《备考指南一轮·数学·》课件-第11章 第6讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第6讲离散型随机变量的分布列、均值、方差高考要求考情分析1.会求某些取有限个离散型随机变量的分布列，理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义以实际问题为背景，运用期望与方差的知识进行决策或判断，常以解答题为主，几乎每卷都有考查，考查数学建模与数学抽象以及数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为____________________，所有取值可以一一列出的随机变量，称为____________随机变量．随机变量离散型概率分布列p1＋p2＋…＋pn

x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn

数学期望平均水平平均偏离程度标准差5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝____________.(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b为常数)6．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则EX＝________，DX＝__________.(2)若X～B(n，p)，则EX＝________，DX＝__________.aEX＋b

a2DX

p

p(1－p)

np

np(1－p)

【答案】D

【解析】由随机变量X的分布列，得p＝1－0.3＝0.7，所以EX＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.故选D．【答案】D

【解析】依题意，P(X＜4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＋0.2＝0.5.故选D．【答案】B【答案】905．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为____________．1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(

)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(

)(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(

)(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×重难突破能力提升2离散型随机变量分布列的性质【规律方法】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．离散型随机变量分布列的求法

(经典母题)(2017年山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【迁移探究1】用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列．【规律方法】(1)离散型随机变量分布列的求解步骤①明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．②弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．③按规范要求形式写出分布列．④利用分布列的性质检验分布列是否正确．(2)超几何分布的特征①考察对象分两类．②已知各类对象的个数．③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．离散型随机变量的均值与方差【考向分析】离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是近几年高考中主要的概率题型，常与排列组合、概率等知识综合考查．常见的考向有：(1)求离散型随机变量的均值、方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值．【答案】D

【解析】因为η～B(n，p)，且E(2η)＝8，D(4η)＝32，所以E(2η)＝2Eη＝2np＝8，D(4η)＝16Dη＝16np(1－p)＝32，解得n＝8，p＝0.5.【规律方法】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．均值与方差在决策中的应用

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年赣州模拟)有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得x(x∈N＋)分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束．记甲乙累计得分分别为ξ，η.【考查角度】离散型随机变量及其分布列与离散型随机变量的期望与方差．【考查目的】考查数学运算能力及必然与或然思想，体现数学建模和数学运算的核心素养．【拓展延伸】1．期望与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．(2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.(3)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．【真题链接】

1．(2018年新课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(

)A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3【答案】B

【答案】D

3．(2019年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本