《金融工程》 课件 第5、6章 金融工程定价原理；远期与期货定价

第五章金融工程定价原理《金融工程》主要内容第一节金融产品定价原则第二节

利息的度量第三节

金融工程的定价原理第四节

定价的目的和用途学习要求了解衍生金融产品定价的基本假设、目的与用途；理解连续复利的概念，掌握利率的等价换算；理解金融工程的无套利定价原理和风险中心定价原理的核心思想和应用技巧。5第一节金融产品定价原则一、绝对定价法与相对定价法绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现成现值，该现值就是绝对定价法要求的价格。相对定价法则利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格。资产的当前价值等于其未来现金流贴现值之和。假设是面值为100元的债券在第k年获得的利息，则n年期的面值为100元的债券的价格为一、绝对定价法与相对定价法二、衍生金融产品定价的基本假设市场不存在摩擦，即没有交易成本、没有保证金、没有卖空限制市场参与者不承担对手风险。即合同没有违约问题市场是完全竞争的市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好市场不存在套利机会。无套利假设是金融衍生工具定价理论生存和发展的最重要的假设所有市场参与者能够以无风险利率进行借贷9第二节利息的度量一、利息的度量利息：利息是指在一个借贷关系中，由借款人为了取得一定数量的资金在一定期限内的使用权，而支付给贷款人的报酬。其实质是一定期限内资金延迟使用的成本。现值：指未来某个时刻的资金折算到当前时刻的价值。终值：指当前时刻的资金在未来某个时刻的价值。一、利息的度量单利(SimpleInterest)：仅以本金计息的方式，利息为本金、利率与时间的乘积。复利(CompoundInterest)：在每期满时，将应得利息加入本金再计息的方式，由计息周期不同而产生差异，如年复利、半年复利、季度复利。贴现因子(DiscountFactor，DF)：指未来某个时刻的资金在当前时刻的价值折算系数累计因子(AccumulationFactor，AF)：指当前时刻的资金在未来某个时刻的价值增长系数假设在银行存入$1,年利率为R，投资n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：如果每年计m次复利，则一年后账户金额为：现年支付频率逐步增加，当m趋于无穷大时，1年后账户余额为：这就是当利率为连续复利（Continuouscompounding）时，一年后能从银行获得的金额。那t年后呢？二、连续复利例5.1：单利、复利、连续复利差距有多大唐朝的一元历经1300年,按年利率5％计算，至今的本息和：单利、复利、连续复利这表明要获得长期稳定收益很困难例5.1：单利、复利、连续复利差距有多大（一）连续复利的本质通过微分的方法来得出复利公式。如果在t时刻查询一下账户，过会，即t+dt时刻再查询一次，会发现金额增加了:…等式的右边就是泰勒级数展开。但是所增加的利息也是与所拥有金额M、利率r、时间段dt成比例的因此：故：在上述求解过程中，若每个时刻的利率都不同，记为r(t)，我们就有：（一）连续复利的本质（二）连续复利的优点通常认为连续复利率与每天计复利等价，连续复合利率的优点：连续复合利率反映了利率的本质特征在衍生工具定价中，采用连续复合利率可以简化表达

三、利率的等价换算例：假设即期利率为8%，连续复利，一个1000面值的债券以面值发行，利息每季度支付一次，试计算1000元面值的债券每次支付的利息。三、利率的等价换算20第三节金融工程的定价原理一、无套利定价原理套利：在某项资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下，获得无风险利润。如果市场是有效的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。

（二）无套利定价方法的主要特征

无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。

无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合卖空，是套利组合的一个重要特征（三）无套利定价的实施过程（四）无套利定价应用1——远期利率计算

即期利率（spotrate）：指在当前时刻计算的期限为T的利率水平，我们通常所说的零息债券的到期收益率就是即期利率的例子，记为r(t,T)

远期利率（forwardrate）：指在当前时刻确定的，未来某时刻T开始的，距T期限为T’-T的利率水平。一般用F(t，T，T’)表示，t代表当前时刻；利率期限结构：指在其他条件相同的情况下，利率与到期期限之间的关系。利率曲线：利率期限结构的图形表达常见类型：到期收益率曲线，即期利率曲线，远期利率曲线，贴现因子曲线实践应用：中国债券信息网（四）无套利定价应用1——远期利率计算到期收益率曲线：债券价格计算散点图，平滑函数拟合曲线即期利率曲线远期利率曲线债券数据，bootstrap方法+曲线拟合利率建模，用市场数据校正参数：债券数据，利率互换数据等；（四）无套利定价应用1——远期利率计算27（四）无套利定价应用1——远期利率计算衍生品定价的折现因子：折现未来的现金流到未来的时点确定远期利率协议（FRA）的协议利率欧洲美元期货的理论报价利率互换的协议利率确定（四）无套利定价应用1——远期利率计算应用：FRA协议利率的确定--单利计算方式下is,DsiF，DFiL,DL例5.4FRA交易商报价利率确定

远期利率协议的协议利率计算

6.远期利率协议的合约价值计算

解析：

解析（续）：T：远期合约到期时间St：标的资产在t时刻的价格K:远期合约中的交割价格ft：t时刻远期合约的价值F(t,T):资产在t时刻确定的，到期日为T的远期价格r：连续复利下的无风险利率。符号定义：（四）无套利定价应用2——远期价格计算例5.6：考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约多头，三个月后到期，设当前股价为$40，三个月期即期无风险利率为5%（连续复利），试求使得该远期合约价值为0的协议价格？（四）无套利定价应用2——远期价格计算例题解析：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-rT的现金；组合B：一单位标的资产。期末价值：A：-K+K+ST=STB：ST资产的远期价格（ForwardPrice）：指当前确定的使得相应到期时间的远期合约价值为零的协议价格。远期价格作用：1）远期合约理论上的协议价格2）任何时刻期货的理论报价3）远期合约价值的计算依据（四）无套利定价应用2——远期价格计算套利策略的设计如何构造套利策略？第一种情况：K=43，协议价格被高估第二种情况：K=39，协议价格被低估K=43，买现卖期——持有成本策略具体套利策略(1单位标的资产为例，期末获益)：初始时刻（0）到期日（T）策略实施净现金流具体套利策略(1单位标的资产为例,期初获益)：K=39，卖现买期——反向持有成本策略初始时刻（0）到期日（T）策略实施1.取出无风险资产投资获益K2.执行远期合约买入资产，支付K3.平仓资产空头净现金流远期价格的作用远期价格，一方面是远期合约理论上的协议价格，一方面也是期货的理论报价远期价格也是远期合约价值的计算依据二、风险中性定价原理在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。

风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

（一）风险中性定价原理使用风险中性方法为远期和期货定价是非常容易的，根据风险中性定价法则：任何产品的未来收益预期都是无风险收益，因此当前价值应该等于未来现金流期望的无风险折现。远期合约到期的价值为：故当前远期合约的价值为：（二）风险中性定价原理的应用若标的资产在有效期内没有产生现金流，则：由于远期合约初始时刻没有价值，即V0=0，故：（二）风险中性定价原理的应用三、无套利定价与风险中性定价的关系风险中性定价原理是在市场无套利下，利用数学理论获得的一种简便的定价技巧，风险中性定价法的基本前提也是市场不存在套利机会和资产可复制，因此风险中性定价和无套利定价是内在一致的。风险中性定价作为一种定价的便捷方法，其在定价方面可以化繁为简，大大简化过程，相对无套利定价具有明显的优势。风险中性定价无法给出价格不合理时如何设计套利策略三、无套利定价与风险中性定价的关系风险中性定价作为一种数学技巧，是严格依赖市场假设的。一旦加入市场摩擦如借贷利率的差异，交易成本的存在，卖空的限制，风险中性定价原理就无法直接套用而此时无套利定价原理仍然可以继续应用，因此无套利定价适用的情景更加广泛。49第四节定价的目的和用途定价的目的与用途估值依据：债券发行、衍生产品报价；风险度量的基础：敏感度分析、情景分析，VAR计算，信用风险度量；隐含参数的计算：隐含波动率，公司的市场价值；利率期限结构：利率互换与利率期限结构；套利活动依据：期货的跨市套利，跨期套利Ending第六章远期与期货定价《金融工程》53主要内容第一节已知现金收益资产的远期和期货定价第二节

已知收益率资产的远期和期货定价第三节

远期和期货定价的其他问题学习要求理解不同情形下的远期和期货无套利定价的思路和套利策略设计思路；掌握不同情形下的定价公式，能够应用股指期货、国债期货、外汇期货、商品期货的定价公式计算不同期货的理论价格，设计价格不合理时的套利策略；了解期货价格和远期价格、现货价格的关系。56第一节已知现金收益资产的远期和期货定价一、已知现金收益资产的远期价格支付现金收益的资产特征是在远期（期货）有效期期间，标的资产会产生完全可预期的确定性现金流股票发放的现金红利，债券支付的固定票息，商品存储支付的仓储成本...例6.1考虑购买一份附息票债券的远期合约，债券的当前价格为900元，假定远期合约期限为一年，债券在5年后到期，假设6个月后，债券会支付40元的利息，其中第二次付息日恰恰是远期合约交割日的前一天。6个月与一年期的无风险连续复利分别为9%和10%，求该远期合约的交割价格。一、已知现金收益资产的远期价格组合A：一份期货合约多头加上一笔数额为Ke-0.1的现金；组合B：一单位标的资产+40e-0.045的6个月期负债+40e-0.1的1年期负债。期末价值：A：ST-K+K=STB：ST推导方法例6.1结论对于一般情况，设标的资产当前价格为St，远期合约期间需支付的收益的现值为It，无风险利率为r，距合约的到期期限为T-t，则当前(t时刻)远期价格为：二、定价不合理的套利策略设计若远期签约时执行价格不等于远期价格，或者期货报价不等于远期价格，就会产生套利机会，利用上述组合的一买一卖就可以构建套利策略。若K>F(t,T)：套利者可以卖出远期合约，买入资产，即实施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以买入远期合约，卖空资产，实施反向持有成本策略例6.1续如何构造套利策略？第一种情况：K=930第二种情况：K=905总结：：套利者可以卖出远期合约，买入资产：套利者可以买入远期合约，卖出资产由于912.39<930，故债券远期的协议价格被高估，可以卖出债券远期，买入债券现货构建持有成本策略，具体策略表所示。63K=930的持有成本套利策略时间0时刻6个月12个月市场操作1.借入900元，+900，其中:38.24元以9%的年利率借入6个月861.76元以10%的年利率借入1年2.购买一份债券现货:-900元3.卖出债券远期:0元1.6个月期38.24元贷款的本息和:-40元2.债券在6个月后收到利息:40元1.偿还861.76元贷款的本利和:-861.76e0.1×1=-952.39元2.债券在12个月后收到利息:+40元3.执行远期合约，出售债券，+930元净现金流0元0元17.61元由于912.39>905，故故债券远期的协议价格被低估，可以买入债券远期，卖空债券现货构建反向持有成本策略64K=905的反向持有成本套利策略时间0时刻6个月12个月市场操作1.卖空债券现货:+900元2.以38.24元做6个月期的无风险投资:-38.24元3.以861.76元做1年期的无风险投资:-861.76元4.买入一份债券远期1.38.24元投资6个月的本息:40元2.支付6个月后的债券利息:-40元1.861.76元投资1年的本息:952.39元2.40元用来支付一年后的债券利息:-40元3.905元用来交割到期的远期合约:-905元4.所得的债券用来平仓现货空头净现金流0元0元17.61元适用产品发放现金红利的股票或者股指期货发放票息的国债期货包含存储成本或者便利收益的商品期货（存储成本可以看做负的现金红利）三、国债期货的定价在利率确定的情况下，期货的报价等于相应时间长度的远期价格。但国债期货的标的资产是虚拟国债，怎么办？债券远期：空方应收到的现金=债券远期价格

（1）国债期货：空方应收到的现金=期货报价X交割债券的转换因子+交割债券的应计利息(AIT)（2）期货理论报价=(债券的远期价格-AIT）/转换因子（一）可交割债的无套利价格债券的远期价格=（债券净价报价+AIt-It）er(T-t)It（一）可交割债的无套利价格国债期货的报价是与CTD相关联的：期货理论报价=(CTD的远期价格-AIT）/转换因子即：国债期货的报价如何计算？

(6.4)式中，若债券为CTD券，则为期货的理论报价，若为任一可交割债，则为该可交割债对应国债期货的无套利价格卖方会选择成本最低的债券作为交割债，因此我们自然选择使得F_t最低的债券作为最可能用于交割的债券，这就是基于无套利价格选择最便宜可交割债的方法。因此，我们得到到期前选择最便宜可交割债的第三种方法：具有最低无套利价格的可交割债是最便宜可交割债。（二）基于无套利价格选择最便宜可交割债例6.4

假设目前6个月到期的我国5年期国债期货仅有3种可交割债X、Y、Z，如表6.3所示，表6.3中也包括在当前时间t点的债券价格及各债券的转换因子和无套利价格，假设一年期连续无风险利率为4%，所有三种债券每一年支付利息,最后一期的息票刚支付。

计算债券X的无套利价格，并确定谁是该国债期货的最便宜可交割债解析

（三）国债期货的套利策略设计当国债期货的理论报价偏离计算的取值时,就可以利用最便宜交割债和国债期货之间的价差进行套利。例6.5.国债期货的套利—买现卖期假设当前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我国5年期国债期货（TF2306）报价为100.83元（剩余期限为41天，一年按照365天计算），而TF2306的CTD为一个10年期的附息国债，息票率为3.46%，剩余期限为4.19年，该债券净价报价为102元，当前应计利息为2.8元，在TF2306到期日的应计利息为3.21元，期货到期期限内CTD没有利息支付，CTD的转换因子为1.0174,假设无风险利率为2.13%(连续复利).在不考虑交易成本和允许卖空的情况下，上述价格是否存在套利机会，如果存在如何套利，给出具体的套利策略和最终的套利收益情况。

例6.5国债期货的套利—买现卖期持有成本套利策略--套利过程此处主要考虑到标的国债与CTD的差别，由于转换因子的存在，会使得单位国债期货的每日结算金额与单位CTD的价值变化不均等。初始时刻期货到期日1.借入104.8元，+104.82.买入1单位CTD(面值100元),-104.82.卖出1.0174单位国债期货1.平仓了结0.0174单位国债期货，获益0.0174×(F0-FT)2.以原CTD券交割1单位国债期货,获益：F0-FT+1.0174×FT+AIT3.偿还借款104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051净现金流=0净现金流=1.0174F0+AIT-105.051=1.0174×100.83+3.21-105.051=0.7434假设当前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我国5年期国债期货（TF2306）报价为99元（剩余期限为41天，一年按照365天计算），而TF2306的CTD为证券代码为一个10年期的附息国债，息票率为3.46%，剩余期限为4.19年，该债券净价报价为102元，当前应计利息为2.8元，在TF2306到期日的应计利息为3.21元，期货到期期限内CTD没有利息支付，CTD的转换因子为1.0174,假设无风险利率为2.13%(连续复利).在不考虑交易成本和允许卖空的情况下，上述价格是否存在套利机会，如何存在如何套利，给出具体的套利策略和最终的套利收益情况。例6.6国债期货的套利—买期卖现

国债期货的套利问题反向持有成本套利策略--套利过程初始时刻期货到期日1.卖空1单位CTD（面值100元）,+104.82.买入1.0174单位国债期货3.将所得收入104.8元投资无风险资产,-104.81.平仓了结0.0174单位国债期货，获益0.0174×(FT-F0)2.交割1单位国债期货,获得CTD券,平仓CTD空头，获益：FT-F0-(1.0174×FT+AIT)投资收入104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051净现金流=0净现金流=105.051-（1.0174F0+AIT）=105.051-1.0174×99-3.21=1.1184反向持有成本策略存在的问题1.卖空限制的影响。由于该策略中需要卖空国债现货，卖空限制可能使得上述策略无法实施。2.CTD券的变动。由于卖方选择权，CTD券未来有可能发生变动，因此未来的交割对手未必使用实施者手中的债券进行交割，此时策略实施者会面临两种债券的平仓风险。3.卖方选择权使得国债期货价格理论上就应该低于CTD券对应的无套利价格，有可能并不存在套利机会。现实中对国债期货实施反向持有成本策略存在更多的困难和不确定性四、商品期货的定价针对商品的储存费用：可以看成持有现货期间会产生的负的现金红利，故：针对商品的便利收益（若看作现金收益）：将利率改成单利：因此:期货价格-现货价格=资金成本+仓储成本-便利收益四、商品期货的定价例题6.7（商品期货）考虑黄金的一年期货合约，假设当前现货价格为450美元，无风险连续复利为7%.每盎司黄金的储存成本为2美元，期末支付储存成本。试计算1年期黄金期货的理论价格。到期日黄金有储存成本2美元，故1年期黄金期货的理论价格为：解析：84第二节已知收益率资产的远期和期货定价一、已知收益率资产的远期价格1.红利再投资的概念：红利再投资，是指将资产所得收益立即投资到该资产中的投资行为。通过红利在投资，我们虽然不知道资产未来获得的红利收益的具体价值，但可以转换为确定数量的资产，由此取消红利价值的不确定因素。例题6.8假设一支股票在6个月内将发放一次股票红利，发放比例为1:0.1，即红利率为q=10%，则考虑红利再投资，期初持有多少股股票，在6个月后可以拥有1股股票？解析：若假设期初持有a股股票，则通过红利再投资，6个月后投资者可以获得：故（二）支付已知收益率资产的远期价格例6.10：考虑一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率为4%的连续红利收益率。无风险利率为10%。当前股价为$25。试求当前远期合约的远期价格。例题6.10解析

（6.9）二、定价不合理的套利策略设计类似有现金收益的资产套利策略设计：若K>F(t,T)：套利者可以卖出远期合约，买入资产，即实施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以买入远期合约，卖空资产，实施反向持有成本策略接例6.10，若股票远期签约时协议价格为28元。则28>F(t,T)=25.76，可以卖出股票远期，借入资金买入股票，设计持有成本策略获益。90持有成本套利0时刻6个月后1.以利率10%借入25e-0.04×1/2元6个月:24.5元2.购买0.98(=e-0.04×1/2)份股票现货:-24.5元3.卖出一单位股票的6个月期远期合约:0元1.通过红利再投资获得1单位股票,用1单位股票现货交割到期的远期合约:28元2.偿还6个月期24.5元贷款的本利和:-25.76元合计:0元合计:2.24元接例6.10，若股票远期签约时协议价格为23元。则23<F(t,T)=25.76，可以买入股票远期，卖空股票，设计反向持有成本策略获益。91反向持有成本套利0时刻6个月后1.卖空0.98份股票现货:24.5元2.按年利率10%进行期限为6个月的投资:-24.5元3.购买一单位股票的6个月期远期合约:0元1.24.5元投资6个月的本息和:25.76元2.交割远期合约获得一单位股票支付:-23元3.用远期合约交割所得的一单位股票平仓股票空头头寸(此时需要偿还1单位股票)合计:0元合计:2.76元适用的产品考虑红利收益的股指期货外汇期货——远期汇率的确定计价货币看作本币，标的货币看作标的资产，标的货币的利率为红利率，计价货币的利率为无风险利率考虑便利收益率和仓储费率的商品期货便利收益率看作红利率，仓储费率看作负的红利率外汇远期和期货价格的确定公式(连续复利）：按年计复利的情况下：

其中：S:即期汇率（直接标价法：1外币=X本币）F：T时刻到期的远期汇率（直接标价法）

r:本币利率q:外币利率三、外汇期货和股指期货定价94假设一美国客户要求银行报出欧元兑美元的远期汇价，一年后交割。客户希望从该银行恰好购买1,100,000欧元。假设欧元兑美元的即期汇率为1.5,欧元一年期的利率为10%（按年计息复利），美元一年期的利率为6%（按年计息复利），银行最终每欧元要赚取0.01美元的价差费用，试求银行对客户应给出什么样的报价。例6.11远期外汇合约定价

95解析股指期货的定价如果股票指数包含的指数股数量较多，而且各种指数股的分红事件在时间与数量上分布比较均匀，那么我们可以合理地假设红利是完全均匀分布的。用q表示指数红利的连续复合收益率，则例6.1297考虑一个沪深300指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的红利收益率为每年2%(连续复利)，指数现值为3000,连续复利的无风险利率为3%,请计算沪深300期货的理论报价。98第三节远期和期货定价的其他问题一、远期合约的价值计算远期合约的价值：即买卖远期合约需要支付费用（不考虑手续费）远期合约在签约时刻，价值应该为0；但随着时间的推移，由于标的资产价格的变动，其合约价值相应发生变化。

一、远期合约的价值计算对于任意情形的标的资产，其远期合约的价值可以根据最新的远期价格报价计算，公式为：将不同情形下远期价格的计算公式带入，可以得到远期合约价值与现货价格的关系：一、远期合约的价值计算例6.15（债券远期合约的价值计算）一个债券价格为900元。假设1年期债券远期的协议价格为910元,债券在6个月和12个月都会有60元付息。第二次