重难点13 几何压轴突破一 四边形压轴（18种题型汇-总+专题训练）（原卷版）-2025年中考数学重难点突破

第五章四边形重难点13几何压轴突破一四边形压轴（18种题型汇总+专题训练）【题型汇总】【命题预测】四边形在中考数学中是占比较大考察内容主要有各个特殊四边形的性质判定、以及其应用:考察题型上从选择到填空再到解答题都有题型变化也比较多样,并且考察难度也都是中等和中等偏上难度较大,综合性比较强所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合.题型01选/填压轴题之动态函数图像问题1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ-DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（

）A．423 B．83 C．72．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点

A．5，5 B．6,245 C3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积SA． B．C． D．4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E-O-F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与tA．B．C．D．题型02选/填压轴题之多结论问题5．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3-1；③其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP:PF=2:3；④cos∠DCQ=347．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S

8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④9．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是．题型03选/填压轴题之规律探究问题10．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）611．（2022·辽宁·中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B212．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C13．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B题型04四边形与翻折问题综合14．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于(1)求证：△EDP∽△PCH．(2)若P为CD中点，且AB=2,BC=3，求GH长．(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．15．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B3,0两点，与y轴交于点C0,-3，(1)求抛物线y=x(2)如图2，连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，当四边形PO(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段BP的长．16．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．操作探究：操作过程及内容如下（如图①）操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点，即AP【解决问题】（1）在图①中，若EF与MN交于点Q，连接CQ求证：四边形EQCM是菱形．（2）请在图①中证明AP：PB=2：1.【发现感悟】若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：（3）如图②，若AD=3AE时，则APAB=______；若AD=nAE时，则APAB=17．（2024·山东聊城·三模）【实践探究】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，DE⊥AC交AB于点E，则DEAC的值是________【变式探究】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，∠DBC=90°，BD=8，BC=6，DE⊥AC交AB于点E，求DEAC【灵活应用】（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=8，点E，F分别在AD，BC上，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，使得AB的对应边A'B'恰好经过点D，B'F交CD于点I，过点D作DP⊥EF交AB于点P．若A'D=4，且△ADP

题型05四边形与旋转问题综合18．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．(1)求证：BM=EN；(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．①当α=30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；②当30°<α<60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°<α<120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．19．（2024·山西·模拟预测）综合与实践【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．【数学思考】（1）请你解答以上老师提出的问题；【深入探究】（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题．“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．证明：AM=BE．【拓展提升】（3）如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=3，AC=4，求AH的长．20．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，△EFG是等腰直角三角形，EG=FG，∠EGF=90°，当△EFG的顶点G在线段AC（不与A，C重合）上绕点G旋转的过程中，直角边EG交边AD于点M，直角边FG交边CD于点N．(1)如图1，当点G与点O重合时，求证：EM=FN；(2)如图2，当CG=nAG（n为正整数，n≠1）时，在旋转过程中，①请写出线段GM，GN之间的数量关系，并说明理由；②若AD=a，CN=b，求AM的长（用含a，b的代数式表示）．题型06四边形与最值问题21．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM=MP；（2）∠CAP的大小为度，线段MN长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．22．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE23．（2024·重庆·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点B作BD(1)如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC=2BD；(2)如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM=CN+2(3)若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF=AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出FTCP24．（2024·浙江宁波·二模）（1）如图1，在三角形ABC中，N是BC中点，连结AN，M是AN上任意一点，过点M作DE∥BC别交AB，AC于点D、E，求证：M是DE中点；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD与BC不平行，∠DCB=60°，AD=AB=CB=2，连结对角线AC，BD交于点O，E是AD上的点，过点E作EF∥DB交AB于点F，AC于点M，求EM:MF的值；（3）如图3，在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=4，分别取菱形各边的中点G，H，P，Q并顺次连结得到四边形PQGH，连结PG，HQ交于点O，E是PQ上一动点，作EF∥QH交PH于点F，交PG于点M，过点M作MN⊥EM交QG于点N，连结EN，求EN的最小值．题型07四边形与动点问题25．（2024·宁夏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P①当t=2s时，四边形ABCP的周长是10②当t=4s时，点P到直线l2的距离等于③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大；④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变．其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④26．（2024·江西·中考真题）综合与实践如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE=90°，连接BE，特例感知（1）如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC=6，设AD=x，四边形CDFE的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当BF=2时，请直接写出AD的长度．27．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，点E是边AD上的动点，连结CE，以CE为边作矩形CEFG（点D，G在CE的同侧），且CE=2EF，连结BF．(1)如图1，当点E为AD边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求BF的长．(2)如图2，若∠BCE=30°，设CE与BF交于点K．求证：BK=FK．(3)在点E的运动过程中，BF的长是否存在最大（小）值？若存在，求出BF的最值；若不存在，请说明理由．题型08四边形与网格问题28．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．29．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；(2)在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB=∠ACB；(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；(4)在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．30．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的7×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为AD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)如图1，先将线段AE绕点A顺时针旋转90°到AF，再在AB上画点G，使tan∠AEG=(2)如图2，先在AB上画一点H，使CH⊥AB，再在AB上画点P，使CP=BC．题型09四边形与尺规作图问题31．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．32．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE=2，则AE=________；AB=________(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①33．（2024·江苏南京·中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD⋅AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与34．（2023·浙江金华·中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：

（答题卷用）作法（如图）结论

①在CB上取点P1，使C∠P1OA=45°，点P②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2∠P2OA=30°，点P③分别以O,P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E,F，连结EF与…④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB…(1)分别求点P3(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．题型10四边形与中点综合35．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'A．15 B．5+55 C．10+52 D36．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究：如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF，EF与BD交于点G，求证：问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD=CD，AG=FG，直接写出EGGF

37．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F．（3）用数学的语言表达．如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．题型11四边形与新定义问题38．（2023·江苏·中考真题）综合与实践定义：将宽与长的比值为22n+1-12n（1）概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长CD的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．

（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由39．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．40．（2024·陕西渭南·模拟预测）定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．(1)设三角形一边的中垂距为dd≥0．若d=0，则这样的三角形一定是，推断的数学依据是(2)如图②，在△ABC中，∠B=45°，AB=32，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．41．（2024·江苏苏州·二模）大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用形黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人．通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”，如图2，矩形ABCD中，BCAB=2，那么矩形应用：（1）如图3，矩形ABCD是一张A4纸，AD>AB，将矩形边AB翻折，使得点A的对应点落在BC上，将矩形边CD翻折，使得点D的对应点落在BC上，折痕交于点O，再将∠ABO对折，发现AB与BO恰好重合，求证：矩形ABCD是“白银矩形”．（2）如图4，在（1）的条件下，矩形ABCD中，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”．（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要做法）题型12四边形与阅读理解类问题42．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=12AC

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC，∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

43．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+A44．（2020·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、S（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形45．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上．求证：以DE、【探究发现】小明通过探究发现：连接CE，根据已知条件，可以证明BD=CE，从而得出△DCE为钝角三角形，故以DE、【拓展迁移】如图②，四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，点E在BD上．①猜想：以DE、EF、②当BE2+E题型13与四边形有关的新考法问题46．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务．素材1图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角∠DAB=60°，篷面宽AD=3米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即AN=1米，支架MN与墙面的夹角∠AMN=45°．素材2宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角α的正切值432.52素材3宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．任务1确定安装点请求出支架MN的固定点M与A点的距离AM的长．任务2确定影子长请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．任务3判断能否照射到这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．47．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题提出】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分…那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？【查阅资料】古希腊数学家帕普斯结合反比例函数图象，实现尺规作图三等分任意角，方法如下：①如图1，建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在第一象限内；②在平面直角坐标系中，画出函数y=1xx>0的图象，图象与OA交于点③以D为圆心、2OD长为半径作弧，交函数y=1xx>0的图象④分别过点D、E作x轴、y轴的平行线，两线交于点P，连接OP，此时有∠POB=1【问题探究】小明在以上资料的启示下，进行了如下探究，用尺规三等分一个角．如图2，以线段AB中点O为原点，x轴的正方向与角的一边BC平行，建立平面直角坐标系，过点B作y轴的平行线，在平行线上取一点M，连接MA并延长，与射线BC交于点N，记MN中点为Px,y（1）∠PBN与∠PNB的数量关系为：；（2）在探究过程中，小明发现取点A坐标为1,3时，点P坐标与点M坐标满足下列表格关系：点M坐标(-1,4)(-1,5)(-1,6)(-1,7)(-1,9)点P坐标6,(3,1)2,3①请将表格补充完整，并尝试在图2给出的网格图中描出点P的坐标，画出它的大致图象；②根据图象猜想y关于x的关系式（不需要写出x的取值范围），并证明你的猜想；（3）若点A坐标为a,b，直接写出y关于x的关系式：（不需要写出x的取值范围）．【问题解决】在图2中，利用上述你画出的图象，用尺规作图将∠ABC三等分，叙述作法并说明理由．48．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点A-1,1和点C3,3的一次函数y=12x+32(1)如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函数y=kxx>0经过点B，求反比例函数y=(2)矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为1,2，正比例函数y1=ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2=kxx>0①如图3，当OC>OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y=4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y=8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出49．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形ABCD的面积为25，小正方形EFGH的面积为1．（1）如图2，连接DG，CF，（2）如图3，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，则S△AFP-50．（2024·河北·模拟预测）如图1，平行四边形的两条邻边的长分别为a,ba<b，其中一内角的度数为α，将两个如图1所示的平行四边形按如图2所示的方式摆放在边长为b的菱形中，左上部为重叠部分，右下部为剩余部分（阴影部分），剩余部分的面积记为S1；将四个如图1所示的平行四边形按如图3所示的方式摆放在边长为a+b的菱形中，左上部与右下部均为剩余部分（阴影部分），面积分别记为（1）图1中平行四边形的面积为，图3中S2的值为；（2）S1,S51．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；(2)若AB=6+63，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．题型14探究四边形中线段存在的数量和位置关系52．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．53．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D，E分别在AB，CB上，DB=EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF(1)求证：CD=2BF，CD⊥BF；(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；②求证：CD=2BF．题型15四边形与三角形综合54．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：

（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置；（4）延长PQ，ST交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形FPGS是矩形；③△FQT≌④四边形FPGS与△ABC的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ55．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，

猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．56．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段DE、【问题初探】（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是；【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至DF=1时，DE的长度为．57．（2024·广西·模拟预测）实践与探究：小明在课后研究正方形与等腰直角三角形叠放后各个线段间的数量关系．已知正方形ABCD的边长为6，等腰Rt△AEF的锐角顶点A与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角形绕A点旋转，AE，AF两边分别交直线BC，CD于M，N，旋转过程中，等腰Rt△AEF的边(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，小明通过测量发现BM+DN=MN，他给出了如下的证明：过A作AG⊥AM交CD延长线于G，连接AG，如图2，易证△ABM≌△ADG，则有BM=DG(2)如图3，当M，N分别在BC，CD的延长线上时，请直接写出BM，DN，MN之间的数量关系；(3)在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形BC边上的中点P，求出此时MN的长．题型16四边形与圆综合58．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；

（

）②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；

（

）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R=2r．（(2)如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．①该四边形ABCD是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，①如图2．连接EG，FH交于点P．求证：②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA=2，OB=6，OC=3，求内切圆59．（2023·广东·中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接AA'交BD于点E，连接

(1)求证：AA'⊥CA'；(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=3②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1，求⊙O的面积．60．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD的值61．（2024·河北秦皇岛·一模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”．“方田一段，一角圆池占之”的意思为“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边相切）”．如图1，在正方形AEBF中，⊙O与AE相切于点C，与AF相切于点D．（1）求证：图1中的四边形ACOD为正方形．（2）在图1中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N（点N在点M的右上方），若AB的长度为12丈，⊙O的半径为2丈，请求出BN的长度．操作与探究：如图2，泽泽在一张正方形的卡片的对角线BD上选取一点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，恰好与正方形ABCD的边AD相切于点E，请利用（1）（2）中的知识回答下面的问题．（3）若OB=22，聪明的你知道AB题型17四边形与函数综合62．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点OD>OB，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y=kx的图象【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，求k的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k63．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数y=x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2(1)求图象C1(2)若图象C2过点C0,6，点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M(3)如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD．交图象C2于点F，连接EF，当EF∥64．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m-a，0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m-ax(x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图像相交于点E，CD边与函数y1、y2

(1)m=2，a=4，求函数y3的表达式及△PGH(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的