t，所以f(t)＝f(2－t)，即f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2－x)．所以函数f(x)的周期T＝2，f(－2019)＋f(2020)＝f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋log2(0＋1)＝1.故选C．【答案】C【拓展延伸】1．奇、偶函数定义域的特点(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．奇、偶函数的两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．与周期性和对称性有关的三条结论(1)若对于R内的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R内的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

【真题链接】

【答案】C2．(2017年山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6.因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.3．(2019年新课标Ⅱ)已知f(x)是奇