《备考指南一轮·数学·》课件-第4章 第2讲

导数及其应用第四章第2讲导数在研究函数中的应用高考要求考情分析1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些简单的实际问题导数在研究函数中的应用，主要从单调性、极值、最值三个方面考查，在解答题中几乎每卷必考，而且有一定的难度，考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养．利用导数研究生活中的优化问题考查频率较低，考查数学建模和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的单调性与导数(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上________；(2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上________；(3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是________．[特别提醒]讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．递增递减常函数2.函数的极值与导数><<>大小大小[特别提醒](1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最大(小)值必在区间端点或极值点处取得．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．[特别提醒]求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．f(a)f(b)f(a)f(b)4.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路1．(教材习题改编)如图所示是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D5．(2019年辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________.【答案】－18【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．又因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以M＝1，N＝－19.故M＋N＝－18.1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理地解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(

)(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性．(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(

)(5)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√重难突破能力提升2利用导数研究函数的单调性、求单调区间(2)要使f(x)在(－2,3)上为减函数，则f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，即a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又因为－2<x<3，所以e－2<ex<e3，只需a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．【规律方法】(1)确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．函数单调性的应用【规律方法】(1)利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．(2)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．(3)根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．②f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．利用导数研究函数的极值【考向分析】函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．常见的考向：(1)由图象判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数．【答案】D【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)没有极值，不合题意．若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

极小值－12

极大值－

【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．利用导数求函数的最值【规律方法】(1)利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．利用导数解决生活中的优化问题【规律方法】(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；④回归实际问题作答．(2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】利用导数研究函数的单调性及由不等式的恒成立求解参数范围．【考查目的】考查分类讨论、转化与化归等思想及逻辑推理的能力，体现数学运算的核心素养．【思路导引】(1)先对g(x)求导，然后结合导数与单调性的关系可求g(x)的单调区间；(2)结合已知条件构造函数，结合结论转化为求解新函数的值域．【拓展延伸】1．函数的定义域求函数的单调区间应遵循定义域优先的原则．2．函数在区间(a，b)内单调的条件(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件为：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．3．求函数单调区间的步骤第一步：求函数f(x)的定义域；第二步：求导数f′(x)；第三步：在函数定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；第四步：确定f(x)的单调区间．【真题链接】

1．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．2．(2018年江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】－33．(2018年北京)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a