第十一章 三角形（五大压轴题专练）（原卷版）

第十一章三角形（五大压轴题专练）【题型一三角形中高线的综合问题】1.已知：点，，，，过点Ｃ是作y轴的垂线m，垂足为C．

(1)如图1，连接、，求的面积；(2)如图2，延长BA交直线m交于点D，在CD上存在点P，使，请补全图形，并求点P的坐标；(3)请在备用图中画图探究：若点P是直线m上的一个动点，连接交x轴于点M，连接,当时，直接写出点Ｍ的坐标．2．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在题干的基础上，①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：；②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值．3．在平面直角坐标系中，有点，，且a，b满足，将线段向上平移k个单位得到线段．

(1)直接写出______，______；(2)如图1，点E为线段上任意一点，点F为线段上任意一点，．点G为线段与线段之间一点，连接，．且，，求的度数；(3)如图2，若，过点C作直线轴，点M为直线l上一点，延长交l于K；①用面积法求K点坐标；②若的面积为10，求点M的坐标．【题型二三角形中中线的综合问题】1.【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．①若是的中线，求证：；②若，则______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．①求证：；②若，则______．2．基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，是边上的中线，则．理由：因为是边上的中线，所以．又因为，，所以．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则（用含a的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为（用含a的代数式表示），并写出理由．3．阅读与理解：三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．理由：，，即：等底同高的三角形面积相等．操作与探索在如图2至图4中，的面积为．(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？【题型三三角形中角平分线的综合问题】1.已知，，点C是直线，下方一点，连接，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）2．在平面直角坐标系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）两点，并且a，b满足．(1)请直接写出a，b的值；(2)如图1，BC⊥x轴于点C，AB交y轴于点D，点F（m，n）在线段AB上，求点D的坐标，并求m与n满足的关系式；(3)如图2，若CF，BE分别是△ABC的高与角平分线，BE交CF于点G，CH平分∠ECG，交BE于点H，求证：CH⊥BE．【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】1.在中，点是延长线上一点．

(1)如图1，过点作，交于点，．①若，则______°；②试写出与的数量关系，并说明理由；③当时，求的度数；④若，请说明；(2)如图2，交于点，，直接写出、与之间的数量关系．2．（1）如图①所示，中，点是和的平分线的交点，若，则_____________（用表示）；不用说明理由，直接填空．如图②所示，，，若，则____________（用表示），不用说明理由，直接填空．

（2）如图③所示，，，若，则___________（用表示），填空并说明理由．3．已知点在射线上，．

(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，垂足为，交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当，时，求的度数．4．在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．

(1)如图1，如果点F在线段上，且，，则______．(2)如果点F在的外部，分別作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点与点重合，、分别平分和的外角，连接，过点作交延长线于点，交的延长线于点，若，且，求的度数．【题型五多边形的内角和与外角和综合问题】1.【感知】如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则___________；【探究】如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为___________．

2．观察图形，按要求完成：(1)在四边形中，，．

①如图，若，则=________；②如图，若的平分线交于点、且，则________；③如图，若和的平分线相交于点，则________；(2)如图，当时，若和的平分线交于点，请说明与之间的数量关系．3．动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？(1)已知：如图，在中，分别平分和，试探究与的数量关系；(2)探究二：若将改为任意四边形呢？已知：如图，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系；（写出说理过程）(3)探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3））呢？请直接写出与的数量关系：.4．如图1，我们分别研究过三角形中两内角平分线所成的、两外角平分