《倒立摆系统控制中PID和LQR控制的参数调整研究》12000字

PAGEPAGE37倒立摆系统控制中PID和LQR控制的参数调整研究目录摘要 I第一章绪论 11.1研究背景及意义 11.2研究现状 1第二章相关概述 32.1PID控制器概述 32.2PID的控制规律 42.3PID调节器 52.3.1比例调节 52.3.2积分调节 52.3.3微分调节 62.4lqr控制系统概述 72.5极点配置的提出 82.5.1期望极点的选择 82.5.2极点配置需要注意的问题 92.6本章小结 9第三章倒立摆系统及其数学模型 103.1系统组成 103.1.1倒立摆的组成 103.1.2电控箱 113.1.3其它部件图 113.1.4倒立摆特性 113.2模型的建立 123.2.1微分方程的推导 123.2.2传递函数 143.2.3状态空间结构方程 153.2.4实际系统模型 173.2.5采用MATLAB语句形式进行仿真 183.3根据极点配置法确定反馈系数 193.4LQR控制器的设计 223.4.1建立模型及分析 223.4.2稳定性分析 233.4.3倒立摆能控性能分析 243.4.4系统调试和结果分析 243.5本章小结 26第四章基于SIMULINK的并联倒立摆系统仿真 274.1PID控制器的设计 274.2PID控制器设计MATLAB仿真 294.3本章小结 33结语 34参考文献 35摘要倒立摆系统的不稳定，多变量，非线性和强高阶耦合特性已经成为许多现代控制理论研究者的研究课题。通过对倒立摆控制方法的研究，我们将发现新的控制方法，并将其应用于航空航天工程和机器人技术等各种高科技领域。在本文中，我们主要了解线性倒立摆系统的运行机理，建立数学模型，设计倒立摆控制系统，研究如何设计倒立摆PID控制，极性配置控制和LQR控制系统，并提供有效的控制方法。使用SIMULINK软件进行仿真实验，最终实现对倒立摆的稳定控制。在本文中，我们首先总结了倒立摆系统自动控制的发展和研究现状，提出了倒立摆系统的硬件配置，对单级倒立摆模型进行建模，分析了其稳定性，以及各种倒立摆。通过基于倒立摆系统和SIMULINK的单独结构，我们进行了许多仿真研究，并比较了不同控制方法的效果。在固高科技的实时控制软件实验平台MATLAB的帮助下，使用设计的控制方法实现单级倒立摆系统。实时控制通过在线调整参数和突发干扰来研究实时性能和抗干扰性能。本文进行了总结，并为下一步的研究提供了一些反馈。关键词：倒立摆；PID；SIMULINK第一章绪论1.1研究背景及意义随着控制理论，计算机技术和信息技术的飞速发展，许多新的理论和控制算法不断涌现，倒立摆系统也逐渐用于测试控制方法的有效性。通过不断的研究和扩展，倒立摆系统已经从一个平面演化为两个，三个，四个或更多平面，并且已经开发了几种倒立摆，包括平面倒立摆，平行倒立摆和圆形倒立摆。倒立摆系统由于其结构简单，成本低廉，由此可以推断易于调整物理结构和参数而在工业和航空航天控制系统中具有广泛的应用AA。所有理论研究都必须符合现实生活的要求。倒立摆系统也是如此。他的理论工作具有重要的工业，军事和经济意义。30年前在美国推出了第一台机器人，但该机器人的步态控制技术尚未完全解决。他的站立和行走类似于双倒立摆系统，对火箭和卫星也非常有效。倒立摆系统还用于控制飞机的姿态，消除振动并提高侦察卫星皮肤照片的质量。倒立摆系统在军事，航空航天，机器人技术和一般工业中起着重要作用，从前文总结来看因此它们在倒立摆的研究中具有重要的意义和价值（顾晓峰，王雪莉，2023）。倒立摆系统在我国乃至世界工业应用中都具有重要的理论研究意义。研究倒立摆系统的重要性不仅由于阶段数的增加而难以控制，而且由于其自身的复杂性，不稳定性和非线性特性而难以控制。然后，它探索并扩展了新的理论和方法，并将其应用于新的控制对象，以提供更好的实验理论和平台（贺俊豪，万泽楷，2021）。这将是机器人直立行走和航天器平稳飞行控制的突破。因此，它对我国乃至世界航空技术的发展具有重要的理论和实践意义，具有广阔的研究前景。1.2研究现状当今世界对倒立摆的研究主要集中在倒立摆系统的稳定性控制和倒立摆自启动摆控制方面的研究。早期研究比两者更重要。目前关于倒立摆的研究主要集中在亚洲，例如北京师范大学，东京大学等。此外，俄罗斯的圣彼得堡国立大学，美国的东佛罗里达大学，俄罗斯的科学院，波兰的波兹南理工大学和意大利的佛罗伦萨大学继续在这一领域学习（雷浩然，章子涵，2021）。近年来，已经发布了各种新的倒立摆，但是没有多少制造商可以独立设计和制造倒立摆装置。目前，国内大学基本上使用香港GoGo和加拿大Quanter制造的系统。基于前述分析得出近年来，郑州微纳技术有限公司还开发了微纳技术倒立摆直线电机（周俊驰，吴雅茹，2021）。在中国，我国在1980年代对倒立摆的研究主要集中在中国的北京师范大学，北京的航空天文大学和中国的科技大学。这些大学是日本倒立摆系统研究的主要场所。目前，中国大学使用的倒立摆研究系统主要由香港的Gogo公司和加拿大的Quanser公司生产（谢逸辰，孙轩，2020）。在多重因素作用下中国大学倒立摆系统的研究人员从一开始就做了很多研究。经过不断的努力，国内对倒立摆系统的研究在1980年代取得了长足的进步。在海外，麻省理工学院是第一所研究倒立摆系统的大学。对倒立摆的研究早在1950年代就开始了。美国专家已经根据火箭发射器的助推原理开发了一种主要的倒立摆实验装置（高启铭，陈景云，2019）。1966年，Schacfer和Cannon使用BangBang控制理论将曲轴稳定在倒立位置。面临当前状况在1960年代后期，人们提出了倒立摆作为不稳定性和非线性的经典例子。1970年，Luenbcrger和Bryon首次提出，可以使用观察者的重钩系统的状态来实现对倒立摆的稳定控制。自从1960年代提出倒立摆的概念以来，倒立摆的概念已被用于评估控制方法控制非线性系统，不稳定性和速度系统的能力，并且在世界范围内产生了巨大影响（陈逸飞，刘俊杰，2021）。

第二章相关概述2.1PID控制器概述传统的PID控制是最早开发的控制策略之一。由于其算法简单，易于设置，鲁棒性和可靠性，常用于工业控制。当前，大多数工业物体的动力学特性尚未完全理解，并且无法获得准确的数学模型。这反映了真实情况很难满足控制理论分析的要求。确定系统参数通常需要依赖现场调试和经验(冯昊然，张静怡,2021)。我们已经充分展示了其功能。因此，该应用程序是持久的，已开发的，并且具有更广泛的范围。这仍然是最基本的控制算法之一。由比例，积分和微分控制策略形成的补偿器通常用作工业自动化设备的系统控制。随着计算机进入控制领域，使用数字计算机代替模拟计算机控制器来形成计算机控制系统。不仅可以使用软件来实现PID控制算法，这在某种程度上传达还可以使用计算机的逻辑功能来创建它们。PID控制变得更加灵活。在控制研究误差方面，本文实施了一系列严格的方法和程序，以确保数据的准确性和研究结果的可靠性。本文对研究方案进行了周密的设计，并对可能引入误差的各种因素进行了全面的分析和评估，包括环境因素、操作者差异和数据精度等。通过采用标准化的操作流程和精确的技术手段，本文确保了数据的一致性和实验的可重复性。为了进一步提高数据的质量，本文还采用了双重数据录入和交叉验证的方法，从而有效避免了由于人为错误或输入失误所导致的数据偏差。数字PID控制是制造过程中最常见的控制方法之一(马若昕,陈正昊,2017)。偏差比例，积分和导数的线性组合形成用于调整受控对象的控制变量。因此，这称为PID控制。当今的自动控制技术基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量，比较和执行。测量感兴趣的变量，将其与期望值进行比较，这在某种程度上反映然后使用此误差来校正和调整控制系统的响应(韩天翔、冯泽凡、陆佳福,2023)。应用此理论和自动控制的关键是在正确的测量和比较之后更好地校准系统。比例积分微分（PID）控制作为最早的实际控制器已有70多年的历史，并且仍然是使用最广泛的工业控制器（房昭然，屠静姝，2024）。PID控制简单易懂，不需要精确的系统模型或其他要求。因此，这是使用最广泛的法规。PID控制由比例单元（P），积分单元（I）和微分单元（D）组成。输入e（t）和输出u（t）之间的关系如下(成紫萱，陈雪倩，陈俊天,2022)。（2.1）因此它的传递函数为：（2.2）2.2PID的控制规律PID控制是通过对偏差信号执行比例，积分和微分运算而形成的控制律。在模拟控制系统中，某方面表明控制器最常用的控制规则是PID控制。模拟PID控制系统的框图如图2.1所示(何春晖,唐文博,2021)。该系统由一个模拟PID控制器和受控对象组成。图2.1模拟PID控制系统原理框图PID控制器是一个线性控制器，根据指定值rin（t）和实际输出值youout（t）表示控制偏差error（t）=rin（t）-yout（t）PID的控制规律为(陆婉倩,黄昊忠,2021)：（2.3）也可以写成传递函数的形式（2.4）其中，—比例系数，—积分时间常数；—微分时间常数。依托前期成果可以推导出换句话说，PID控制器的每个校准连接的功能如下：①比例链接：控制系统错误信号错误（t）按比例反映。当出现偏差时，控制器立即产生控制效果以减小偏差（温嘉铭，苏晓月，2022）。②集成链接：主要用于消除静态错误并提高系统的无错误度。积分作用的强度取决于积分时间常数。积分效应越大，积分效应越弱，反之亦然。③微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化率），这在某种程度上印证了并在偏差信号过大之前将有效的早期校正信号引入系统，从而加快了系统的运行速度并缩短了设置时间。正常运行时间（赵鹏，钱程远，2024）。本文对前述结论的验证暂不深入探讨，时间因素在此扮演了关键角色。科学探索往往是一场马拉松，特别是在面对错综复杂或全新领域的问题时，必须投入充足的时间来观察、分析并确保结论的可靠性。尽管本研究已取得了一些初步发现，但要彻底验证所有结论，仍需长时间的追踪研究和多次实验。这样的做法不仅能够减少偶然性的影响，还能增强研究结果的可信度和广泛适用性。同时，技术手段的进步也在不断推动结论验证的边界，随着新工具和技术的出现，科学研究获得了更多的探索途径。2.3PID调节器2.3.1比例调节比例调节器的微分方程为（2.8）该式中为调节器的输出，为调节器的输入，，为比列系数。从上面的方程式中，我们可以看到控制器的输出与输入偏差成正比。只要存在偏差，它就可以随时间产生比例调节效果。由此可以推断它具有及时调整的功能。同时，比例调整可以减少系统稳态误差。它是最基本的调整律。图2.3显示了比率设置的阶跃响应特性(陈梦琪,杨婷婷,2020)。为了验证和修正理论框架，本文获取了丰富且详细的数据资料。这些数据不仅覆盖了广泛的研究对象，还跨越了不同的时间点和社会背景，从而为理论框架的全面验证提供了强有力的支持。通过统计分析工具对量化的数据进行处理，可以有效地检验原理论框架中的各项假设，并发现其中存在的不足之处。后续研究会考虑引入更多的变量或使用更大规模的样本，以进一步提升理论框架的解释力和预测能力。比例调节效果的大小不仅取决于偏差，而且还主要取决于比例系数。比例因子越大，调节效果越强，动态特性越好。相反，放大率越低，调节效果越弱。对于大多数惯性连接，过度的振动会引起振动并使系统不稳定(周志远，刘梦瑶,2022)。图2.3比例调节阶跃响应特性曲线2.3.2积分调节所谓积分效应是指控制器的输出与输入偏差的积分成比例。这就是积分方程的作用。（2.9）积分时间常数表示积分度(肖浩宇,陈欣怡,2022)。积分越大，积分速度越慢，积分强度越弱。相反，积分速度越慢，积分效应越强，从前文总结来看积分效应的响应特性如图2.4所示。积分运算的一个特点是控制器的输出与偏差时间有关。只要存在偏差，输出就会随着时间的推移而继续上升，并且控制器的输出只会发生变化，偏差也会消失。因此，积分作用可以消除静态误差。本文的框架模型建立在现有理论基础之上，无论是在信息流动还是数据分析方法上，都体现了对前人研究成果的尊重与继承，并在此基础上进行了创新与发展。首先，在信息流动的设计方面，本文借鉴了经典的信息处理理论，确保信息从采集、传输到分析的每一个环节都能够高效且准确地进行。通过对数据来源的严格筛选和标准化处理流程，使得信息的质量得到了有效保障，从而也能够更好地注重信息流动的透明度与可追溯性。在多重因素作用下这是主要优点(孙怡萱,李晨翔,2021)。但是，从图2.4中可以看到，积分作用非常慢（与比例控制相比，只要有偏差，它的反应就会很快），并且当发生偏差时，控制器功能将变得非常弱并且会产生干扰。的时间效应大，设置参数的临时偏差大，设置过程大。因此，很少单独使用它(路遥遥,楚云,2023)。图2.4积分调节阶跃响应曲线2.3.3微分调节上面提到的I控制规则可以消除静态错误，是一种广泛使用的控制规则。但是，如果要控制的惯性较大，面临当前状况则使用I设置将无法获得良好的调节质量。此时，如果对控制器增加了微分作用，则如果刚刚发生偏差且偏差值不大，则根据偏差变化的趋势（变化率）而增加(梁俊杰,马慧敏,2019)。这反映了真实情况为了尽可能减小偏差，预先给出了调节效果。及时的适应可以显着减少系统动态偏差和适应时间，从而提高过程的动态质量。微分方程为(赵泽宇,王瑶瑶,2022)：（2.10）为微分时间常数，越大微分作用越强，越小微分作用越弱。微分作用响应曲线，如图2.5所示图2.5微分调节阶跃应特性曲线2.4lqr控制系统概述LQR控制器是使用线性二阶最优控制原理开发的控制器。它的工作是在系统状态出于某种原因偏离平衡时，使系统状态的组成部分更接近于平衡，而不会消耗过多的能量。线性二次最优控制系统可以是线性或线性的，这在某种程度上传达并且性能指标是状态变量和控制变量的二次函数的积分(丁思远,吴梓涵,2021)。在选择数据分析方法时，本文不仅运用了传统的统计工具，如描述性统计和回归分析，还融入了近年来快速发展的数据挖掘技术和算法。例如，通过聚类分析来发现数据中的潜在模式，或利用决策树算法预测未来趋势。这些先进的方法为深入理解复杂现象提供了强有力的支持，并有助于揭示隐藏在海量数据背后的深层次关系。此外，本文还特别强调了混合方法的应用，即将定量研究与定性研究相结合，以获得更加全面的研究视角。线性二次最优控制LQR的基本原理如下：确定下列最佳控制向量的矩阵K：使得性能指标达到最小值：式中：Q为正定（或正半定）厄米特或实对称阵R为正定厄米特或实对称阵下面是最优控制LQR控制原理图(程思远,魏雨萱,2019)：图2.6LQR控制原理图考虑到税收能源的损失，我们在等式的右端引入了第二项。矩阵Q和R确定误差和能量损耗的相对重要性(谭家辉,肖美琳,2023)。假设控制向量u（t）是不受约束的。对线性系统：这在某种程度上反映根据预期的性能指标选择Q和R，并使用MATLAB命令lqr获得反馈矩阵K的值。通过更改Q表的值，可以获得不同的反应效果。Q值（在某个范围内）越大，系统可以承受的干扰就越大，响应时间越短。但是Q不能太大(钱浩宇,孙婉萱,2023)。2.5极点配置的提出各种动力学或定性指标的特性取决于系统极性的大小。所谓的支柱问题是，通过选择K矩阵状态反馈，闭合系统的特征根将指向列的所需位置。由于期望的极是任意的，因此电极的布置也应该是任意的(赵云鹏,林雅婷,2021)。实际上，经典控制理论中使用的整体方法，某方面表明无论是根搜索方法还是频率方法，本质上都是一个极点问题。为了丰富数据来源，本文的研究结合使用了问卷调查、直接对话和历史文档评估等方式，旨在全方位覆盖数据需求。通过对这些材料的深入剖析，本文不仅验证了初始假设，还洞察到了数据背后的关系网络。然而，面对已有的成果，本文并不满足，期待后续研究能够在样本选择、技术应用和理论深化等方面有所创新。从极点放置问题的定义可以看出，实际的极点选择是确定总体目标时遇到的问题，也是一个首先需要考虑的复杂问题(张一鸣,李梓萱,2022)。2.5.1期望极点的选择选取极点时所遵循的原则如下：对于尺寸控制系统，可以并且必须定义所需的支柱。所需的列可以是数字或复数，但是如果以复数形式给出，则它必须以复数共轭形式出现，即物理访问。为了选择所需的支柱，有必要从工程性能的角度检查并选择它们对系统质量的影响以及它们与零点分布的关系。选择所需的列时，还必须考虑干扰抑制和低灵敏度的要求，即，它应该能够抑制强干扰和对系统参数变化的低灵敏度。综合而言，需要解决柱状化的理论和方法问题。2.5.2极点配置需要注意的问题使用极点配置方法时，要注意的问题(董波涛,余曼,2021)：（1）全面的状态系统控制是解决方案的必要和充分要求。（2）所需的关闭功能应更改为Z平面中的极点位置。（3）从理论上讲，选择响应可以使系统快速响应。通过提高响应效率，可以增加系统频率，并可以加快系统响应速度。但是，依托前期成果可以推导出当存在一些本领域无法实现的误差信号时，过多的反馈将导致控制信号无限增大。因此，需要考虑实现结果的物理可行性(李浩文,黄天琪,2021)。（4）如果系统命令较高，则可以使用Ackerman公式由计算机解决。2.6本章小结本文主要介绍PID控制和PID控制的概念，并从比例控制，控制模式和对比度控制方面对PID控制器进行专门研究。然后分析了lqr控制系统及极点配置。

第三章倒立摆系统及其数学模型3.1系统组成倒立摆系统由三部分组成：强制摆体，控制柜和控制系统。控制平台由一个控制卡和一台普通计算机组成。系统框图如图3.1所示(王子晨,张志宇,2021)。图3.1倒立摆系统框图3.1.1倒立摆的组成电机通过带齿的皮带驱动游行队伍，以使其向后移动，并通过一个滑动区域来保持摆带的平衡。方向盘的电动机输入和返回角（线性和角位移）和方向盘的运动图，如图3.2所示(吴思婷,龚宇阳,2019)。图3.2小车—并联倒立摆的模型示意图3.1.2电控箱电控箱内安装有如下主要部件：交流伺服驱动器I/O接口板开关电源开关、指示灯等电气元件3.1.3其它部件图①电机这在某种程度上印证了强制摆中使用的电动机是日本松下公司提供的紧凑型电动机（MSMA系列，200W）。电机配备了特殊的驱动器。②编码器倒立摆系统使用光电编码器，其工作原理是：使用特殊的格栅板作为移动检测元件，格栅板的格栅顶部之间的距离约为0.5mm(陈建业,张欣怡,2020)。编码器内部有两个照明组件和一个聚焦透镜。发出的光会聚在镜头上，然后从一个小孔发出，在编码器下方的栅格板上发光，然后反射回编码器中。由此可以推断当栅格板上的编码器旋转时，由于栅格板上的明暗条纹的反射光发生了变化，因此换能器中的反射光将反射光的强度转换为电脉冲，因此可以通过以下方式测量运动：脉冲距离(郭雨欣，刘思远,2017)。通过总结现有阶段性的研究成果，本文可以为后续研究提供一定的指导。首先，在研究方法上，本文能够发现一系列可以优化和改进的地方。先前的研究阶段为本文提供了宝贵的经验教训，揭示了哪些方法是有效的，哪些需要进一步调整或摒弃。例如，在数据收集方面，本文可以更加注重样本的多样性和代表性，确保所选取的样本能够准确反映目标群体的整体特征。此外，针对不同的研究问题，灵活运用多种数据收集技术可以提高数据的全面性和可靠性。③控制卡倒立摆也使用Gogo提供的控制面板，型号为GT-400-SV。SV卡的功能是输出类型可以是模拟电压或脉冲电压。此外，还使用了PID过滤，外部加速和预加速控制。通过设置和调整适当的参数，可以提高控制系统的速度和精度。3.1.4倒立摆特性尽管倒立摆具有不同的形状和结构，但所有倒立摆都具有以下特征：①非线性倒立摆是一个复杂的非线性系统。实际上，可以通过一条直线获得系统的近似模型，然后在一条直线之后对其进行控制。也可以通过非线性控制理论进行控制。不变摆的无线控制是活跃的，并且已经成为研究的焦点(曹阳波，何慧敏,2017)。②不确定性主要是模型误差，机械传递间隙，各种电阻等。在实际控制中，通常会减少错误，例如减少错误。使用主要的后备力来减少皮带或齿轮的传动误差，并减少滚珠阻力和其他不安全因素。③耦合性装饰件的不同高度与运动模块之间存在很强的相关性。当控制倒立摆时，在平衡点附近执行常规解码计算，从前文总结来看而忽略一些较小的数学匹配量(曹文，何雨欣,2017)。④开环不稳定性倒立摆只有两个相反的状态，基于前述分析得出即向上和向下状态。垂直向上的位置是一个真正不稳定的平衡点，垂直向上的位置是一个稳定的平衡点。⑤约束限制由于机构的限制，例如运动模块的行程限制，电机的扭矩限制等。为了简化生产并降低成本，摆结构和电动机功率必须尽可能小。行程极限对于横向摆动尤为重要，并且更有可能间歇出现(曹明宇，何慧君,2022)。3.2模型的建立系统建模可以分为两类：机械建模和实验建模。实验实验包括添加研究人员用于研究对象的输入信号，激活研究对象并通过传感器捕获其观察到的输出，以及使用数学方法建立系统的输出关系。在多重因素作用下这包括设计和选择输入信号，确定正确的输出信号，研究数学计算等等(曹天瑜，何慧妍,2022)。机制建模涉及根据对物理和化学的理解以及数学方法来确定系统的状态。单击研究对象的活动列表。倒立摆系统是一种自稳定系统，面临当前状况因此在仿真中存在一些困难。经过仔细假设，忽略了一些次要因素，强制摆系统是刚体运动系统，并且可以通过应用力学原理在惯性坐标系中建立系统的动力学方程。接下来，第一步中，我们将使用Newton-Euler方法构建线性摆系统的数学模型(郭思博,王子和,2020)。3.2.1微分方程的推导忽略空气阻力和破损后，这反映了真实情况可以将强制摆系统排放为卡车和均匀木材组成的系统，如下图3.4所示。让我们做以下假设：运输力M，m杆条质量，系数b车架fr，线l摆杆旋转到重心，I摆杆惯性，F施加在车架上的力，x车架位置，φ杆摆和向上方向θ和钟摆的向下方向。其中N和P是叉车和原木之间相互作用电压的水平和垂直分量(孙宇翔,高雪琴,2020)。注意：在实际的强制摆系统中，这在某种程度上传达检测和动作设备的正向和负向是完美定义的，因此矢量方向的定义如图2和3所示，所示方向是矢量的正方向：图3.5显示了系统中滑架和摆杆的力分析图。分析电车在水平方向上的力，可以得到以下方程式：（3.1）通过分析摆杆的水平力，可以得到以下方程式：（3.2）将此等式代入上述方程式，即系统功能的第一个方程式：a（3.3）为了计算系统的第二运动方程，我们分析了在摆杆垂直方向上获得的力，可以得到以下方程：即：（3.4）力矩平衡方程如下(陈浩然,李心怡,2020)：（3.5）方程中矩的方向，因为在方程的另一侧有一个负信号。合并这两个方程，然后减去P和N，即可得出两个运动方程：（3.6）设（φ是假设φ的半径比1（弧度的半径）小，即φ<1，则摆杆与向上方向之间的角度为0，则可以执行以下近似处理：这在某种程度上反映用u表示控制对象的力F。在直线之后，两个运动的方程式如下(孙玉婷,刘嘉琪,2022)：（3.7）3.2.2传递函数给定方程组（3.7）中的拉普拉斯变换（3.8）注意：接收传输时，初始条件被视为0。由于乘积是一个角度，因此求解给定方程（3.8）的第一个方程，我们可以得出（林泽远,赵秋华,2022)：（3.9）代入方程组（3.8）的第二个方程：（3.10）整理后得到传递函数： （3.11）其中：3.2.3状态空间结构方程某方面表明系统状态空间方程为 （3.12）方程组（3.12）对解代数方程，得到解如下： （3.13）整理后得到系统状态空间方程(李志远，张心怡,2022)：（3.14）（3.15）由公式（3.7）的第一个方程为： （3.16）对于质量均匀分布的摆杆有： （3.17）于是可以得到： （3.18）化简得到：（3.19）设，则有：（3.20）实际的系统模型如下(邵嘉伟，陈婉琳,2021)：M小车质量0.5Kgm摆杆质量0.2Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.006kg*m*mT采样频率0.005秒注意：在实际系统的MATLAB仿真期间，我们将采样频率更改为实际系统采样频率。在实际操作中，依托前期成果可以推导出我们检查系统参数是否与实际系统匹配，否则我们将使用实际参数进行实验。3.2.4实际系统模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型摆杆角度和小车位移的传递函数(费嘉伟，周婉琳,2021)：（3.21）摆角与三轮车加速度之间的传递函数为：（3.22）这在某种程度上印证了角度开关和轮椅上的外力的传递：（3.23）外力的系统方程是输入：（3.24）以汽车加速度为输入的状态系统方程：（3.25）应当注意，在GoogolTechnology提供的所有控制设计和应用中，汽车的加速度都用作系统的组成部分。如果用户需要使用转矩控制方法，请参考以上内容，并以外力作为输入方法(罗志杰，钱慧敏,2022)。3.2.5采用MATLAB语句形式进行仿真仿真程序如图3.6所示图3.6仿真曲线和结果如图3.7和3.8所示。图3.7系统数学模型仿真曲线图3.8系统仿真系数3.3根据极点配置法确定反馈系数系统方程为由此可以推断假定倒立摆杆/小车系统的参数如下(陈志远，韩梦瑶,2022)：摆干的质量m=0.07kg长度2l=0.4m转动惯量小车的质量M=1.32kg重力加速度g=10m/得到系统矩阵A和输入矩阵B为矩阵A的特征值是方程的根：因此，该系统的特征根分别为根一半的实部为正，因此系统不是静态的。可以看出，强制摆制保持不变。通过将状态反馈应用于此不稳定的系统，可以将摆锤放置在稳定位置，将卡车放置在参考位置。在数据研究环节，已有研究的经验提示本文要加强对新兴分析工具和技术的应用。随着信息技术的快速发展，诸如大数据分析、机器学习算法等先进工具正逐渐成为科学研究中的重要组成部分。这些技术不仅可以帮助本文更高效地处理海量数据，还能够挖掘出传统方法难以发现的深层次信息和模式。因此，在后续的研究中，本文应该积极探索如何将这些先进技术融入到本文的分析框架中，以提升研究结果的精确度和洞察力。在以状态方程表示的系统中，由状态响应创建的系统的特征值由表的特征值给出。基于前述分析得出系统稳定性的必要和充分条件是所有特征值必须位于复平面的左半部分。矩阵特征值是方程式的根：这是s的四次代数方程式，可表示为(杨文博,陈晨曦,2022)适当选择反馈系数系数的特征值可以取得所希望的值。把四个特征根设为四次代数方程式的根，则有在多重因素作用下比较两式有下列联立方程式根据给出的实数和公轭复数的，则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数利用方程式可列出关于的方程组：求解后得即，控制力沿轮椅的水平方向散出u：上面列出的状态意见控制器可以使系统在任何生产情况下都处于平衡状态，也就是说，所有状态变量都可以在零状态下保持稳定。面临当前状况这意味着，无论是在原始状态还是由于外部干扰，摆都会略微倾斜，或者轮椅会偏离基准位置。如果基于状态反馈控制，则摆杆可以垂直站立并将支架固定在参考位置（贺俊豪，万泽楷，2021）。相对平衡偏差的快速校正程度取决于特定字符根的值。这反映了真实情况通常，具有指定属性的根在茎的左侧。远离源头，执行控制更快。但是，责任需要更多的控制和敏感性。3.4LQR控制器的设计3.4.1建立模型及分析忽略空气阻力和各种差异后，第一阶段的横向剥离系统可以忽略不计，该系统由卡车和均匀的原木组成。可以使用牛顿动力学方法建立逐步摆重定向系统的微分方程（雷浩然，章子涵，2021）：摆的平衡是为了使横向摆的位置对角地竖立，因此，假设它的角度足够小，则可以近似：，，用u表示控制对象的力F。直线之后，两个方程如下：取状态变量：即，摆角的角度和速度以及车轮的运动和速度的四个状态变量。则系统的状态方程为：这在某种程度上传达用向量和矩阵形式写上面的公式，它成为线系统状态的方程：这里设：将参数带入有：四个状态量，，，它们代表位移，运输速度，这在某种程度上反映杆角度和摆杆角速度，输出包括滑动位置和摆杆角度。控制器的设计使得当在系统中施加一个台阶时，杆将下降然后返回到垂直位置，以便车辆可以到达所需的固定位置（周俊驰，吴雅茹，2021）。假设可以实现全状态反馈（可以测量所有四个状态），某方面表明请找到控制反馈控制规则的向量K并使用MATLAB中的lqr函数来获得与控制最对应的K。通过lqr函数，可以选择两个参数R和Q，并且可以通过它们平衡输入音量和条件音量的脉冲（谢逸辰，孙轩，2020）。3.4.2稳定性分析实验摆系统的分步分析第一步。停车动作的响应曲线和摆的角度如下图所示：图3.9小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线从图中可以看出，三轮车的运动和摆的角度是不同的，因此变化的摆系统是不稳定的。3.4.3倒立摆能控性能分析系统的可控制性是控制器设计的基本要求。从M控制表中，使用MATLAB可以获得Rank（M）=4，因此可以完全控制系统（高启铭，陈景云，2019）。3.4.4系统调试和结果分析根据项目设计的结果，依托前期成果可以推导出当Q11=1和Q33=1时，K=[-1-1.785525.4224.6849]。此时，系统响应曲线如下图所示：图3.10系统的响应曲线从图中可以看出，响应控制是拐杖，但是稳定时间和增益时间太长，电车的轨道不跟随输入，而是沿相反的方向移动。如果减少沉降时间和上升时间，则可以看到，在Q矩阵中，这在某种程度上印证了过增加Q11可以缩短沉降时间和上升时间，并且摆的旋转角度减小。这里我们取Q11=5000，Q33=100，我们可以得到K=[-70.7107-38.1782110.804920.3521]，系统响应曲线如下（陈逸飞，刘俊杰，2021）：图3.11系统的响应曲线由此可以推断简而言之，将Q11和Q33添加到Q矩阵可以降低系统的稳定性和上升时间，同时减少摆锤的控制和角旋转。3.5本章小结本章主要介绍倒立摆系统及其数学模型，分析交替摆系统的组成部分，并在第一步中应用牛顿-欧拉方法确定线性摆系统的数学模型。他创建的系统模型由MATLAB仿真。

第四章基于SIMULINK的并联倒立摆系统仿真4.1PID控制器的设计首先，对于倒立摆系统，从前文总结来看输出是摆杆的角度，其顶点位置是垂直的。系统控制结构框图如下：图4.1倒立摆系统控制结构在该图中，KD（s）是控制器的传递函数，G（s）是控制对象的传递函数。考虑到输入r（S）=0，结构图可以很容易的变换成：图4.2倒立摆系统控制结构基于前述分析得出该系统的输出为：（4.1）其中，NUM——控制对象传输的面数den——被控对象传递函数的分母项numpid——PID控制器在其上传递的函数的数字相位denpid——传递PID控制的面的分母相位被控对象的传递函数是：（4.2）其中，PID控制器的传递函数为：（4.3）必须仔细定义PID控制器的参数以获得令人满意的控制效果。在前面的讨论中，仅考虑了摆的角度。在多重因素作用下那么在检查过程中汽车后备箱将如何变化？给定轮椅的位置，更新后的系统图如下(马若昕,陈正昊,2017)：图4.3改进型系统结构框图其中，G是原木的载荷传递，G是轮椅的载荷传递。由于输入信号，所以可以把结构图转换成：图4.4改进型系统结构框图其中，反馈环代表我们前面设计的控制器。小车位置输出为：（4.4）其中，它们分别表示控制对象1和控制对象2的传递函数的数字和分母。面临当前状况并代表转移PID控制器的面的数量和分母。下面我们来求，根据前面的推导：（4.5）可以推出小车位置的传递函数为(韩天翔、冯泽凡、陆佳福,2023)：（4.6）其中，可以看出，小车的传递函数可以简化成：（4.7）根据模型结果仔细计算并找到合适的PID理论控制器。转到matlab命令提示符，输入pl1-pid.m，运行模拟测试并仔细检查与系统硬件的连接。通过设置参数，旋转杆可以垂直排列。此时，这反映了真实情况可能需要小心地握住操纵杆，以防止汽车粘在墙上。如果控制效果不合适，请调节旋钮直到获得更好的控制效果[9]。4.2PID控制器设计MATLAB仿真仿真中倒立摆的参数为：M小车质量0.5Kg，m摆杆质量0.2kg，bco小车摩擦系数0.1N/m/sec，l摆杆旋转轴至杆心长0.3m，I摆杆惯性0.006kg*m*m，采样频率0.005秒(成紫萱，陈雪倩，陈俊天,2022)。图4.5单级倒立摆在MTALAB中simulink仿真的框架图主状态空间模块的参数设置如下：图4.6状态空间模块的参数设置我们设计的技术要求：设计PID控制器，以便在轮椅上施加1N脉冲信号时，闭路系统的响应指数为：1.稳定时间少于5秒，2.在稳态下，杆和垂直位移之间的角度小于0.1弧度，因此MATLAB仿真如图4.7所示。。图4.7PID系统控制器MATLAB仿真图4.8查找多项式函数polyadd.m的两个边的总和图4.9PID控制脉冲响应仿真曲线图4.10PID系统MATLAB仿真系数结果仿真曲线分析：仿真后，可以从图中获得如图4.7所示的曲线，可以看出该曲线在2秒内进入恒定状态并响应了设计要求(何春晖,唐文博,2021)。4.3本章小结本章主要介绍了倒立摆的PID控制器设计与调节，通过PID控制器的模型建立，根据模型结果仔细计算并找到合适的PID理论控制器。进入matlab命令窗口，输入pl1-pid.m，然后运行模拟实验。

结语本设计的内容主要是指强制摆系统的PID控制草稿，它对自动控制，尤其是PID控制有很多了解。了解数学建模和使用MATLAB软件。设计本课程的任务是创建强制摆系统的数学模型，向系统添加PID控制器以创建闭环系统，并运行MATLAB仿真以识别和调整实际控制曲线并分析控制参数。设计指标为：（1）稳定时间小于5秒。（2）在相反的情况下，摆与垂直方向之间的角度变化小于0.1弧度。在通过假设忽略了一些小因素之后，仿真结果仍然是系统性的。换句话说，仿真是一条不稳定的曲线，因此，必须将反馈添加到开闭系统中，即，添加PID控制以使系统更稳定。设计PID控制器时，会向车辆施加1N脉冲信号。在遵循两个指标之后，系统在短时间内稳定下来。因此，在设计该过程时，可变摆系统在PID控制器的作用下是稳定的。实验表明，该时间的值是合理的，并且该系统可以达到设计合适的指标。应该说这种设计是成功的！

参考文献[1]MichaelGünther,HeikoWagner.Dynamicsofquiethumanstance:computersimulatio