重难点04 二次函数的存在性问题（15种题型汇-总+专题训练+9种解题方法）（解析版）-2025年中考数学重难点突破

第三章函数重难点04二次函数存在性问题（15种题型汇总+专题训练+9种解题方法）【题型汇总】【命题预测】抛物线与特殊图形的存在性问题多以解答题形式出现，难度较大，多为压轴题，考查几何代数综合.一般是在抛物线的背景下确定特殊图形(如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等)的存在性，多应用分类讨论思想，题型01二次函数角度存在性问题角度存在性问题的解题步骤已知特殊角度求解已知角度关系求解第一步读题、画图、理解题意第二步分析动点、定点，找不变特征第三步确定分类特征，进行分类讨论第四步已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.【温馨提示】1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角(先求已知角);2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:1）已知特殊角求解1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B

(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为y=-43x2(2)D-2,-4或D-4,4(3)E【分析】（1）将点A(﹣3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x,y=0，即可求得（2）分三种情况讨论，当AB，AC,BC为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，则A,O,C,G在⊙F上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G在y=-x上，进而勾股定理，根据FG=52建立方程，求得点G的坐标，进而得出【详解】（1）解：∵抛物线y=-43x2+bx+4∴-解得：b=-8∴抛物线解析式为y=-4当x=0时，y=4，∴C0,4当y=0时，0=-解得：x1∴B（2）∵A(-3,0)，B1,0，C设Dm,n∵以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形当AB为对角线时，m+0解得：m=-2,n=-4，∴D-2,-4当AC为对角线时，-3+0解得：m=-4,n=4∴D当BC为对角线时，-3+m解得：m=4,n=4∴D综上所述，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，D-2,-4或D-4,4（3）解：如图所示，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，

∵∠ACE=45°∴△AGC是等腰直角三角形，∴A,O,C,G在⊙F上，∵A(-3,0)，C0,4∴F-32,2∵∠AOG=∠ACG=45°，∴G在y=-x上，设Gt,-t，则解得：t1∴点G设直线CG的解析式为y=kx+4∴7解得：k=1∴直线CG的解析式y=∵A(-3,0)，B1,0∴抛物线对称轴为直线x=-3+1当x=-1时，17∴E-1,【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2024·山东临沂·二模）如图，已知抛物线y=ax2-83ax-3的图象经过点D，OE=3OC，C是ED(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)n=(3)存在，Q43【分析】（1）根据C(0,-3)，OE=3OC，求出E(-3,0)．再根据C是ED（2）过P作x轴垂线交DE于F，求出设直线DE解析式，由Pn,-3n2+833n-（3）分为①当点Q在y轴上时，使∠EDQ=75°，根据OE=3OC，求出∠OEC=30°，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，根据平行线性质得出∠CDH=30°，再根据∠EDQ=75°，得出∠HDQ=45°，得出HQ=HD，根据D(3,-23②当点Q在x轴上时，使∠EDQ'=75°，延长QD交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴交x轴于点G，证明GF=GD=23，求出FD，再根据∠EDF=∠FQ'D，证明△F【详解】（1）解：∵y=ax∴C(0,-3∵OE=3∴E(-3,0)．∵C是ED的中点，∴D(3,-23)∵D在y=ax∴-23得a=-3∴y=-3（2）过P作x轴垂线交DE于F，设直线DE:y=kx-3，即0=3k-解得：k=-3故解析式为：y=-3由Pn,-3n2+∴PF=-3S四边形=S当四边形OCDP面积最大时，n=-5（3）解：①当点Q在y轴上时，使∠EDQ=75°，∵OE=3即tan∠OCE=∴∠OCE=60°，∴∠OEC=30°，过点D作DH∥x轴交y轴于点则∠CDH=∠OEC=30°，∵∠EDQ=75°，∴∠HDQ=75°-30°=45°，∴∠HQD=45°，∴HQ=HD，根据（1）得D(3,-23∴HQ=HD=3,OQ=OH+HQ=23∴点Q的坐标为0,-23②当点Q在x轴上时，使∠EDQ延长QD交x轴于点F，过点D作DG⊥x轴交x轴于点G，则∠EDG=180°-30°-90°=60°，则∠GDQ'=∠EDQ∴∠GDF=∠GDQ∴∠GFD=45°，∴GF=GD=23∴FD=2∵∠EDF=∠EDQ∴∠EDF=∠FQ∴△FQ∴F∵EF=OE+OG+GF=23即FQ∴FQ∴OQ∴点Q'的坐标为4综上，Q43-3,0【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确理解题意，数形结合．3．（2024·山西大同·一模）综合与探究如图，抛物线y=12x2-2x-6与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y(1)求点B的坐标及直线BC的表达式；(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E，若DEOE=5(3)抛物线上是否存在点F．使得∠BCF=15°?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点B的坐标是6,0，直线BC的表达式是y=x-6；(2)点D的坐标是1,-152或(3)存在，点F的坐标是4+23,43【分析】（1）令y=0和x=0，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）作DH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点G，证明△DGE∽△OCE，利用相似三角形的性质求解即可；（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解．【详解】（1）解：令y=0，解方程12x2-2x-6=0得∴点B的坐标为6，令x=0，则y=-6，∴点C的坐标为0，设直线BC的表达式为y=kx-6，则0=6k-6，解得k=1，∴直线BC的表达式为y=x-6；（2）解：作DH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点G，∴DG∥∵点C的坐标为0，∴OC=6，设点D的坐标为m，12m2∴GD=m-6-1∵DG∥∴△DGE∽△OCE，∴DGOC∴-12m解得m=5或m=1，∴点D的坐标为1,-152或（3）解：∵点B的坐标为6，0，点C的坐标为∴OB=OC=6，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，∵∠BCF=15°，∴∠OCF=60°或∠OCF=30°，当∠OCF=60°时，以OC为边作等边△OCM，直线CM交抛物线于点F，此时∠BCF=15°，如图，作MN⊥y轴于点N，在Rt△OMN中，OM=OC=6，ON=∴MN=O∴点M的坐标为33，-3，同理，求得直线MC的表达式为y=解得x=12+233∴点F的坐标是12+23当∠OCF=30°时，设CF交x轴于点K，此时∠BCF=15°，如图，在Rt△OCK中，OC=6，∠OCK=30°∴OK=OC⋅tan∴点K的坐标为23同理，求得直线CK的表达式为y=3联立y=3解得x=4+23y=43∴点F的坐标是4+23综上，点F的坐标是4+23,43【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想．2）已知角度关系求解4．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求(3)如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=-(2)8(3)存在，Q11-3【分析】（1）先求C点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出BC的解析式，设Pm,-12m2（3）易得FE垂直平分AC，设OF=a，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA=∠CFE，分别作点E关于x轴和直线CF的对称点E1,E2，直线【详解】（1）解：∵B4,0∴OB=4，∵∠BOC=90°,BC=42∴OC=B∴C0,4把B4,0，C∴c=4-12∴y=-1（2）∵B4,0，C∴设直线BC的解析式为：y=kx+4k≠0，把B4,0，代入，得：∴y=-x+4，设Pm,-12∴PK=-12m2+m+4+m-4=-∴S1∴S=-=-3∴当m=83时，S1（3）存在：令y=-1解得：x1∴A-2,0∵C0,4，点E为AC∴E-1,2∵FE⊥AC，AE=CE=-1+2∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，设OF=a，则：CF=AF=a+2，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=3，∴F3,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90°，∴∠AFE=∠OCA=90°-∠CAF，∴∠AFE=∠OCA=∠CFE，①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1，交抛物线与点Q1，则：设FE1的解析式为：则：3k1+b=0∴y=1联立y=12x-32∴Q1②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接F则：∠Q2FE=2∠CFE=2∠OCA∵CE=5∴EF=C∵S△CEF∴5EG=25∴EG=2，∴FG=E过点G作GH⊥x轴，则：GH=FG⋅sin∠CFO=4×4∴OH=OF-FH=3∴G3∴E2设直线E2F的解析式为：则：3k2+∴y=-11联立y=-112x+332∴Q2综上：Q11-35【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=5(3)在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)P(3)F513,-【分析】（1）根据抛物线过点A1,0，对称轴为直线x=3（2）根据题意求得B5,0，tan∠CDO=tan∠DEB，求得BE=6，则E5,-6，进而求得直线EC的解析式为y=-x-1，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T，证明△PTQ∽△BEQ，根据已知条件得出PT=425设T（3）根据题意可得∠DEF=45°，以DE为对角线作正方形DMEN，则∠DEM=∠DEN=45°，进而求得M,N的坐标，待定系数法求得EM,EN的解析式，联立BP解析式，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0，抛物线的对称轴交x∴a+b-1=0-解得：a=-∴抛物线解析式为y=-1（2）解：由y=-15x2+解得：x1∴B5,0当x=0时，y=-1，则C0,-1∵DE⊥CD，∠COD=∠EBD=∠CDE=90°∴∠CDO=90°-∠EDB=∠DEB，∴tan∠CDO=即OCOD∴13∴BE=6，则E5,-6设直线EC的解析式为y=kx-1，则-6=5k-1，解得：k=-1，∴直线EC的解析式为y=-x-1，如图所示，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T，

∵BE∥∴△PTQ∽△BEQ∵BQ∴BEPT=设Tt,-t-1，则Pt,-t-1-42将点Pt,-t-47即-t-解得：t=-3或t=14（舍去）当t=-3时，-t-47∴P-3,-（3）∵A1,0，C则OA=OC=1，△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，由（2）可得∠BED=∠ADC，∵∠DEF=∠ACD+∠BED∴∠DEF=∠ACD+∠ADC=∠OAC=45°，由（2）可得P-3,-设直线BP的解析式为y=ex+f，则5e+f=0解得：e=∴直线BP的解析式为y=如图所示，以DE为对角线作正方形DMEN，则∠DEM=∠DEN=45°，

∵DB=2,BE=6，则DE=210，则DM=22设Mm,n，则m-3解得：m=1n=-4，m=7则M1,-4，N设直线EM的解析式为y=sx+t，直线EN的解析式为y=则5s+t=-6s+t=-4，5解得：s=-12t=-设直线EM的解析式为y=-12x-72∴y=-12x-72y=2x-16y=45x-4解得：x=10综上所述，F513,-【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，点B3,0(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点【答案】(1)y=-x(2)△PEF面积的最大值为8132，P(3)2,3或-2【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）y=-x2+2x+3可得C0,3，求出直线BC的解析式为y=-x+3，又可得∠OBC=∠OCB=45°，进而得△PEF为等腰直角三角形，得到S△PEF=12PE2，设Pp,-p2+2p+3（3）分点Q在BC上方和点Q在BC下方两种情况，画出图形解答即可求解；本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：把A-1,0、B3,0代入a-b+3=09a+3b+3=0解得a=-1b=2∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：由y=-x2+2x+3设直线BC的解析式为y=kx+n，把B3,0、C0=3k+n3=n解得k=-1n=3∴直线BC的解析式为y=-x+3，∵B3,0，C∴OC=OB=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PE∥y轴，∴∠PEF=∠PFE=45°，PE⊥PF，∴△PEF为等腰直角三角形，∴S△PEF设Pp,-p2∴PE=-p当p=32时，即P32,154S△PEF（3）解：存在．当点Q在BC上方时，作点A-1,0关于y轴的对称点A'1,0，过点B作BT∵A与A'关于y∴∠ACO=∠A又∵BT∥∴∠QBC=∠BCA∵∠A∴∠ACO+∠OBC=45°，∵C0,3，A'同理可得直线CA'解析式为设直线BT解析式为y=-3x+t，将B3,0代入得，0=-9+t∴t=9，∴y=-3x+9，由y=-x解得x=2y=3或x=3∴Q2,3当点Q在BC下方时，作点D0,1，直线BD与抛物线交于点Q∵D0,1，B同理可得直线BD解析式为y=-1∵AO=OD=1∠COA=∠BOD=90°∴△COA≌△BODSAS∴∠ACO=∠DBO，∴∠CBQ由y=-x解得x=-23y=∴Q'综上，点Q的坐标为2,3或-27．（2024·四川达州·二模）已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴相交于点A(-1,0),B(-4,0)），与y(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求S△AOC(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=-(2)8(3)Q-5+172-2或Q【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC,以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC=PB+PC≥BC,得到当P,B,C三点共线时,PA+PC=BC，进而求出（3）求出D点坐标为(0,2),进而得到tan∠OBD=12,得到∠QDB=∠OBD【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx-4与∴a-b-4=0解得：a=-1b=-5∴抛物线解析式为y=-x²-5x-4；（2）在y=-x²-5x-4,当x=0时,y=-4，∴C(0,4∵抛物线解析式为y=-∴抛物线的对称轴为直线x=-∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长,∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，∵A，∵BA=PB，∴PA+PC=PB+PC≥BC，∴当P,B,C三点共线时,PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y=mx+n，∴-4m+n=0解得：m=-1n=-4∴直线BC的解析式为y=-x-4,当x=-52时,∴P-∴S△OACS△PAC∴S（3）当Q点在D点下方时：过点D作DQ∥OB,交抛物线于点Q,则∠QDB=∠OBD,此时Q点纵坐标为-2，设Q点横坐标为t，则:-t2-5t-4=-2,∴Q-5+172②当点Q在D点上方时：设DQ与x轴交于点E,∵DE=BE，设E(p,0),∴DE2∴p解得：p=-∴E-同理可得DE的解析式为y=-4联立y=-解得：x=-3y=2或∴Q-32或综上：Q-5+172-2或Q【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题.题型02二次函数与三角形存在性问题1）等腰三角形存在性问题解题方法：几何法：1）“两圆一线”作出点；2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；3)分类讨论，求出点P的坐标.代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P；2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；4）列出方程求解．①两定一动8．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-3,0和点B，与y轴交于点

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为y=-(2)D的坐标为-1,4或-2,3(3)P的坐标为0,3或25-19318,-7+【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）过D作DK∥y轴交AC于K，求出直线AC解析式，根据（3）先求出点A，B坐标，再求出直线BC解析式，过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分以下情况分别讨论即可：①P与C重合，D与A重合时；②当P在第一象限，D在第四象限时；③当P在第四象限，D在第三象限时；④当P在第四象限，D在第一象限时．【详解】（1）解：把A-3,0，C0,3代入-9-3b+c=0c=3解得b=-2c=3∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：过D作DK∥y轴交AC于

由A-3,0，C0,3得直线AC解析式为设Dt,-t2∴DK=-t∵△ACD的面积为3，∴12DK⋅解得t=-1或t=-2，∴D的坐标为-1,4或-2,3；（3）解：在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下：在y=-x2-2x+3中，令y=0解得x=-3或x=1，∴A-3,0，B由B1,0，C0,3得直线BC解析式为设Pm,-3m+3，D过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，①∵OA=OC=3，∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图：

此时P0,3②当P在第一象限，D在第四象限时，

∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴DM=ON，OM=PN，∴n=-3m+3解得m=25+19318n=-7-1936∴-3m+3=-3×25-∴P的坐标为25-193③当P在第四象限，D在第三象限时，如图：

∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴PN=OM，ON=DM，同理可得m=n解得m=25+19318n=-7-∴-3m+3=-3×25+∴P的坐标为25+193④当P在第四象限，D在第一象限，如图：

∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴PN=OM，ON=DM，∴m=-解得m=0n=-3（舍去）或m=∴-3m+3=-3×11∴P的坐标为119综上所述，P的坐标为0,3或25-19318,-7+193【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．9．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y(1)求A、B、C三点的坐标；(2)点D是直线BC上方抛物线上的点，连接BD、CD，求S△BCD(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A-1,0，B5,0(2)最大值为125(3)存在，2,41或2,-41或2,5+46或【分析】（1）分别令y=0、x=0计算即可得解；（2）求出直线BC的解析式为：y=-x+5，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，设点D的坐标为m,-m2+4m+5，则Em,-m+5，求出（3）设P2,n，则BP2=n2+9，CP2【详解】（1）解：令y=-x解得：x1=-1，∵点A在点B左侧，∴A-1,0，B当x=0时，y=5，∴C0,5（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B5,0，C∴5k+b=0b=5解得：k=-1b=5∴直线BC的解析式为：y=-x+5，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，设点D的坐标为m,-m2+4m+5∴DE=-m∴S∴当m=52时，△BCD的面积最大，最大值为（3）解：∵点P在抛物线对称轴上，且对称轴为：x=-4∴设P2,n，则BP2=n△BCP是等腰三角形，需分3种情况讨论：①当BC=BP时，n2+9=50，解得：此时点P的坐标为(2,41)或②当BC=CP时，(n-5)2+4=50，解得：此时点P的坐标为(2,5+46)或③当BP=CP时，n2+9=(n-5)此时点P的坐标为(2,2)．综上所述，满足条件的点P有5个，分别为2,41或2,-41或2,5+46或2,5-【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax2+bx+1（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B(1)求抛物线C1的函数表达式和点D(2)将抛物线C1向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为E，连接CE、DE，请问在平移过程中，是否存在m【答案】(1)抛物线C1的函数表达式为y=49x2(2)m的值为6或5或256【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．（1）利用待定系数法可求得抛物线C1的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D（2）根据平移的性质得到C2:y=49x-3+m2-3，则顶点E的坐标为3-m,-3，利用两点之间的距离公式求得CD=5，CE=m2【详解】（1）解：∵经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax∴81a+9b+1=13-解得a=4∴抛物线C1的函数表达式为y=y=4∴顶点D的坐标为3,-3；（2）解：由题意将y=49x-32-3∴C2∴C2的顶点E的坐标为3-m,-3对于C1，令x=0，则y=1∴C2与y轴交于点C的坐标为0,1即C0,1，D3,-3，E3-m,-3∴CD=3-0CE=3-mDE=3-m-3当CD=CE时，则m2解得m=0（舍去）或m=6，此时CD=CE=5，DE=6，符合题意；当CD=DE时，则m=5，此时CD=DE=5，CE=5当DE=CE时，则m2-6m+25=m，解得m=256综上，m的值为6或5或256②一定两动11．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx-3经过A-2,0，B4,0两点，与y

(1)求抛物线的解析式；(2)P在第四象限抛物线上，连接PB，∠PBC=12∠BCO(3)点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB方向运动，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA方向运动，M，N同时出发，运动时间为t秒，0<t≤5，连接MN，CN，当△CMN为等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】(1)y=(2)点P的坐标是10(3)258秒或5013秒或5秒或【分析】（1）分别将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3得到关于a（2）作∠BCO的平分线交x轴于K，过K作KH∥y轴交BC于H，求出C0,-3，直线BC解析式为y=34x-3，设Kp,0，由CK平分∠BCO，可得∠CKH=∠BCK，CH=KH，故p2+34p2=34p-3（3）过M作MR⊥y轴于R，由BN=CM=t，可得N4-t,0，M45t,35t-3，故CN2=4-t2+9=t2-8t+25；③当CM=MN时，t2【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-3经过A∴4a-2b-3=016a+4b-3=0解得a=3∴抛物线的解析式为y=3（2）如图，作∠BCO的平分线交x轴于K，过K作KH∥y轴交BC于∵抛物线y=38x2-当x=0时，得y=-3，∴C0,-3设直线BC解析式为y=kBCx+bBC∴4k解得：kBC∴直线BC解析式为y=3设Kp,0，则H∵CK平分∠BCO，∴∠OCK=∠BCK=1∵KH∥∴∠CKH=∠OCK，∴∠CKH=∠BCK，∴CH=KH，∴p-02解得：p=32或p=-6（此时K在∴K3设直线CK解析式为y=kCKx+bCK∴32解得：kCK∴直线CK解析式为y=2x-3，∵∠PBC=1∴PB∥设直线PB解析式为y=2x+q，过点B4,0∴0=8+q，解得：q=-8，∴直线PB解析式为y=2x-8，联立y=3解得：x=4y=0或x=∴P10（3）如图，过M作MR⊥y轴于R，∵B4,0，C∴OB=4，OC=3，∴BC=O根据题意得：BN=CM=t，∴N4-t,0∵RM∥x∴△CRM∽△COB，∴CRCO=CM∴CR=35t∴OR=3-3∴M4∴CN2=4-t2①当CN=CM时，t2解得：t=25②当CN=MN时，t2解得：t=0（舍去）或t=50③当CM=MN时，t2解得：t=5或t=25综上所述，t的值为258秒或5013秒或5秒或【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，平行线的判定和性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，两点间的距离，相似三角形判定与性质等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用．12．（2022九年级·全国·专题练习）综合与实践：如图，抛物线y＝34x2-94x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点(1)求点A，B，C的坐标；(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）(2)t的值为52，2513(3)存在，1或4【分析】（1）令y＝0，求出方程0=34x2-94x﹣3，可得点A（﹣1，0），点B（4，0），再令x＝0，可得点C（（2）根据勾股定理可得BC=5，然后分三种情况：当BD＝BE时，当BE＝DE时，当BD＝DE时，即可求解；（3）过点E作EH⊥BD于H，根据锐角三角函数可得HE=35t，然后分两种情况：当S△BDE=15S△BOC=65时，当S△BDE【详解】（1）解：令y＝0，可得0=34x2-94解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A（﹣1，0），点B（4，0），可得y＝﹣3，∴点C（0，﹣3）；（2）解：∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣3），∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC=OB当BD＝BE时，则5﹣t＝t，∴t=5当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH=12BD∵cos∠DBC=BO∴5-t2∴t=25当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF=12BE=∵cos∠DBC=BF∴12∴t=40综上所述：t的值为52，2513和（3）解：∵S△BOC=12BO×CO＝∴15S△BOC=65，45S如图1，过点E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC=HE∴HEt∴HE=35当S△BDE=15S△BOC=65时，则12（5﹣t∴t1＝1，t2＝4，当S△BDE=45S△BOC=245时，则12（5﹣t∴t2﹣5t+16＝0，∴方程无解，综上所述：t的值为1或4．【点睛】本题主要考查了二次函数与特殊三角形的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．2）直角三角形存在性问题解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角.13．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B4,0，C-2,0

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与12PK+PD的最大值及此时点(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)存在，12PK+PD的最大值为25(3)1,6或1,-4【分析】（1）将A、B、C代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线AB的解析式为y=12x-2，设Pm,14m（3）过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M1，连接AM1，设M11,n，【详解】（1）解：由题意得16a+4b+c=04a-2b+c=0解得：a=1∴抛物线的解析式为y=1（2）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，则有4k+b=0b=-2解得：k=1∴直线AB的解析式为y=1设Pm,14∴1解得：x=1∴K1∴PK=m-=-1∴1PD=-=-1∴=-=-1∵-1∴当m=32时，12∴y=1∴P3故12PK+PD的最大值为258（3）解：存在，如图，过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM

∵抛物线y=14x∴设M1∴A=nABB=n∵AB∴n解得：n=6，∴M设直线BM1的解析式为k1解得k1∴直线BM1解析式为∵AM2∥∴直线AM2解析式为∴当x=1时，y=-2×1-2=-4，

∴M综上所述：存在，M的坐标为1,6或1,-4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．14．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线y=-3x+23与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与AB(1)求点A、点B的坐标；(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长；(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A2,0，(2)AF=4-2t，EF=t(3)存在，y=【分析】（1）在直线y=-3x+23中，分别令y=0和x=0，即可求得A（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；（3）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4-2t,EF=t,又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E【详解】（1）解：在直线y=-3令y=0得-3解得：x=2令x=0得y=23∴A2,0，（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2∴∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=∵EF∥∴在Rt△BEF中，EF=BE⋅tan∠ABO=在Rt△ABO中，OA=2，OB=2∴AB=4，∴AF=AB-BF=4-2t；（3）解：存在．∵EG∥∴∠GFA=∠BAO=60°，∵G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4-t，且AF=4-2t,∴4-t=24-2t解得：t=即当t的值为43秒时，△AGF此时OE=OB-BE=2∴E(0,∵抛物线的顶点为A2,0，设抛物线解析式为y=a把E点坐标代入得：23解得：a=3∴抛物线的解析式为y=3即y=3【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键．15．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-3,0，B1,0两点，与y(1)求抛物线的表达式．(2)点P是抛物线上位于线段AC下方的一个动点，连接AP，CP，求△APC面积最大时点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使得以点A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为y=(2)点P的坐标为-(3)存在，满足条件的点Q的坐标为-1,-4或2,5或-1+52【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于D，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到S△APC=1（3）当△ACQ为直角三角形时，分三种情况：①∠CAQ=90°；②∠ACQ=90°；③∠CQA=90°；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A∴设抛物线的交点式为y=x+3x-1，即抛物线的表达式为（2）解：过点P作x轴的垂线，交AC于D，如图所示：由（1）知抛物线的表达式为y=x∴抛物线与y轴交于点C0,-3设直线AC:y=kx+b'，将A-3,0、C0,-3代入得∴直线AC:y=-x-3，∵点P是抛物线上位于线段AC下方的一个动点，设Pm,m2∴===-=-3∵a=-3∴抛物线开口向下，当m=-32时，S△APC有最大值，此时点P（3）解：存在，当△ACQ为直角三角形时，分三种情况：①∠CAQ=90°；②∠ACQ=90°；③∠CQA=90°；如图所示：设Qn,∵A-3,0、∴AC=32当∠CQA=90°时，即抛物线上的Q点（在第一象限，n>0），由勾股定理可得Q1A2+AC2=Q1∴Q当∠ACQ=90°时，即抛物线上的Q2点（在第三象限，n<0），由勾股定理可得Q2C2+AC2=Q∴Q当∠CAQ=90°时，即抛物线上的Q3、Q4点，由勾股定理可得QA2+QC2=AC2，则n+32+n∴Q3-1-综上所述，满足条件的点Q的坐标为-1,-4或2,5或-1+52,【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．3）等腰直角三角形存在性问题解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数.16．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x-4的图象经过点(1)求抛物线C1(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P【答案】(1)y=(2)C2:y=53x-(3)存在，点P的坐标为：2,2或-1,3【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．（1）将点D的坐标代入抛物线表达式y=ax2+（2）由题意得：C2:y=53x-12+43（3）分∠BAP为直角、∠DBP为直角、∠HPD为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．【详解】（1）解：将点D的坐标代入抛物线表达式y=ax2+43则抛物线的表达式为：y=5（2）解：由题意得：C2当x=1时，y=5故点D在抛物线C2（3）解：存在，理由如下：①当∠BAP为直角时，如图1，过点D作DE⊥BD且DE=BE，则△BDE为等腰直角三角形，∵∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠BDG=∠DEH，∵∠DGB=∠EHD=90°，∴△DGB≌△EHDAAS∴DH=BG=1，EH=GD=1+2=3，∴点E2,2当x=2时，y=53x-35∴点P即为点E2,2②当∠DBP为直角时，如图2，同理可得：△BGE≌△DHBAAS∴DH=3=BG，BH=1=GE，∴点E-1,3当x=-1∴点E在抛物线C2∴点P即为点E-1,3③当∠HPD为直角时，如图3，设点Ex,y同理可得：△EHB≌△DGEAAS∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x，解得：x=0且y=1，∴点E0,1当x=0时，y=5即点E不在抛物线C2综上，点P的坐标为：2,2或-1,3．17．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0、点B5,0

(1)求b，c的值．(2)点Px①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b=-4，c=-5(2)①当x0=52时，②当点P的坐标为7-332,3-333【分析】（1）将将A-1,0、B5,0代入抛物线（2）①由（1）可知：y=x2-4x-5，得C0,-5，可求得BC的解析式为y=x-5，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，易得PE=yE-y0=-x②由题意可知抛物线的对称轴为x对=--42×1=2，则xF=4-x0【详解】（1）解：将A-1,0、B5,0代入抛物线可得：1-b+c=025+5b+c=0，解得：b=-4即：b=-4，c=-5；（2）①由（1）可知：y=x当x=0时，y=-5，即C0,-5设BC的解析式为：y=kx+b，将B5,0，C0,-5代入可得5k+b=0b=-5，解得：k=1∴BC的解析式为：y=x-5，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，

∵Px0,∴点E的横坐标也为x0，则纵坐标为y∴PE=y△PBC的面积=====-5∵-5∴当x0=52时，②存在，当点P的坐标为7-332,3-333理由如下：由①可知PE=-x由题意可知抛物线的对称轴为直线x对∵PF∥x轴，∴∠EPF=90°，x0+x当点P在对称轴左侧时，即0<x

PF=xF-x0=4-2即：-x02解得：x0=7-此时y0=x当点P在对称轴右侧时，即2<x

PF=x0-xF=2即：-x02解得：x0=4（此时：y0=4综上所述，当点P的坐标为7-332,3-333【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．18．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)，点B(3,0)，与y(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【答案】(1)y=(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（1-2，-2）或（1-6，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线x=1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)∴a-b-3=09a+3b-3=0∴a=1b=-2∴抛物线解析式为y=x（2）解：∵抛物线解析式为y=x2-2x-3=x-12∴抛物线对称轴为直线x=1，点C的坐标为（0，-3）如图所示，作点C关于直线x=1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），

由轴对称的性质可知CQ=EQ，∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为y=k∴-k∴k1∴直线AE的解析式为y=-x-1，当x=1时，y=-x-1=-1-1=-2，∴点Q的坐标为（1，-2）；（3）解：如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作EF∥x轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，∴∠FMP=∠EPB，∴△FMP≌△EPB（AAS），

∴PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），∴BE=m，∴MF=2，PF=m，∴点M的坐标为（1-m，m-2），∵点M在抛物线y=x∴1-m2-2∴1-2m+m∴m2解得m=2或m=-1（舍去），∴点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作EF∥y轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，同理可证△PEB≌△BFM（AAS），∴BF=PE=2，∴点M的坐标为（3-m，-2），∵点M在抛物线y=x∴3-m2∴9-6m+m∴m2解得m=2+2或m=2-∴点M的坐标为（1-2，-2如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，同理可以求得点M的坐标为（1-6，2综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（1-2，-2）或（1-6，【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．4）相似三角形存在性问题解题大招：“相似三角形存在性问题”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过繁杂,一般会给出部分对应关系,最常见的就是给出一组同角(或等角),则同角(或等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)人手如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示,则建议通过解方程解决;反之,则需根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系,进而求解若出现无法确定等角(或同角)的情况,也可以列表分析.19．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+a与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y(1)如图1，求a的值及直线BC的解析式；(2)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC，AD，CD，设直线BC交线段AD于点E．当(3)在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形与【答案】(1)a=3，直线BC的解析式为y=-x+3(2)点D坐标为(1,4)或(2,3)(3)存在，理由见解析【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案；（2）证明△AEF∽△DEG，得到DEAE（3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，存在∠CAP=∠DCBC=90°、∠CPA=∠DCB=90°两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点PP'在【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+2x+a与y把C0,3代入y=-x2+2x+a得∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A，B当y=0时，0=-x2+2x+3，解得∴A-1,0∵直线过B(3,0)、C(0,3)，设直线BC:y=kx+b将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b'得：3k+b∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线BC于点F和点G，如图所示：设点D(m,-m2+2m+3)，G(m,-m+3)当x=-1时，y=4，∴F(-1,4)，AF=4，∵AF∥∴△AEF∽△DEG，∵SΔCDE∴DEAE=1∴-m2+3m=2，解得m∴点D坐标为(1,4)或(2,3)；（3）解：存在，理由如下：由题意得，点D(1,4)；由点B、C、D的坐标得，CD=2，BC=32∴C则tan∠CBD=CDBC=13=当点P在y轴时，如图所示：∵以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，当∠CAP=∠DCB=90°时，则cos∠ACP=cosα=ACCP当∠CPA=∠DCB=90°时，此时，点P、O重合且符合题意，故点P(0,0)；当点PP'在x轴上时，只有∠ACP'=∠DCB=90°，则AP综上，点P的坐标为(0,0)或(9,0)或0,-1【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键．20．（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A1,0、B3,0两点，交y轴于点C，点P为线段BC

(1)求抛物线解析式；(2)在点P移动过程中，△BPC的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)设点D为CB上不与端点重合的一动点，过点D作线段BC的垂线，交抛物线于点E，若△DCE与△BOC相似，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)y=(2)存在，最大面积为94，点P的坐标为(3)点E的坐标为378,37796【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，先求出抛物线与y轴的交点C的坐标是0,2,待定系数法求出直线BC的解析式，设点P的横坐标为m，得出点P的坐标为m,23m2-（3）当∠BCO=∠DCE时，△COB∽△CDE，过点O作OM⊥BC，交CE于点N，过点M作MP⊥OC，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BC的值，根据锐角三角函数求的OM=613，OP=1813，PM=1213，得出点M的坐标，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等得出OM=ON，根据中点坐标的特征求出点N的坐标，待定系数法求出直线CN的解析式，联立方程解求出直线CN与抛物线的交点坐标；当∠CBO=∠DCE时，△COB∽△EBC，过点C作CE∥OB，根据抛物线的对称性求出点E的坐标为4,2；当∠CBO=∠ECD时，△DCE∽△OBC，作DN⊥x轴于点N，作EG⊥DN于点G，作CF⊥DN交ND延长线于点F，设【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A故将A1,0、B3,0代入y=ax解得：a=2∴抛物线解析式为：y=2（2）解：存在，理由如下：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，如图：

当x=0时，y=2，即抛物线与y轴的交点C的坐标是0,2,设直线BC的解析式为y=kx+b，将B3,0，C0,2代入，得：解得：k=-2∴直线BC的解析式为y=-2设点P的横坐标为m，则点P的坐标为m,23m2-故PQ=-2∴△BPC的面积为12∴当m=32时，△BPC的面积存在最大值，最大值为此时点P的坐标为32（3）解：点E的坐标为378,37796或理由如下：如图，当∠BCO=∠DCE时，此时△COB∽△CDE，过点O作OM⊥BC，交CE于点N，过点M作MP⊥OC；

∵B3,0，C∴OB=3，OC=2，故BC=OC2+OB∵OM⊥CD，∠COB=90°，∴∠COM=∠CBO，∴cos∠COM=OMOC∴OM=613，OP=18∴M12∵∠BCO=∠DCE，∠CMO=∠CMN=90°，CM=CM，∴△CMO≌△CMNASA∴OM=ON，设点N的坐标为m,n，则m+02=12∴m=2413，∴点N的坐标为2413设直线CN的解析式为y=ax+c，将C0,2，N2413解得：a=5∴直线CN的解析式为y=5将y=23x2-解得：x1=0y∴点E的坐标为378如图，过点C作CE∥OB，则∠CBO=∠DCE，此时△COB∽△EBC，

∵抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A∴抛物线y=ax2+bx+2∵CE∥OB，故点C与点E关于抛物线y=23x∵点C的坐标为0,2，∴点E的坐标为4,2；如图，作BC的垂线DE，交抛物线于点E，且满足∠CBO=∠ECD，此时△DCE∽△OBC，∵点C的坐标为0,2，点B的坐标为3,0，∴OB=3,OC=2，∴tan∠CBO=设直线BC的解析式为y=dx+e，将C0,2，B3,0代入，得：解得：d=-2∴直线BC的解析式为y=-2作DN⊥x轴于点N，作EG⊥DN于点G，作CF⊥DN交ND延长线于点F，则∠F=∠EGD=∠CDE=90°，∴∠CDF=90°-∠EDG=∠DEG，∴△CDF∽△DEG，∴CD∴DG=2设Dm,-23∴DG=2∴GN=-2∴E5将E59m,-解得：m1∴点E的坐标为25综上可得，点E的坐标为378,37796或【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求二次函数的最值，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，求一次函数与二次函数图象的交点坐标等，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．21．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2(2)①当m=52时，PD有最大值为94；②当P的坐标为2,4或3,3时，△BPD【分析】（1）把0,0，A4,0，B1,3代入y=ax2+bx+ca≠0求解即可，利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令（2）①根据P、D的坐标求出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠PDB=∠ACO=45°，然后分△PBD∽△OAC，△PBD∽△AOC两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．【详解】（1）解：把0,0，A4,0，B1,3代入得c=016a+4b+c=0解得a=-1b=4∴二次函数的解析式为y=-x设直线AB解析式为y=mx+n，则4m+n=0m+n=3解得m=-1n=4∴直线AB解析式为y=-x+4，当x=0时，y=4，∴C0,4（2）解：①设Pm,-m2∴PD=-=-=-m-∴当m=52时，PD有最大值为②∵A4,0，C∴AO=CO=4，又∠AOC=90°，∴∠ACO=∠AOC=45°，又PD⊥x轴，∴PD∥∴∠PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，如图，∴∠BPD=∠AOC=90°，∴BP∥∴P的纵坐标为3，把y=3代入y=-x2+4x解得x1=1，∴m=3，∴-m∴P的坐标为3,3；当△PBD∽△AOC时，如图，过B作BF⊥PD于F，则BF=m-1，∠PBD=∠AOC=90°，又∠BDP=45°，∴∠BPD=45°=∠BDP，∴BP=BD，∴PF=DF，∴BF=1∴m-1=1解得m1=2，∴-m∴P的坐标为2,4综上，当P的坐标为2,4或3,3时，△BPD与△AOC相似．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．22．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-34

(1)求抛物线的表达式；(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；(3)点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=-(2)当m=-2时，DC(3)点P的坐标为23-42【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设Dm，-34m2-94（3）分两种情况：①当△ABQ∽△BQN时，②当【详解】（1）∵直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A∴A(-4，0)，∵抛物线y=-34x2+bx+c∴-12-4b+c=0c=3解得b=-9∴y=-3（2）设Dm,-∵DC∥作x轴，与直线AB交于点C∴34x+3=-3∴C-∴DC=-∴当m=-2时，DC的长的最大值为4；（3）设N(0,∵A(-4，0)，∴AB=32分两种情况：①当△ABQ∽

∵△ABQ∽△BQN∴∠ABQ=∠BQN，QN∴PQ∥AB，∴△OQN∽∴ONOB∴n3∴.QQ=43n，∴BQ=O∴59∴n=2716或∴OQ=43∴Q-94设直线PQ的解析式为y=∴94k+a=0a=∴直线PQ的解析式为y=34联立y=-34x2-∴点P的坐标为23-42②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于

∵△ABQ∽△QBN∴∠ABQ=∠QBN，∠BAQ=∠BQN，∴QH=QO，∵BQ=BQ，∴Rt△BHQ∴BH=OB=3，∴AH=AB-BH=2，设OQ=q，则AQ=4-q，QH=q，∴22+q2∴Q-∵∠BQO=∠BQN+∠OQN=∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ=∠BQN，∠ABQ=∠QBN，∴∠OQN=∠QBN，∵∠QON=∠BOQ=90°，∴△OQN∽∴ONOQ=∴n3=∴n=34∴Q-32,同理得直线PQ的解析式为y=12联立y=-34x2-∴点P的坐标为-11+229综上，点P的坐标为23-42,【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解．题型03特殊四边形存在性问题1）平行四边形存在性问题类型一三定一动类型二：两定一动【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想.①三定一动23．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2-2ax-3与x轴交于A，B两点，其中A-1,0，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．【答案】(1)y=x(2)平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为2,3或-4,-3或4,-3(3)①见解析；②点P的坐标为53,-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得A-1,0，B3,0，C0,-3，点D的坐标为d,n，分当AB、AC（3）①只要利用等边对等角证明PC=CN=NM=PM，即可得到四边形PCNM为菱形；②先求得直线BC解析式，设Mm,m2-2m-3，则Pm,m-3，求得PM=-m2【详解】（1）解：把A-1,0代入y=ax2∴a=1，∴抛物线解析式为：y=x（2）解：平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为2,3或-4,-3或4,-3．在y=x令y=0，得：x2解得：x1=3，∴A-1,0，B令x=0得y=∴C0,-3存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设点D的坐标为d,n，如图，分情况讨论：①当AB为对角线时，d+02=-1+3解得：d=2，n=3，∴D1②当AC为对角线时，d+32=-1+0解得：d=-4，n=-3，∴D2③当BC为对角线时，d-12=3+0解得：d=4，n=-3，∴D3综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为2,3或-4,-3或4,-3；（3）解：①证明：∵△PCM沿CM对折，P的对应为点N，∴PC=CN，PM=NM，∠PCM=∠NCM，∵PM垂直于x轴CN在y轴上，∴PM∥∴∠PMC=∠NCM，∴∠PMC=∠PCM，∴PC=PM，∴PC=CN=NM=PM，∴四边形PCNM为菱形；②设直线BC解析式为y=kx+b，∵B3,0，C∴3k+b=0b=-3解得：k=1b=-3∴直线BC解析式为：y=x-3，设Mm,m2∴PM=m-3-m∵A-1,0，B3,0，∴OB=OC=3，AC=10又∠BOC=90°，∴BC=2∴∠PBA=∠OCB=45°=∠MPC，∴CP=2要使△PCM和△ABC相似，共有两种可能：1）当△CPM∽△CBA，∴PCBC=PM解得：m1=5∴P52）当△CPM∽△ABC，∴PCAB即2m解得：m1=3∴P3综上所述，点P的坐标为53,-4【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键．24．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点（点A在点B的左侧），与

(1)求该抛物线的解析式；(2)若D为抛物线的顶点，求△ACD的面积；(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x(2)6；(3)点P的坐标为6,8或-6,8或-2,-8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先根据抛物线的解析式求得顶点坐标，设直线AC的解析式为y=kx+8，待定系数法求出解析式，得到DE，根据△ACD的面积为12（3）根据题意分三种情况讨论，①当AB∥CP1，AB=CP1时，②当AB∥CP2，AB=CP【详解】（1）解：由题知，抛物线y=-x2+bx+c过点B∴-22+2b+c=0∴该抛物线的解析式为y=-x（2）解：∵y=-x2-2x+8=-∴D-1,9设直线AC的解析式为y=kx+8，∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点（点又抛物线对称轴为x=-1，∴A-4,0将A-4,0代入y=kx+8中，有-4k+8=0，解得k=2∴直线AC的解析式为y=2x+8，作DE∥y轴，交AC于点E，连接AD，

有E-1,6∴DE=9-6=3，∴△ACD的面积为：12（3）解：存在，

①当AB∥CP∵AB=6，∴P1的坐标为6,8②当AB∥CP∵AB=6，∴P2的坐标为-6,8③当BC∥AP3，BC=AP有∠P3AM=∠CBO∴△P∴AM=OB=2，P3∴OM=OA-AM=2，∴P3的坐标为-2,-8综上所述，点P的坐标为6,8或-6,8或-2,-8．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．②两定两动25．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使