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文档简介
云南省大姚一中2024-2025学年高三下学期命题预测及题型示例数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.3.正的边长为2,将它沿边上的高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.4.已知.给出下列判断:①若,且,则;②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称;③若在上恰有7个零点,则的取值范围为;④若在上单调递增,则的取值范围为.其中,判断正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.复数()A. B. C.0 D.6.已知、是双曲线的左右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.已知复数,若,则的值为()A.1 B. C. D.8.已知,,,若,则正数可以为()A.4 B.23 C.8 D.179.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为()A. B. C. D.10.已知双曲线与双曲线没有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.11.设m,n为直线,、为平面,则的一个充分条件可以是()A.,, B.,C., D.,12.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中项的系数是__________14.在平面直角坐标系中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.15.已知,复数且(为虚数单位),则__________,_________.16.一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则容器体积的最小值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为,选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案的概率,(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其形状;(2)曲线与曲线交于,两点,若,求的值.19.(12分)如图,已知四棱锥的底面是等腰梯形,,,,,为等边三角形,且点P在底面上的射影为的中点G,点E在线段上,且.(1)求证:平面.(2)求二面角的余弦值.20.(12分)从抛物线C:()外一点作该抛物线的两条切线PA、PB(切点分别为A、B),分别与x轴相交于C、D,若AB与y轴相交于点Q,点在抛物线C上,且(F为抛物线的焦点).(1)求抛物线C的方程;(2)①求证:四边形是平行四边形.②四边形能否为矩形?若能,求出点Q的坐标;若不能,请说明理由.21.(12分)在极坐标系中,已知曲线,.(1)求曲线、的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;(2)若曲线、交于、两点,求两交点间的距离.22.(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若射线与和分别交于点,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.【详解】如图,取长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,直线=直线。若令AD1=m,AB=n,则m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直线m垂直于平面β,所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件.故选:B.本题考点有两个:①考查了充分必要条件的判断,在确定好大前提的条件下,从m⊥n⇒m⊥?和m⊥⇒m⊥n?两方面进行判断;②是空间的垂直关系,一般利用长方体为载体进行分析.2.B【解析】
画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.3.D【解析】
如图所示,设的中点为,的外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,利用正弦定理可得,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形,最后利用勾股定理可求外接球的半径,从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示,设的中点为,外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,则平面,.因为,故,因为,故.由正弦定理可得,故,又因为,故.因为,故平面,所以,因为平面,平面,故,故,所以四边形为平行四边形,所以,所以,故外接球的半径为,外接球的表面积为.故选:D.本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算,还考查正弦定理和余弦定理,折叠问题注意翻折前后的变量与不变量,外接球问题注意先确定外接球的球心的位置,然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算,本题有一定的难度.4.B【解析】
对函数化简可得,进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,对四个命题逐个分析,可选出答案.【详解】因为,所以周期.对于①,因为,所以,即,故①错误;对于②,函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为,其图象关于轴对称,则,解得,故对任意整数,,所以②错误;对于③,令,可得,则,因为,所以在上第1个零点,且,所以第7个零点,若存在第8个零点,则,所以,即,解得,故③正确;对于④,因为,且,所以,解得,又,所以,故④正确.故选:B.本题考查三角函数的恒等变换,考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于中档题.5.C【解析】略6.A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x,不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c),与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣),∵点M在以线段F1F1为直径的圆外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.则e=>1.∴双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).故选:A.点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.D【解析】由复数模的定义可得:,求解关于实数的方程可得:.本题选择D选项.8.C【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围,再代入验证即可;【详解】解:∵,∴当时,满足,∴实数可以为8.故选:C本题考查对数函数的性质的应用,属于基础题.9.D【解析】
设圆锥底面圆的半径为,由轴截面面积为可得半径,再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为,由已知,,解得,所以圆锥的体积.故选:D本题考查圆锥的体积的计算,涉及到圆锥的定义,是一道容易题.10.C【解析】
先求得的渐近线方程,根据没有公共点,判断出渐近线斜率的取值范围,由此求得离心率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于双曲线与双曲线没有公共点,所以双曲线的渐近线的斜率,所以双曲线的离心率.故选:C本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的取值范围的求法,属于基础题.11.B【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】对于A选项,当,,时,由于不在平面内,故无法得出.对于B选项,由于,,所以.故B选项正确.对于C选项,当,时,可能含于平面,故无法得出.对于D选项,当,时,无法得出.综上所述,的一个充分条件是“,”故选:B本小题主要考查线面垂直的判断,考查充分必要条件的理解,属于基础题.12.C【解析】
对选项逐个验证即得答案.【详解】对于,,是偶函数,故选项错误;对于,,定义域为,在上不是单调函数,故选项错误;对于,当时,;当时,;又时,.综上,对,都有,是奇函数.又时,是开口向上的抛物线,对称轴,在上单调递增,是奇函数,在上是单调递增函数,故选项正确;对于,在上单调递增,在上单调递增,但,在上不是单调函数,故选项错误.故选:.本题考查函数的基本性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-20【解析】
根据二项式定理的通项公式,再分情况考虑即可求解.【详解】解:展开式中项的系数:二项式由通项公式当时,项的系数是,当时,项的系数是,故的系数为;故答案为:本题主要考查二项式定理的应用,注意分情况考虑,属于基础题.14.【解析】
利用,解出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】,且,,,该双曲线的渐近线方程为:.故答案为:.本题考查了双曲线离心率与渐近线方程,考查了双曲线基本量的关系,考查了运算能力,属于基础题.15.【解析】∵复数且∴∴∴∴,故答案为,16.【解析】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)0.4;(2);(3)应选择方案,理由见解析【解析】
(1)根据频率分布直方图,可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率,即可估算其概率;(2)根据独立重复试验概率求法,先求得四人中有0人、1人选择方案的概率,再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率;(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式,即可计算两种计算方式下的数学期望,并根据数学期望作出选择.【详解】(1)设事件为“随机选取一天,这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为,∵,∴估计为0.4.(2)设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”,设事件,为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”,则,所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,方案的日工资,方案的日工资,所以随机变量的分布列为1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,随机变量的分布列为1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建议骑手应选择方案.本题考查了频率分布直方图的简单应用,独立重复试验概率的求法,数学期望的求法并由期望作出方案选择,属于中档题.18.(1),以为圆心,为半径的圆;(2)【解析】
(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式,直接得到的直角坐标方程并判断形状;(2)联立直线参数方程与的直角坐标方程,根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值.【详解】解:(1)由,得,所以,即,.所以曲线是以为圆心,为半径的圆.(2)将代入,整理得.设点,所对应的参数分别为,,则,.,解得,则.本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值,难度一般.(1)极坐标与直角坐标的互化公式:;(2)若要使用直线参数方程中的几何意义,要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中,构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.19.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证;(2)取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】(1)在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由(1)易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.20.(1);(2)①证明见解析;②能,.【解析】
(1)根据抛物线的定义,求出,即可求抛物线C的方程;(2)①设,,写出切线的方程,解方程组求出点的坐标.设点,直线AB的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理得到点的坐标,写出点的坐标,,可得线段相互平分,即证四边形是平行四边形;②若四边形为矩形,则,求出,即得点Q的坐标.【详解】(1)因为,所以,即抛物线C的方程是.(2)①证明:由得,.设,,
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