2025年济南槐荫区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

年学业水平阶段性调研测试九年级数学（2025.04）（满分150分时间120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列各数中，与20互为相反数的是（）A.−20B.−120C.1202.未来将是一个可以预见的AI时代。AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学。下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（）3.在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼−35A战机亮相进行了飞行表演。歼−35A作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目。它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径可达1350000米，可以打造滑跃起飞和弹射起飞的不同版本。数据1350000用科学记数法表示为（）A.135×104B.1.35×104C.1.35×106D.13.5×1054.如图，直线a∥b，若∠1=35∘，那么∠2的大小为（）A.60∘B.55∘C.45∘D.35∘5.下列运算正确的是（）A.(−2a)3=−6a3B.a−a2=aC.a3·a2=a6D.a3÷a2=a6.计算4a﹣2−2aA.4﹣2aa﹣27.中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远。《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著。槐荫区某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中含有《周髀算经》的概率为（）A.14B.13C.128.将4个数a、b、c、d写成如下形式：，定义=ad−bc，则方程=−8的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根9.如图，矩形ABCD中，AB=6、BC=8，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD、AD于点M、N，则CN的长为（A.10B.210C.43D.810.如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒。设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2。已知y与t的函数关系图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=35；③当0<t≤5时，y=25t2；④当t=294A.①②③B.②③C.②④D.①③④二、填空题（本大题共5个小题。每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。）11.分解因式：x2−3x=。12.《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形。如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是。13.如图，正五边形ABCDE内接于半径为3的⊙O，则阴影部分的面积为__________。14.某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示。已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续__________秒。15.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别在边AB、CD上，且BE=DF，将线段E绕点F顺时针旋转90∘得到线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为__________。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：(13)−1+1﹣3−2sin60∘+(π−2023)17.（本小题满分7分）解不等式组x﹣18.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，且DE=BF，连接BE、DF交于点G。求证：BE=DF。19.（本小题满分8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起。起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60∘；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为A′、C′，此时测得∠CA′B=37∘（点C、A、A在同一直线上，且直线CA′与地面平行，图3中所有点在同一平面内）。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变。（参考数据：sin37∘≈0.6、cos37∘≈0.80、tan37∘≈0.75、3≈1.73）(1)求绳子的总长；(2)AB=6，求物体上升的高度CC′（结果精确到0.1m）。20.（本小题满分8分）为引导激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。槐荫区某校开展主题为“乐学悦读”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型，A：2本；B：3本；C：4本；D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）。根据以上信息，解答下列问题：(1)本次抽查学生______人，a=，将条形统计图补全；(2)本次抽取学生的读书量的众数是______本，中位数是______本；(3)在扇形统计图中，D类型所对应的扇形圆心角度数是______度；(4)学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数。21.（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，点D是AC上一点，以AD为直径的⊙O交BC、AB于点E、F，连接OF、EF、DE，且DE=EF。(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB=6，⊙O的半径为4，求CD的长。22.（本小题满分10分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购进“滨滨”的数量是用4800元购进“妮妮”数量的2倍。(1)求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购进的总费用不超过11000元，出售时，“滨滨”单价为90元，“妮妮”单价为140元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？23.（本小题满分10分）如图，直线AB：y1=ax+b与反比例函数y2=kx(1)求反比例函数及直线AB的表达式；(2)求△OAB的面积；(3)在直线l：x=1上是否存在一点P，使得S△PAB=S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标。24.（本小题满分12分）在等边△ABC中，AM为中线，D是线段MC上的动点（不与点M、C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转120∘得到线段DE。(1)如图1，当点A、C、E共线时，连接EM：①求证：D是MC的中点；②AE与EM的位置关系是，AE与EM的数量关系是______；(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与B、M重合）使得C、F两点关于点D中心对称，连接AE、EF，线段AE、EF存在怎样的关系，请说明理由。25.（本小题满分12分）如图1，抛物线C1经过点A(−3,0)、C(0,3)，对称轴为直线x=−1，直线BE与x轴所夹锐角为45∘，与y轴交于点E。(1)求抛物线C1和直线BE的表达式；(2)将抛物线C1沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线BE恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；(3)如图2，将抛物线C1沿直线BE翻折，得到新曲线C2，C2与y轴交于M、N两点，请直接写出M点坐标。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列各数中，与20互为相反数的是（A）A.−20B.−120C.1202.未来将是一个可以预见的AI时代。AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学。下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（D）3.在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼−35A战机亮相进行了飞行表演。歼−35A作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目。它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径可达1350000米，可以打造滑跃起飞和弹射起飞的不同版本。数据1350000用科学记数法表示为（C）A.135×104B.1.35×104C.1.35×106D.13.5×1054.如图，直线a∥b，若∠1=35∘，那么∠2的大小为（B）A.60∘B.55∘C.45∘D.35∘5.下列运算正确的是（D）A.(−2a)3=−6a3B.a−a2=aC.a3·a2=a6D.a3÷a2=a6.计算4a﹣2−2aA.4﹣2aa﹣27.中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远。《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著。槐荫区某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中含有《周髀算经》的概率为（C）A.14B.13C.128.将4个数a、b、c、d写成如下形式：，定义=ad−bc，则方程=−8的根的情况为（A）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根9.如图，矩形ABCD中，AB=6、BC=8，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD、AD于点M、N，则CN的长为（BA.10B.210C.43D.810.如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒。设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2。已知y与t的函数关系图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=35；③当0<t≤5时，y=25t2；④当t=294A.①②③B.②③C.②④D.①③④二、填空题（本大题共5个小题。每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。）11.分解因式：x2−3x=x（x﹣3）。12.《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形。如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是1213.如图，正五边形ABCDE内接于半径为3的⊙O，则阴影部分的面积为____18π514.某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示。已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续_____20_____秒。15.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别在边AB、CD上，且BE=DF，将线段E绕点F顺时针旋转90∘得到线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为_____85三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：(13)−1+1﹣3−2sin60∘+(π−2023)=3+3﹣1﹣3+1﹣22=3﹣2217.（本小题满分7分）解不等式组x﹣解：解不等式①得：x≥1解不等式②得：x<4原不等式组的解集为1≤x<4该不等式组的整数解为1,2,3。18.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，且DE=BF，连接BE、DF交于点G。求证：BE=DF。解：证明∵四边形ABCD是菱形，∴BC=DC∵DE=BF∴CE=CF在△BCE和△DCF中BC=DC∴△BCE≌△DCF(SAS)∴BE=DF.19.（本小题满分8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起。起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60∘；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为A′、C′，此时测得∠CA′B=37∘（点C、A、A在同一直线上，且直线CA′与地面平行，图3中所有点在同一平面内）。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变。（参考数据：sin37∘≈0.6、cos37∘≈0.80、tan37∘≈0.75、3≈1.73）(1)求绳子的总长；(2)AB=6，求物体上升的高度CC′（结果精确到0.1m）。解：(1）由题意得：∠BCA=90°'在Rt△ABC中，AC=3m,∠CAB=60°,cos60°=ACAB,tan60°=∴AB=6m,BC=33m∴AB+BC=(6+33)m答：绳子总长为（6+33)m。(2）在Rt△BCA'中，sin∠CA'B=BC∴sin37°=33∴BA'=53m由（1）得，BC'+BA'=6+33∴BC'=BC+AB-BA'=33+6-53=6-2√3(m)∴CC'=BC-BC'=33-(6-23)=53-6≈2.7(m)答：物体上升的高度约为2.7m。20.（本小题满分8分）为引导激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。槐荫区某校开展主题为“乐学悦读”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型，A：2本；B：3本；C：4本；D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）。根据以上信息，解答下列问题：(1)本次抽查学生______人，a=，将条形统计图补全；(2)本次抽取学生的读书量的众数是______本，中位数是______本；(3)在扇形统计图中，D类型所对应的扇形圆心角度数是______度；(4)学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数。解：(1)100,40D组：5本的学生人数为：100-5-40-35=20（人）(2)34(3)72(4)2000x35+答：估计该校此次受表扬的学生人数有1100人。21.（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，点D是AC上一点，以AD为直径的⊙O交BC、AB于点E、F，连接OF、EF、DE，且DE=EF。(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB=6，⊙O的半径为4，求CD的长。(1）证明：如图，连接OE∵DE=EF∴∠EOF=∠EOD∴∠A=12∠DOF=∠∴OE//AB∵∠B=90∴OE⊥BC∴BC是⊙O的切线(2）解：∵OE//AB,∴∠COE=∠A∵∠C=∠C∴△COE∽△CAB∴46=解得：CD=4。22.（本小题满分10分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购进“滨滨”的数量是用4800元购进“妮妮”数量的2倍。(1)求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购进的总费用不超过11000元，出售时，“滨滨”单价为90元，“妮妮”单价为140元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？解：(1）设购买一个"滨滨"需要x元，则购买一个"妮妮"需要（x+40）元，根据题意得：6400x=2×x=80经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意∴x+40=80+40=120（元）答：购买一个"滨滨"需要80元，一个"妮妮"需要120元；(2）设购买m个"妮妮"，则购买（100一m）个"滨滨",根据题意得：80(100-m)+120m≤11000解得m≤75设全部售出后获得的总利润为w元w=(140-120)m+(90-80)(100-m)=10m+1000∵10>0∴w随m的增大而增大，当m=75时，w取得最大值，最大值为75x10+1000=1750（元）。答：当购进75个"妮妮"时，所获利润最大，最大利润是1750元。23.（本小题满分10分）如图，直线AB：y1=ax+b与反比例函数y2=kx(1)求反比例函数及直线AB的表达式；(2)求△OAB的面积；(3)在直线l：x=1上是否存在一点P，使得S△PAB=S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标。解：(1）把A(-2,4)，代入y2=﹣得k=(-2)x4=-8∴反比例函数的表达式为y2=﹣8把B(-4,m）代入y2=﹣8得m=2,∴B(-4,2)把A(-2,4),B(-4,2）分别代入y1=ax+b(a≠0）得﹣解得a∴一次函数表达式为y1=x+6（2）设直线y1=x+6交y轴于C,在一次函数y1=x+6中，令x=0，得y1=6∴C(0,6)∴S△OAB=S△OBC-S△OAC=12x6x4-1∴△OAB的面积为6（3）存在，P（1，1）或（1，13）24.（本小题满分12分）在等边△ABC中，AM为中线，D是线段MC上的动点（不与点M、C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转120∘得到线段DE。(1)如图1，当点A、C、E共线时，连接EM：①求证：D是MC的中点；②AE与EM的位置关系是，AE与EM的数量关系是______；(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与B、M重合）使得C、F两点关于点D中心对称，连接AE、EF，线段AE、EF存在怎样的关系，请说明理由。解：(