高三数学二轮复习第一篇专题突破专题七概率与统计刺第2讲概率文

第2讲概率1/29考情分析2/29总纲目录考点一

古典概率考点二几何概型考点三概率与统计综合问题3/29考点一

古典概型1.古典概型概率公式:P(A)=

=

.2.古典概型两个特点:(1)试验中全部可能出现基本事件只有有限

个;(2)每个基本事件出现可能性相等.4/29经典例题(山东,16,12分)某旅游兴趣者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧

洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包含A1但不包

括B1概率.解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能结果组成

基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家事件所包含基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,5/29则所求事件概率P=

=

.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能结果组成基

本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},

{A3,B3},共9个.包含A1但不包含B1事件所包含基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件概率P=

.6/29求古典概型概率方法正确列举出基本事件总数和待求事件包含基本事件数.(1)对于较复杂题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重不漏.(2)当直接求解有困难时,可考虑求出所求事件对立事件概率.方法归纳7/29跟踪集训1.(课标全国Ⅱ,11,5分)从分别写有1,2,3,4,55张卡片中随机抽取1

张,放回后再随机抽取1张,则抽得第一张卡片上数大于第二张卡片

上数概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D画出树状图如图:

可知全部基本事件共有25个,满足题意基本事件有10个,故所求概

率P=

=

.故选D.8/292.定义“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大自然数(如

123,568,2479等),任取一个两位数,这个两位数为“上升数”概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B两位数10,11,12,…,99共90个,其中十位数为1“上升数”

为12,13,…,19共8个,十位数为2“上升数”为23,24,…,29共7个,……,

十位数为8“上升数”为89,只有1个,则全部两位数中“上升数”

共8+7+6+…+1=

=36个,则这个两位数为“上升数”概率P=

=

,选B.9/29考点二

几何概型1.几何概型概率公式:P(A)=

.2.几何概型应满足两个条件:(1)试验中全部可能出现结果(基本事件)

有没有限多个.(2)每个基本事件出现可能性相等.10/29经典例题(1)(课标全国Ⅰ,4,5分)如图,正方形ABCD内图形来自中国古

代太极图.正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形中心

成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分概率是

()

A.

B.

C.

D.

11/29(2)(江苏,7,5分)记函数f(x)=

定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D概率是

.(3)已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB中点,则在此长方形内随

机取一点P,P与M距离小于1概率为

.12/29解析(1)设正方形边长为2,则正方形内切圆半径为1,其中黑色

部分和白色部分关于正方形中心对称,则黑色部分面积为

,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分概率P=

=

,故选B.(2)由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3],∴P(x∈D)=

=

.(3)如图,点P位于以M为圆心,1为半径半圆内部,由几何概型概率公

式可得所求概率为

=

.答案(1)B(2) (3) 13/29求解几何概型概率应把握两点(1)当组成试验结果区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,

应考虑使用几何概型概率公式求解.(2)寻找组成试验全部结果区域和事件发生区域,有时需要设出

变量,在坐标系中表示所需要区域.方法归纳14/29跟踪集训1.(甘肃张掖第一次诊疗)在区间[0,π]上随机取一个数θ,则使

≤

sinθ+

cosθ≤2成立概率为

.答案

解析由

≤

sinθ+

cosθ≤2,得

≤sin

≤1,结合θ∈[0,π],得θ∈

,∴使

≤

sinθ+

cosθ≤2成立概率为

=

.15/292.(云南第一次统考)若在区间[-4,4]内随机取一个数m,在区间[-2,3]

内随机取一个数n,则使得方程x2+2mx-n2+4=0有两个不相等实数根

概率为

.16/29答案1-

解析∵方程x2+2mx-n2+4=0有两个不相等实数根,∴Δ>0,即(2m)2-4(-n2+4)>0,m2+n2>4,总事件集合Ω={(m,n)|-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴Ω所

表示平面区域(如图中矩形)面积S=8×5=40,而满足条件事件集

合是{(m,n)|m2+n2>4,-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴图中阴影部分面积S'=40-π

×22=40-4π,由几何概型概率计算公式得所求事件概率P=

=

=1-

.

17/29考点三

概率与统计综合问题在统计与概率综合问题中,将对总体预计与概率进行综合,是

一类常见方式,将样本进行汇总,制成频率分布直方图与概率知识进

行综合命题也是一个经常考查方式.18/29经典例题(北京,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,依据男女

学生人数百分比,使用分层抽样方法从中随机抽取了100名学生,统计他

们分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到以下频

率分布直方图:

19/29(1)从总体400名学生中随机抽取一人,预计其分数小于70概率;(2)已知样本中分数小于40学生有5人,试预计总体中分数在区间[40,50)内人数;(3)已知样本中有二分之一男生分数大于70,且样本中分数大于70

男女生人数相等.试预计总体中男生和女生人数百分比.解析(1)依据频率分布直方图可知,样本中分数大于70频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70频率为1-0.6=0.4.所以从总体400名学生中随机抽取一人,其分数小于70概率预计为

0.4.(2)依据题意,样本中分数大于50频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=20/290.9,分数在区间[40,50)内人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内人数预计为400×

=20.(3)由题意可知,样本中分数大于70学生人数为(0.02+0.04)×10×100

=60,所以样本中分数大于70男生人数为60×

=30.所以样本中男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生

人数百分比为60∶40=3∶2.所以依据分层抽样原理,总体中男生和女生人数百分比预计为3∶2.21/29解答概率与统计综合问题两点注意(1)明确频率与概率关系,频率可近似替换概率.(2)这类问题中概率模型多是古典概型,在求解时,要明确基本事件

组成.方法归纳22/29跟踪集训(课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一个酸奶,天天进货量

相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出酸奶降价处理,以每瓶2

元价格当日全部处理完.依据往年销售经验,天天需求量与当日最高

气温(单位:℃)相关.假如最高气温不低于25,需求量为500瓶;假如最高气

温位于区间[20,25),需求量为300瓶;假如最高气温低于20,需求量为200

瓶.为了确定六月份订购计划,统计了前三年六月份各天最高气温

数据,得下面频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数21636257423/29以最高气温位于各区间频率预计最高气温位于该区间概率.(1)预计六月份这种酸奶一天需求量不超出300瓶概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶

一天进货量为450瓶时,写出Y全部可能值,并预计Y大于零概率.解析(1)这种酸奶一天需求量不超出300瓶,当且仅当最高气温低于

25,由表格数据知,最高气温低于25频率为

=0.6,所以这种酸奶一天需求量不超出300瓶概率预计值为0.6.(2)当这种酸奶一天进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.24/29所以,Y全部可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20

频率为

=0.8,所以Y大于零概率预计值为0.8.25/291.(天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差异),颜色分别为红、黄、

蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不一样颜色彩笔,则取出2支彩笔

中含有红色彩笔概率为

()A.

B.

C.

D.

随堂检测答案

C从5支彩笔中任取2支不一样颜色彩笔,有以下10种情况:

(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,

紫).其中含有红色彩笔有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),所以

所求事件概率P=

=

,故选C.26/292.某路口人行横道信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯连续时间为40

秒.若一名行人来到该路口碰到红灯,则最少需要等候15秒才出现绿灯

概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B行人在红灯亮起25秒内抵达该路口,即满足最少需要等

待15秒才出现绿灯,依据几何概型概率公式知所求事件概率P=

=

,故选B.27/293.(广西三市联考)已知函数f(x)=logax+lo

8(a>0,且a≠1),在集合

中任取一个数a,则f(3a+1)>f(2a)>0概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B∵3a+1>2a,f(3a+1)>f(2a),f(x)=logax-loga8,