《843因式分解方法的综合运用》课件沪科版级下册

8.4

因式分解第8章【整式乘法与因式分解】8.4.3——因式分解方法的综合运用初中数学新授课ababa²b²（a+b）²abab+=+1.能够熟练掌握提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式)进行因式分解，提高因式分解的综合运用能力；2.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤并解决问题；3.了解并掌握x2+(p+q)x+pq型式子进行因式分解的方法；4.经历观察、分析、探究等过程，发展学生的逻辑思维和逆向思维能力.那么，四项或大于四项的该怎么分解?问题1：填一填：(1)ma+mb=

.(2)(a+2)2-1=

.(3)1+6x+9x2=

.m(a+b)(a+3)(a+1)(1+3x)2

问题2：我们学过的关于因式分解的方法有哪些?方法一：提公因式法；

方法二：运用公式法：两项——平方差公式

三项——完全平方公式探究提公因式法与公式法的综合应用合作探究：1.小组合作充分讨论；2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；3.讨论时间3分钟.把下列多项式分解因式：(1)ab2-ac2；

(2)3ax2+24axy+48ay2.把下列多项式分解因式：(1)ab2-ac2；

(2)3ax2+24axy+48ay2.(1)中有公因式a，应先提出公因式，再利用平方差公式进行分解.解：(1)ab2-ac2=a(b2-c2)

=a(b+c)(b-c)提取公因式.用平方差公式.探究提公因式法与公式法的综合应用把下列多项式分解因式：(1)ab2-ac2；

(2)3ax2+24axy+48ay2.(2)中有公因式3a，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行分解.解：(2)3ax2+24axy+48ay2

=3a(x2+8xy+16y2)

=3a(x+4y)2提取公因式.用完全平方公式.

分解因式时，一般有公因式先用提公因式法进行分解，然后再用公式法最后进行检查.探究提公因式法与公式法的综合应用探究分组分解法分解因式合作探究：1.小组合作充分讨论；2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；3.讨论时间3分钟.把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay；

(2)a2+2ab+b2-c2.把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay；

(2)a2+2ab+b2-c2.对于式子(1)，通过分组，将前两项利用平方差公式分解，后两项提取公因式，发现它们都有公因式(x+y)，从而继续分解.解：(1)x2-y2+ax+ay

=(x2-y2)+(ax+ay)

=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)分组分解到不能再分解为止

若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.探究分组分解法分解因式把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay；

(2)a2+2ab+b2-c2.对于式子(2)，先将前三项作为一组，看作完全平方形式，然后与第四项构成平方差形式，继续分解.解：(2)a2+2ab+b2-c2

=(a2+2ab+b2)-c2

=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)分组利用平方差公式继续分解

因式分解有时需先分组,再利用提公因式法或公式法进行分解.探究分组分解法分解因式检查是否分解彻底，若没有则继续分解.一提考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式.二套看多项式有无公因式，若有应先提取公因式.因式分解的一般步骤：四查不能直接套公式时可适当变形整理.如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解.三分组探究拆项、十字相乘法分解因式合作探究：1.小组合作充分讨论；2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；3.讨论时间3分钟.在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？

探究拆项、十字相乘法分解因式在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？

方法一：拆分常数项，把3变成(4-1)，这个二次三项式可以变形为x2+4x+4-1，再利用公式法进行分解.解：x2+4x+3

=(x2+4x+4)-1

=(x+2)2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)拆常数项利用平方差公式分解因式还有其他方法吗？探究拆项、十字相乘法分解因式在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？

方法二：拆分一次项，把4x拆分成(3x+x)，这个二次三项式可以变形为x2+3x+x+3，再利用提公因式法法进行分解.解：x2+4x+3

=x2+3x+x+3

=x(x+3)+(x+3)=(x+3)(x+1)拆一次项分组，再提取公因式分解要彻底探究拆项、十字相乘法分解因式合作探究：1.小组合作充分讨论；2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；3.讨论时间3分钟.计算：(x+2)(x+3)=

.(x+2)(x-3)=

.(x-2)(x+3)=

.(x-2)(x-3)=

.观察上面等式，有什么特点？

探究拆项、十字相乘法分解因式计算：(x+2)(x+3)=

.(x+2)(x-3)=

.(x-2)(x+3)=

.(x-2)(x-3)=

.观察上面等式，有什么特点？

x²+5x+6x²x6x²+x6x²5x+6(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab反过来得到：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)因式分解利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.十字相乘法探究拆项、十字相乘法分解因式该类二次三项式，应符合如下特点:①二次项系数为1.①常数项ab可以看成a与b两个因数之积；②这两个因数a与b的和刚好等于一次项的系数.即，一个二次三项式x²+px+q，如果能够把常数项q，分解成两个因数a与b的积ab，且使a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式.即

x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)探究拆项、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式的步骤：1p1q1×q+1×p=q+p一次项系数你能利用这个方法把x2+4x+3分解因式吗？

(2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；探究拆项、十字相乘法分解因式你能利用这个方法把x2+4x+3分解因式吗？

根据十字相乘法的规律可尝试将上述多项式分解因式，这里一次项系数4=1+3，常数项3=1×3.解：x2+4x+3

=x2+(1+3)x+1×3

=(x+3)(x+1)1.常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同.

十字相乘法公式x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)把下列多项式分解因式：(1)16x4-81；(2)x4-2x2+1.解：(1)16x4-81

=(4x2+9)(4x2-9)

=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)(1)中先将16x4看作(4x2)2，81看作92，利用平方差公式进行两次分解即可。用平方差公式用平方差公式把下列多项式分解因式：(1)16x4-81；(2)x4-2x2+1.解：(2)

x4-2x2+1=(x2-1)2

=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2(2)中先将x4看作(x2)2，把式子看作关于x2的二次三项式，符合完全平方公式的形式，分解为(x2-1)2，然后对x2-1利用平方差公式分解，最后得出结果.用完全平方公式用平方差公式

因式分解结果不能有大括号和中括号，相同因式的积要写成幂的形式.已知a-b=3，b-c=-4，则整式a2-ac-b(a-c)的值为()A.-12B.-4C.-3D.3解：a2-ac-b(a-c)=a(a

c)-b(a-c)

=(a

c)(a

b)因为a-b=3，b-c=-4，所以a-c=-1.将a-b=3，a-c=-1代入得：(a

c)(a

b)=1×3=

3.故选：C.先将整式a2-ac-b(a-c)进行分组分解因式，然后由已知条件得到a-c=-1，代入计算即可.C无论x、y为任何值时，x2+y2-2x+12y+40的值都是()A.正数B.负数C.零D.非负数.

将多项式分组，利用完全平方公式分解因式，写成非负数的和的形式，再判断式子的取值范围即可.解：x2+y2-2x+12y+40=(x2-2x+1)+(