《备考指南一轮·数学·》课件-第8章 第6讲

立体几何第八章第6讲立体几何中的向量方法(一)高考要求考情分析1.理解直线的方向向量及平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理证明平行与垂直是高考每年必考内容，是高考的热点，考查直观想象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有______个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______个，它们是共线向量无数无数2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(3,2，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(

)A．2

B．3

C．4

D．5【答案】C

3．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(

)A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)【答案】C

【解析】因为直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，所以s·n＝0.对于A，s·n＝－1－2＝－3；对于B，s·n＝－1－1＝－2；对于C，s·n＝－1＋2－1＝0；对于D，s·n＝2＋2＋2＝6.故选C．4．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＋z＝________.【答案】1

5．(2019年日照期末)设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.【答案】4

1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线平行，只需证明直线的方向向量共线即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线的方向向量是唯一确定的．(

)(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(

)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．(

)(4)若空间向量a垂直于平面α的法向量，则a所在直线与平面α平行．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×重难突破能力提升2利用空间向量证明平行问题

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.【规律方法】用向量证明平行的方法：(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．【跟踪训练】1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.利用空间向量证明垂直问题

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O，连接PO.因为平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．【规律方法】用向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．【跟踪训练】2．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.【证明】如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.利用空间向量解决探索性问题

如图所示，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．【规律方法】立体几何开放性问题求解方法：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论．(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．【跟踪训练】3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年岳麓区校级模拟)如图，直三棱柱ABC－DEF的底面是边长为2的正三角形，侧棱AD＝1，P是线段CF的延长线上一点，平面PAB分别与DF，EF相交于M，N.(1)求证：MN∥平面CDE；(2)求当PF为何值时，平面PAB⊥平面CDE.【考查角度】线面平行的判定及性质，考查面面垂直的判定．【考查目的】考查逻辑推理能力及运算求解能力，体现数学运算和直观抽象的核心素养．【思路导引】(1)利用线面平行的性质可得AB∥MN，进一步得到DE∥MN，由此得证；(2)方法一：取线段AB，DE的中点G，H，分析可得若PG⊥CH，则平面PAB⊥平面CDE，由此利用解三角形知识求解；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识得解．【解析】(1)因为AB∥DE，AB在平面DEF外，则AB∥平面DEF.因为平面PAB∩平面DEF＝MN，则AB∥MN，从而DE∥MN.因为MN在平面CDE外，所以MN∥平面CDE.【拓展延伸】1．用向量方法证明平行与垂直的思路用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．空间向量与立体几何的联系用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线l1∥l2，只需证明向量a＝λb(l1，l2的方向向量分别为a，b，λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平