第二十讲误差曲线与误差椭圆

地理信息与旅游学院测绘教研室

课程教案

课程名称：误差理论与测量平差

授课教师：杨灿灿

授课对象：2013级测绘工程专业

授课时间：2015年3月-2015月7月

地理信息与旅游学院制

2013年8月

一、学生情况分析

本课程为2013级测绘工程本科的第四学期课程，该专业学生共有96人。已

经开设过高等数学（上下册）课、现代测量学、线性代数、概率论与数理统计，

这些课程的开设为误差理论与测量平差的学习作了充分准备。

二、课程教学目标

本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法

原理和基本技能，提高数据分析和处理能力，为后续相关专业课程的学习以及毕

业后从事测绘相关工作打下专业基础。

三、课程教学内容

第一章绪论

主要内容：观测误差的概念及观测误差的分类，观测条件的概念，测量平差

学科的研究对象及任务；测量平差发展概况。

本章重点:误差产生的原因及其分类。

本章无难点。

第二章偶然误差的统计特性及精度指标

主要内容：正态分布，偶然误差的统计特性，衡量观测质量好坏的标准（精

度、准确度、精确度）和衡量精度的五大指标（方差和中误差、平均误差，或然

误差、极限误差、相对误差）。

本章重点：偶然误差的统计特性和衡量精度的五大指标。

本章难点：衡量精度的五大指标。

第三章协方差传播律及权

主要内容：方差一协方差阵传播律公式及应用，权及定权的常用方法，单位

中误差的计算，协因数传播律以及系统误差的传播与综合。

本章重点：协方差传播律公式及应用，权与定权的常用方法，单位中误差的

计算，协因数传播律及应用。

本章难点：协方差传播律公式及应用，协因数传播律及应用。

第四章平差数学模型与最小二乘原理

主要内容：平差几何条件，平差的数学模型、函数模型、随机模型的概念及

具体的四大经典平差函数模型，最小二乘原理。

本章重点：四大经典平差函数模型，最小二乘原理。

本章难点：四大经典平差函数模型，最小二乘原理。

第1页

第五章条件平差

主要内容：条件平差原理；条件平差的精度评定及计算步骤；水准网、测角

网、测边网、导线网的条件方程的列立及计算；附有参数的条件平差的原理及精

度评定。

本章重点：条件平差的原理、精度评定方法及应用，附有参数的条件平差的

原理和精度评定。

本章难点：条件平差的计算步骤，包括三角网、测边网等，测角网条件平差

及附有参数的条件平差的方程列立。

第六章间接平差

主要内容：间接平差原理；间接平差的精度评定；间接平差的步骤，水准网、

测角网、测边网、边角网的误差方程的列立；间接平差的应用；附有限制条件的

间接平差的原理及精度评定。

本章重点：间接平差的原理和精度评定方法，间接平差的步骤，测角网、测

边网、边角网的误差方程的列立；间接平差的应用；

本章难点：间接平差的步骤，包括测边网、测角网等，附有限制条件的间接

平差。

第七章误差椭圆

主要内容：点位误差的概念及计算；误差曲线及误差椭圆、相对误差椭圆的

概念及相关计算。

本章重点：误点位误差，差曲线及误差椭圆、相对误差椭圆。

本章难点：误差曲线及误差椭圆、相对误差椭圆。

第2页

第一讲绪论

一、教学目标

1.理解观测条件等相关概念

2.掌握误差的来源及分类

3.掌握测量平差的任务和对象

4.掌握偶然误差的分布规律和统计特性

二、重点与难点分析

L重点：观测误差的来源与分类，正态分布，偶然误差的统计特性

2.难点：无

三、教学内容与教学过程

L进行自我介绍

姓名，联系方式，专业方向。建议学生用电子邮件方式联系。

2.进行课程简介

介绍课程的学习目标、参考书及资料、课程教学目标和内容框架、学习方法、

作业与实验、考核方式、上课时间与地点等情况。强调本课程与相关课程的关系。

［教学提示］:考核方式为平时占40%,期末笔试占60%,强调本课程与测量

学、高等数学、线性代数、概率论与数理统计等相关课程的关系，加强这些课程

的复习工作。

3.演示“第一讲”PPT课件，进入主题。

(1)引入:三角测量过程中出现的测量值与真值不相等的现象，这些问题出现

的原因是因为观测误差的存在，并介绍相关概念及观测误差的表达方式。

(2)观测值中存在观测误差的原因及误差来源

观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。

结合测量学观测三角形内角和的例子，与学生一起总结出误差产生的因素有

仪器误差，观测者的因素及外界条件的影响，即观测条件；并分析观测条件与观

测误差的关系及其影响。得出有观测就有误差的结论。

(3)观测误差的分类、产生原因及其处理

1).分类

观测误差按照性质来分，可分为偶然误差、系统误差和粗差。

粗差：明显歪曲测量结果的误差，比正常观测条件下可能出现的最大误差还

大的误差。

系统误差：相同观测条件下做一系列观测，若误差在大小、符号上表现出系

统性，或按一定规律变化，或为一常数，那么这种误差则为系统误差。

偶然误差：相同观测条件下做一系列观测，若误差在大小、符号上表现出偶

然性，即单个误差无规律性，但是大量误差具有一定的统计规律，则称为偶然误

差(随机误差)。

第3页

［教学提示］:结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起

的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的

误差属于偶然误差。

2).产生原因

粗差产生的原因：测错、读错、记录错、计算错、仪器故障等所引起的偏差。

系统误差产生的原因：仪器构造的缺陷或检验校正不严格引起的。如：钢尺

量距误差、水准仪i角误差等。

偶然误差产生的原因：偶然误差产生的原因很多，往往无法预知和控制。如

空气的不稳定、观测目标的亮度差、仪器的构造不严密、观测者的感觉器官受一

定的限制等。

3).处理方法

粗差的处理措施：舍弃或重测。变更仪器或操作程序，进行必要的重复测量

或多余观测，采用必要而又严格的验算等。

系统误差的处理措施：采取科学合理的操作方法或观测条件；利用公式进行

系统误差改正。

偶然误差的处理措施：平差。

［教学提示］:让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，哪

些计算改正为了消除偶然误差影响的。

4)必需观测和多余观测

必需观测：测量中可确定全部未知量所需的最少的观测。

多余观测：多余必需观测的观测量。多余观测的作用：发现误差和矛盾

5)经典平差依据的准则一最小二乘原理

最小二乘原理的表达：［pvv］=min.

6)测量平差的定义及任务

测量平差的定义：对含有误差的观测值，在多余观测的基础上，依据一定的

观测模型，按照最小二乘原理，对观测结果进行合理的调整，求得一组没有矛盾

的最可靠结果，并评定精度，这种处理方法和过程称为测量平差。

测量平差的任务：求待定量的最佳估值；精度评定

4.一维正态分布及n维正态分布

(1)一维正态分布

.概率密度：

1(X-〃)

二_____________2b

f(x)e(-oo<x<+oo)

J27rb

第4页

119

f(X)=—e印{一2.2(X_.)}

其中四和。是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机

变量数字特征为口和o的正态分布，一般记为x〜N(|i,(y)o

若连续型的随机变量X的概率密度为f(x),若积分

f+oo

fxf(x)dx

J—00

绝对收敛，则称此积分为X的数学期望或平均值，记为

<•+00

E(X)=|xf(x)dx=〃

J—00

推导证明此公式。方差的公式学生自己推导。正态分布密度函数曲线如

(2)n维正态分布

设随机向量X=区,42,…，芍),服从正态分布，则n维正态分布的随机

向量X的联合概率密度函数是

/(X)=f~^xFDxx[X

I叱(2/I2>

n维正态随机变量X=(%Z)r的数学期望和方差(数字特征)分

别为

E(X)=fp+oof(X)XdX="x

J—00

D(X)=域X-E(X)f}=匚7(X)[X-E(X)]2dx=%

而

第5页

2

(aa…cr)

2

°xx=E{[X—E(X)[X—E(X)]]==//••-b.

2

(T

、4,匹b.•••X„?

其中b；是随机变量Xi的方差，(TXiXj是随机变量Xi对随机变量Xj的

互协方差。’

5.偶然误差分布

基本假设：含粗差的观测值已被剔除；并且含系统误差的观测值已经过适当

改正。

例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，计算各内角和

的真误差,并按误差区间的间隔0.2”进行统计。则偶然误差可用以下几种表示

方法

(1)列表法表示为

误差一△+△

区间个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/dA

0.00^0.20450.126处630460.1280.640

0.20*0.40400.1120.560410.1150.575

0.40~0.60330.0920.460330.0920.460

0.60~0.80230.0640.320210.0590.295

0.80^1.00

170.0470.235160.0450.225

1.00~1.20

130.0360.180130.0360.180

1.20~1.40

60.0170.08550.0140.070

6040.0110.05520.0060.030

>1.60

000000

和1810.5051770.495

(2)直方图法表示为

(3)密度函数法

当误差个数无限增大，误差区间缩小，直方图则可变成一条光滑曲

线，该曲线称为误差分布曲线。

第6页

K/n)/dA

偶然误差的分布特性

从上例中总结发现偶然误差的分布规律：

(1)在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。(有界性)

(2)绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。(趋向性)

(3)绝对值相等的正负误差出现的概率相等。(对称性)

(4)偶然误差的数学期望为零。(抵偿性)

由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值；由偶然误差的

对称性知观测量的期望值就是其真值。

6.教学小结

本讲首先介绍了观测误差产生的原因，介绍了观测误差的分类及其处理，

测量平差的任务及学科研究对象，并简要介绍了最小二乘原理。其次讲解了正

态分布，误差的表示方式以及偶然误差的统计规律，需重点掌握。

四、作业

无

第7页

第二讲精度及衡量精度的指标

一'教学目标

1.熟记衡量精度的指标，

2.掌握精度计算的方法

3.了解测量不确定度的概念

二'重点与难点分析

重点：精度指标及计算

难点：精度指标及计算

三、教学内容与教学过程

1.回顾

回顾上节课学习的内容（让学生来回顾，其他学生可以补充）

2.观测条件与观测精度

一定的观测条件对应着一个确定的误差分布。

分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高，观测条

件好，反之，误差分布离散，观测条件差。

精度：是指一组偶然误差分布的密集与离散程度，是观测值与其期望值接

近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。精度与方差直接有关。

数学期望：反应了随机变量集中位置的数字特征；

方差：反应随机变量偏离集中位置的离散程度；

准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度，表征观测结果系统

误差大小的程度，若观测值数学期望与真值的偏差大，则准确度越低。

精确度：是精度与真确度的合成，是指观测结果与其真值的接近程度，反

应偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。

例子：如图

第8页

3.衡量精度的指标

(1)方差与标准差

1)方差定义为：

观测误差和观测值均为随机变量，所以

2::

DL=crL=£[(£-£(Z.))]=£(A)

C=E[(A-E(A))1=E(A)

当观测值中只含有偶然误差时，任一观测值的方差与观测误差的方差是相

同的。

2)由期望定义方差，则可表示为

a2=O(A)=£(A2)=广炉/⑷必

对于离散型：

『=3。)=£(4)=]1m她(T=lim

XT9M.及T9n

实际上观测个数〃总是有限的，由有限个观测值的真误差只能得到方差和

中误差的估值，方差/和中误差b的估值分别用符号和3表示，即

«，

中误差不是代表个别误差的大小，二十代表误差分布的离散程度大小，中

误差越小，观测中绝对值小的误差较多，较集中，精度越高；相反，中越差越

大，则观测的误差越低。

(2)极限误差

由中误差的定义可知，它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方

根极限值，中误差愈小，即表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈多。按正

态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在(一6+6、

(-2b,+2b)和(-3b,+3b)的概率分别为：

产(一b<A<+b)曰68.3%

产(-2b<A<+2b)曰95.5%,

P(-3a<A<+3b)邢99.7%.

极限误差：由偶然误差的第一性质可知，偶然误差的绝对值不会超过一定

的限制，该限制被称为极限误差。一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值

△俄，并称为极限误差。

△"3b

实践中，也常采用2b作为极限误差的。例如测量规范中的限差通常是以

2b作为极限误差的。实用上以中误差的估值3代替在测量工作中，如果

第9页

某误差超过了极限误差，那就可以认为它是错误，相应的观测值应进行重测、

补测或舍去不用。

(3)相对误差

相对误差：误差与观测值之比。即

1」中误置

飞_观测值

相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为1,即用1/N表示。

对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示。例如，经纬仪导线测

量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限误差；而

在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、

中误差、极限误差等均称为绝对误差。

例：用卷尺丈量200nl和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm,问二

者精度是否相同？

思考：对于中误差相同，但是角值大小不等的情况，其精度怎样？

(4)平均误差

1)平均误差：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学

期望称为平均误差。

设以。表示平均误差，则有：

"网的=_[：阈/⑻必

如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为

n

由于观测值的个数〃总是一个有限值，在实用上也只能用6的估值来衡量

精度，并用后表示e的估值，但仍然简称为平均误差。则：

2)平均误差与中误差的关系：

[24反5

6=.J—cr«0.7979cr«—aCF=J—6私1.2536郊—8

、兀5.V24

(5)或然误差

1)随机变量x落入区间g力)内的概率为：

P(a<X<6)=j/⑶dx

对于偶然误差△来说，误差△落入区间3与的概率为：

第10页

P(a<A<8)=，/(△)必

或然误差：观测误差出现在正、负或然误差区间内的概率为1/2。即

⑷处=1

用误差的概率分别曲线表示为：

■/(A)

2)或然误差与中误差的关系

将△的概率密度代入上式，并作变量代换，令

A〃，

—=£,△=ot,dL—odt

CT

则得：

单⑷必=2/徐力弓

由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限为0.6745,即得

0,6745crss—crcr«1.4826p«—p

实用上，因为观测值个n是有限值，因此也只能得到。的估值况但仍简

称为或然误差。获取方法：一是将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值

的大小排列，当n为奇数时，取位于中间的一个误差值作为白，当n为偶数时,

则取中间两个误差值的平均值作为白。二是先求出中误差的估值，然后按二者

之间的关系式求出或然误差力。

［教学提示］:以上几种误差虽然都用“误差”二字，但是都是用来表达精

度大小的，不可与观测误差混淆。另外以上几种指标中，最常用的是中误差。

4、测量不确定度

测量数据的不确定性、不确定度的概念，及计算方法。

5.小结

衡量观测质量好坏的标准分为精度指标、准确度指标和精确度指标三种，

其中精度是衡量偶然误差影响程度的指标。衡量精度标准的方差、极限误差、相

对误差几个指标应重点掌握。

四、作业

无。

第11页

第三讲方差-协方差阵及其传播律

一'教学目标

1.熟记协方差传播的规律

2.掌握传播律公式的应用方法

二'重点与难点分析

重点：协方差传播律及其应用

难点：协方差传播律及其应用

三、教学内容与教学过程

［教学提示］:回顾上节课学习的内容

1.数学期望和方差的回顾性学习

（1）数学期望及其传播

（2）方差与协方差

1）方差的特性

2）协方差及相关系数

Dxy=£［（x-E（x））（y-£（r））］；

X,Y相互独立时，Dxy=Dyx=0;

二维随机变量的协方差：^=^=Hm-［AxA7］;

及—>00"

A1

当观测数n有限时，则=-［AvAJ

3）协方差阵与互协方差阵及其特点

a.协方差阵：设有n维随机变量X,描述其精度的方差阵为

%2,••6“

。21%”

DXX-

b“2•,•卢

方差阵Dxx也称方差一协方差阵，它是描述观测向量的精度指标，不仅给出

了各观测值的方差，还给出了两两观测值之间的协方差即相关度。

当6尸0时，表示两向量互不相关，若两向量为正态分布，则表示相互独立。

当n位随机向量中任意两变量均互相独立时，此方差阵变为对角阵。

b互协方差阵：如果有两组观测向量X和Y,并记为

第12页

X

z=

Y

则Z的协方差阵为:

DXY

D

zzLADyy

其中Dxx和DYY分别为X和Y的协方差阵，而DXY为X关于Y的互协方差阵。

2.协方差传播律

设有观测值向量1=11L2L3『的方差阵为

「32r

DLL=242

123

1)试写出各观测值的方差以及协方差；

2)若有函数F=L1+L2+2L3-23,则该函数F的方差又如何计算？

(D引入：观测值线性函数的误差传播律(经典误差传播律)

Z—k[X]+左2*2+…+knxn+k0

21221,2A2..r2A2

(y7=h+左2+...+左〃Ar

例：设一个平面三角形，观测了两个内角a、P，则第三个内角/可表示为直接

观测角的函数形式

7=180。—(a+，)

现已知仁=36,%=40’且观测a、p时相互独立，求/的中误差。

经典误差传播律要求观测值间必须两两独立，而且不能同时求出多个函数的方

差及他们之间的协方差，应用时具有其局限性，所以下面介绍协方差传播律。

(2)观测值线性函数的协方差传播律

1)已知观测向量X,协方差阵为Dxx,现有观测向量X的函数为Z

N=[X“X2，..X,』T,D",Z=KX+K0

n,i1,1i,nn,i

T

那么：Dzz=KDXXK

证明：

%=E[(Z—E(Z))(Z—E(Z))[

=E\(KX-KE(X))(KX-KE(X))[

=E[K(X-E(X))(X-E(X)¥KT]

=KE[(X-E(X))(X-E(XW]KT

T

=KDXXK

第13页

举例：例3-6

2)多个观测值线性函数的协方差

已知观测向量X、Y,现有观测向量的函数为Z,F,G

4=[X],X2，..X"T,D,

n,lXX

Z=KX+K0

t,\t,nn,l(]

F=AX+A0

m,\m,nn,lm1

G=BY+B.

k,lk,lI,l肃

则:

T

D7F—KDYYA

ZrAA

1

DF7rZ=ADAAYYK

DFG=ADxyB，

DGF=ix"

举例：例3-7

（3）非线性函数误差的传递

设有观测值X的非线性函数：

Z=f（X）=f（X1,X2,-Xn）

求Dzz

首先利用泰勒级数展开，进行线性化：

z=/（x：,x；,..X）+

（去）o（x「X：）+（?）o（X2-X。）+…（/）o（X“-X：）

dXldX2dXn

+（二次以上项）

z=/（x°,x。,…x；）+

令：K=（m，…3［（焉）。,（给。…（勖。］

则：2=也,#2,…k〃]X、+ko=KX+ko

第14页

T

D^z=KDXXK

举例：例3-8.例3-10。

解题步骤为：a列函数式，b线性化，c应用协方差传播公式计算坐标方差，d

计算点位方差。

3.协方差的传播率的应用

①.水准测量的精度

具有N个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差中误差计算

公式：

&h=疯7站

进一步导出S公里观测高差的中误差计算公式：

②.同精度独立观测值的算数平均值的精度

由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式

例：Sab=100m,丈量4次平均值的中误差为2cm,若以同样精度丈量CD16

次，Scd=900m,求两段距离的相对中误差。

4.小结

协方差传播律是观测值（向量）与其函数（向量）之间精度传递的规律，用其解决

观测值函数（向量）的精度评定问题。本节重点是利用协方差传播律解题的方法

和步骤，以及协方差传播公式的应用。

四、作业

无。

第15页

第四讲权与单位权中误差的计算

一、教学目标

1明确权、单位权中误差的含义及权的性质

2.掌握定权的常用方法

3掌握单位权中误差的计算方法

二、重点与难点分析

重点：权的定义式；定权的常用方法，单位权中误差的计算

难点：无

三'教学内容与教学过程

1.上节内容回顾

学生回顾

2.权的定义和性质

（1）权的定义

引入：衡量精度的指标，其中四种都是绝对误差，为了工作方便，需要引入

一个新的指标一一权。

方差是表征精度的一个绝对指标，方差之间的比例关系也可以比较各观测值

之间的精度，而表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称为权，它是相对指

标。

权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值，可用来衡量观测值的

精度。

2

25

Pi为观测值Li的权，气是可以任意选定的比例常数。

观测值的权与观测值的方差成反比。

（2）权的性质

1）权是相对性指标；

2）权与中误差的平方成反比，权越大表示观测值越可靠；

3）权的大小变化，但是权之间的比例关系不变；

4）当一组观测值的精度相等时，为等精度观测，也是等权观测。

3.单位权方差

权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，

只能用同一个。0，

令。i=。o，则得：

22

P=晋=警=1

GiO（）

第16页

_2

上式说明b。是单位权（权为1）观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等

丁2k2

于0。的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。无论0。取

何值，权之间的比例关系不变。

例：在图1-5中水准网中，也、%、饱、%是各路线的观测高差，跳=10日、

5=2.0hn、&=40碗、&=8.0热是水准路线的长度，在认为每公里观测值高

差的精度相同的前提下，我们就可确定各条路线的权，而且不需要知道每公里观

测值中误差的具体数值。

,=S].bg■里，丐=身£7公里，气=必）公里，°"4=S4b公里

令：加=封，按权的定义各路线观测值的权为

px—1.00,p2=0,50,p3=0.25,/?4=0,125

又令：加二封，按权的定义各路线观测值的权为

Pj=8.00,p2=4.00,%=2.00,p4=1.00

水准网中的所有水准路线都是按同一等级的水准测量规范的技术要求进行观

测的，一般可以认为每公里观测高差的精度是相同的。对于不同的云得到的观测

值的权是不相同的，通过权的大小可以反映各观测高差的精度高低。对于一组已

知方差的观测值而言：权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不

在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。

4.测量中常用的定权方法

（1）水准测量的权

①用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）

利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数定权的公

式。

②用路线长度定权（平地）

利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线长度定权

的公式。

第17页

Ph=l

（2）距离量测的权

距离长度可通过钢尺丈量或测距仪测距得到。下面分别讨论两种情况下的定

权方法。

①钢尺量距的权

Ps=f

②测距仪测距的权

6

bs=o'标称+o'标称S-10

（3）等精度观测算术平均值的权

利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导出利用观

测次数定权的公式

尸S哈

X---

（4）不同精度观测值加权平均值的权

设有一组独立观测值，将每个观测值的权设为Pi,观测值的加权平均值的权

为：

p

px=[F]=S,

5.单位权中误差的计算

（1）.由真误差计算中误差

设观测值为Li,i=l,2,…，n；数学期望为u,观测的真误差为△，，并且L,

△，服从正态分布，

（1）等精度观测的情况下，单位权中误差估值为：

人人/[AA]

（2）不等精度观测的情况下，单位权中误差估值为：

（2）.由改正数计算中误差

在进行n次观测时，求得观测值的改正数V=[vlv2…vn]T之后，进而

可求得中误差

（1）当n有限时，等精度观测的情况下，单位权中误差估值为：

第18页

此公式为白塞尔公式

（1）若是不等精度观测，而且观测对象不止一个而是t个的情况下，单位权中

误差估值为：

（3）.由三角形闭合差计算测角中误差

设在一个三角网中，以同精度观测了所有三角形的内角，其角值为处,夕,，九

（i=l,2,…，n）,当n有限时，可得三角形内角和的中误差估值为

当三角形观测时，每个内角的观测中误差相等，且各观测角之间相互独立，则每个内角

的观测中误差可表示为

此公式成为菲列罗公式。

例：对一三角形的三个角进行了九组同精度的观测，各组观测值是对各角分别

观测四回的平均值，得到三角形闭合差为：

+2.5'-1.5"-3.5"+3.5"—2.5"—0.5"+5.5'+2.5'—2.5'

经检验，各闭合差包含有系统性的常误差+0.5''

1）、求这组闭合差的中误差；

2）、各角观测值的中误差；

3）、每测回观测值的中误差

解：1）由于包含系统误差，故偶然误差为：

+2.0"—2.0"-4.0〃+3.0"—3.0"—1.0"+5.0"+2.0"—3.0"

2[AA]81八

%

n9

则这组闭合差的中误差为

er=+3"

2）由于

2c2

3=3crL

所以

第19页

3）由于

2_12

=W°■一测回

所以

b—测回=±207=±2A/3

（4）.由双观测值之差计算中误差

对n个同类量各观测两次，每个观测对的真误差为A,=0—（L；—L；）=—4,

观测对之差的权倒数为：

Pd,

观测对之差的单位权中误差为

对于单个观测值而言，其中误差为

第i个观测对的平均值的中误差为

当所有观测对为等精度是，其单位中误差为

%

举例：例3-15。

6.小结

权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计算方便任意选

定，但观测值之间的比例关系不变。水准测量的权与测站数或路线长度成反比；

钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定义式计算，其中测距方差由

固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平均值的权与观测次数成正比。应熟

记定权公式，明确公式中各符号的含义，掌握利用公式解题的方法。

单位权中误差可由真误差，改正数，三角形闭合差以及双观测之差进行计算,

熟练掌握四种计算公式及方法，并可熟练进行应用。

四、作业

第20页

第五讲协因数阵及其传播

一'教学目标

1掌握协因数及其与权之间的关系

2了解协因数阵和权阵

3掌握协因数的传播律

二'重点与难点分析

重点：协因数阵的传播律

难点：协因数传播律

三、教学内容与教学过程

［教学提示］:回顾上节内容

1.协因数与协因数阵

（1）协因数

设有观测值Li和Lj,它们的权分别为2和吃，它们的方差分别为b；和巴一,

它们之间的协方差为5,单位权方差为b02

[2Y22

匚二，Q.3

“2，上!/2

Pj4%

称27为L,的协因数或权倒数，Q”.为乙的协因数或权倒数，Z为4关于4

的协因数或相关权倒数。由上可知，观测值的协因数。”和0,与方差成正比，而协

因数&与协方差成正比。协因数与权有类似的作用，它们是比较观测值精度高低

的一种指标；而协因数是比较观测值之间相关程度的一种指标，我们可以利用这

种指标来证明随机向量间的相关或不相关。

（2）协因数阵

设有观测值向量（或者是观测值函数向量）X和Y,它们的方差阵分别为Dxx

和DYY,X关于Y的互协方差阵为DXY,单位权方差为5/。

州262,••丹“02，"Qin

Q21Q22Qin

。2102n2

Dxx=—名

，

b“2•­•bQnlQn2,"Qnn

令

211212…Qin

GQ2IQ22Qin

XX=••

即

第21页

Dxx=气Qxx

则QXX称为观测向量X的协因数阵，也叫权逆阵。同理

2

DXY=aoQXY

则Qxy称为观测向量X关于Y的互协因数阵。

衡量两个随机变量X,Y之间相关程度的相关系数可以用协因数来进行计算,

有

a

xyQXy

P=--

QXXQyy

（3）权阵

用Pxx,表示观测值向量X的权阵，则定义为

Pxx=Qxx

注意权阵P与权Pi是两个不同的概念

2.协因数传播律

（1）引入：

例1：

T2-1

T]

L=RL2],QLL=[3求PLP2

—1

解：Pi=l/2P2=l/3

例2：

321

T

L=%L2L3],PLL=242,求Pl,P2

123

2-10

-1

解：QL七-12-1

4

0-12

PI=P2=2

例3：已知

X=[X]x2X,了,Y^FX+F0

如何求Qyy?

（2）协因数传播律

已知随机向量的协因数阵，求函数的协因数阵，称之为协因数传播律。

1）线性函数的协因数传播（广义传播）

第22页

Z=KX+%

W=FY+F0

x的协因数阵°亚，y的协因数阵Q",x关于F的互协因数阵为。势

,太、及。、F、稣为常系数阵。

Qzz=KQXX&T

Qww-

Qzw=KQm'

Qwz~FQy*及r.

［教学提示］:与协方差的公式进行对比

2）非线性传播

如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数

附力1肉,乙,…,匕）一-九（"，•••£）-

&（£］名，跖加氏3…Z）

Z=,W==

z一_力因名，…&）一用一源"名，•••，4）_

先利用泰勒公式进行展开，将函数线性化，求Z和W的全微分，得

dZ=KdX

dW=FdY

式中

迄/_翳［

阳

dY

吗因现2西

陇

组2..法2缶e加

及

=密

K珥常F=阳吗叱

啊石Wr

西［亚叱」

dX吗

2a

则z、取的协因电阵°”公犷等按协因数传播律计算。

对于独立观测值假定各A的权为月，则上的权阵、协因数阵（权逆阵）均

为对角阵

0...o

Qn0•••0'

P10■■-0~

0022,■•00X...o

0P2,••0Qu=

々=

_00■,,Qnn.00

_00•,,Px--%_

第23页

设有函数：Z=，@\工如…,L。

全微分得1嗫叫+粉犯

+…+-jdLK=KdL

运用协因数传播律得

-守

一

一

oo一

西

里

之之oO

=殂

隔殂

^3…

OO里

西

■一

-

11

—十---F••,+

PlP2

例：设有函数:

x的协因数Q我，y的协因数Q”，x关于y的互协因数阵为。毋(。以=0%),、

%＞、F、稣为常系数阵。

求：QTL、。犷K。上、Qss、。依、QTX、Qn

(1).计算Qzz、QW2

Qzz=,Qww=,Qzw-KQXYF，

(2).计算Qss

Qzz