重难点07 几何热考题一 相交线与平行线热考模型（10种题型汇-总+专题训练+10种模型解析）（原卷版）-2025年中考数学重难点突破

第四章三角形重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）【题型汇总】题型01三线八角的识别已知图示结论（性质）直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.1．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（

）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角2．（2023·河北唐山·二模）下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则A．75° B．105° C．115° D．130°4．（2024·陕西·中考真题）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，则A．25° B．35° C．45° D．55°题型02猪蹄模型猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）条件AB∥DEa∥b图示结论∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（

）A．41° B．51° C．49° D．59°2．（2021九年级·全国·专题练习）在图中，AB//CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？3．（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到求证：∠AEC=∠A+∠C小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB∥CD，∠E=60(2)如图，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+27题型03铅笔头模型铅笔头模型铅笔头模型-进阶条件AB∥DEAB∥DEa∥b图示结论∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[类推]1.如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（

）．

A．630° B．720° C．800° D．900°2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是（度）．4.（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、

题型04大脚模型类型大脚模型骨折模型已知AB∥CD图示结论∠E=∠1-∠3即：脚尖度数=大角-小角∠E=∠3-∠11．（20-21八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=2（2021九年级·全国·专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D3.（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式．4.①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型05蛇形模型条件AB∥CD图示结论∠BCD+∠D-∠B=180°∠BCD+∠B-∠D=180°1．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．(3)如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD，求2．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD

(1)求证：∠B+∠C-∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：3．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）如图，AB∥DC，点E在直线AB，DC之间，连接DE，BE．

(1)写出∠ABE，∠BED，∠EDC之间的数量关系，并说明理由；(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度数；

题型06平行平分三等角解题大招：平行平分得三等角.1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，则∠D的度数是（

）A．40∘ B．36∘ C．35° D2．（2024·四川·中考真题）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，则∠2=（

A．15° B．30° C．45° D．60°3．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是（

）

A．70° B．50° C．40° D．140°4．（2023·四川资阳·模拟预测）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，则∠2=题型07平行线折叠问题记住三句话:①折叠前后对应角，对应边相等.②折叠不改变原先的平行关系.③以折线为对称轴.1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（

）A．纸带①、②的边线都平行B．纸带①、②的边线都不平行C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行2．（2024·山西大同·模拟预测）如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，点O是BC上一点，将矩形纸片ABCD折叠得到图2，使得OB与OC重合．若∠2=50°，则∠1的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．55°3．（2023·江苏盐城·二模）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'处，∠1=58°，∠2=42°，则∠C的度数为（

A．100° B．109° C．126.5° D．130°4．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，把矩形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°

题型08三角板拼接模型常见的三角板与三角板（平行）拼接模型：类型两条斜边平行斜边于直角边平行两条直角边平行图示顶点在斜边上顶点在直角边上顶点在边上顶点重合【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（

A．45° B．60° C．75° D．105°2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（

）

A．10° B．15° C．30° D．45°3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则∠1的大小为（

）

A．100° B．105° C．115° D．120°4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（

）

A．55° B．65° C．70° D．75°题型09直尺与三角板拼接模型综合类型一直尺与30°角的三角板拼接图示解题方法利用三线八角求解结论∠1+∠2=90°∠1=∠2∠1+∠2=90°类型二直尺与45°角的三角板拼接图示解题方法遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解结论∠1+∠2=90°∠1=∠2=75°∠1=105°【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1=40°，则∠2的大小为（A．70° B．60° C．50° D．40°2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，

A．45° B．35° C．30° D．25°3．（2024·海南·中考真题）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于（A．70° B．65° C．25° D．20°4．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1=30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2=（A．50° B．60° C．70° D．80°5．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，顶点A,B分别在l1,6．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数是（

）．

A．26° B．30° C．36° D．56°7．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1=55°，则∠2的度数为（

）A．25° B．35° C．45° D．55°题型10等积模型条件：AB∥CD图形：结论：1)2)1.如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n，对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数．

A．①③ B．①② C．②③ D．③④2.（2024·宁夏吴忠·二模）如图，AD∥BC，AC、BD相交于点E，△ABE的面积等于3，△BEC的面积等于5，那么15．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的面积为8，△BOC的面积为5，则3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=4（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用阅读理解：如图1，已知直线a∥b，直线a，b的距离为h，则三角形ABC的面积为S△ABC

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：S△AOC(2)【深化拓展】如图3，记S△AOC=S1、S△BOD=S(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E是线段AD上的一点，BE与AC相交于点O，已知S△ABE=10，且EO:EB=2:5，求四边形5．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完