运筹学 讲义 10 决策论学习资料

第十章决策论§1.基本概念§2.不确定情况下的决策§3.风险型情况下的决策

“决策”一词来源于英语Decisionmaking，直译为“做出决定”。所谓决策，就是为了实现预定的目标在若干可供选择的方案中，选出一个最佳行动方案的过程，它是一门帮助人们科学地决策的理论。§1基本概念一、决策问题的组成

1.决策者：决策的主体，一个人或团体；

2.决策：两个以上可供选择的行动方案，记dj；

3.状态（事件）：决策实施后可能遇到的自然状况，记；

4.状态概率：对各状态发生可能性大小的主观估计，记；

5.结局（损益）：当决策dj实施后遇到状态时所产生的效益（利润）或损失（成本），记，用损益表表示。

例1某厂需要对明年的生产投资做出决策：是增加设备投资还是维持现状。该厂产品明年在市场上的销售情况可能有3种：销量大、销量中、销量小。若增加设备投资遇到各种情况后的收益（万元）分别为80、20、-5；若维持现状遇到各种情况后的收益（万元）分别为40、7、1。请用决策分析的术语描述该问题。解：设决策d1:增加设备投资,d2:维持现状;

状态：销量大，：销量中，：销量小。8020-540

7

1损益表：1.确定型决策问题

在进行决策之前已经知道即将发生的自然状态，即在决策环境完全确定的条件下进行决策。2.(严格)不确定型决策问题

在决策环境不确定的条件下进行决策，决策者对即将发生的各自然状态的概率一无所知.决策的分类：3.风险型决策问题在决策环境不确定的条件下进行决策，但决策者对即将发生的各自然状态的概率可以预先估计或计算出来。（1）目标（2）至少有2个以上的行动方案（3）不同方案得失可计算（4）决策环境确定大致概率完全不确定决策问题必须具备的条件：例1、某石油公司计划开发海底石油，有四种勘探方案A1,

A2,

A3,

A4可供选择。勘探尚未进行，只知可能有以下三种结果：S1:干井，

S2：油量中等，S3:油量丰富，对应于各种结果各方案的损益情况已知，应如何决策？

例2、某洗衣机厂，根据市场信息，认为全自动洗衣机应发展滚筒式，有两种方案。A1:改造原生产线，

A2：新建生产线。市场调查知，滚筒式销路好的概率为0.7，销路不好为0.3。两种方案下各种情况的损益情况已知，应如何决策？§2不确定情况下的决策特征：1、自然状态已知；2、行动方案已知；3、各方案在不同自然状态下的收益值已知；4、自然状态的发生不确定(概率分布也不知)。例1.

某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（收益表或收益矩阵）：一、最大最小准则（悲观准则，Wald，1951）决策者从最不利的角度去考虑问题，先选出每个方案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），然后从这些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案。用μ

(di，θj)

表示收益值即确定值

所对应的方案为行动方案。在本例中故它所对应的方案d3为行动方案。二、最大最大准则（乐观准则）决策者从最有利的角度去考虑问题，先选出每个方案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），然后从这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案。用μ

(di，θj)

表示收益值即确定值

所对应的方案为行动方案。在本例中故它所对应的方案d1为行动方案。三、等可能性准则(Laplace准则，1825)

决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的，即，设每个自然状态发生的概率为1/自然状态(事件)数，然后计算各行动方案的收益期望值，从而确定行动方案。

用E(di

)

表示第i方案的收益期望值即确定值

所对应的方案为行动方案。在本例中故它所对应的方案d1为行动方案。四、乐观系数(折衷)准则(

Hurwicz

胡魏兹准则，1951)

决策者取乐观准则和悲观准则的折衷。先确定一个乐观系数

（0

1），然后计算：CVi

=

max[μ

(di，θj)]+（1-

）min[

(di，θj)]最后从这些折衷标准收益值CVi中选取最大的，从而确定行动方案。（取

=0.7）即确定值

所对应的方案为行动方案。在本例中故它所对应的方案d1为行动方案。五、后悔值准则（最小机会损失准则，Savage

沙万奇准则，1951）决策者从后悔的角度去考虑问题，把在不同自然状态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的收益值与这个最大收益值的差称为未达到理想目标的后悔值，然后从各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案。自然状态行动方案θ

1（需求量大）θ

2（需求量小）d1(大批量生产)30-6θ

2(中批量生产)20-2θ

3(小批量生产)105自然状态最大值305用aij’

表示后悔值，构造后悔值矩阵：即确定值

所对应的方案为行动方案。在本例中故它所对应的方案d2为行动方案。§3

风险型情况下的决策特征：1、自然状态已知；2、行动方案已知；3、各方案在不同自然状态下的收益值已知；4、自然状态的发生不确定，但发生的概率分布已知。一、最大可能准则

由概率论知识可知，概率越大的事件其发生的可能性就越大。因此，(在一次或极少数几次的决策中，)可认为概率最大的自然状态将发生，按照确定型问题进行讨论。二、期望值准则根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中最大者为选择的方案。

E(di)=

P(θj)

(di，θj)例2即确定值

所对应的方案为行动方案。在例2中故它所对应的方案d3为行动方案。三、决策树法

前面的决策问题大多是用决策表来表示和分析问题的，它的优点是简单易行。但是，对于一些较为复杂的决策问题，如多级决策问题，只用表格是难以表达和分析的。

决策树法是另一种表示和分析决策问题的方法，它具有直观形象、思路清晰的优点，但其原理同样是使用期望值准则进行决策。用决策树法进行决策的具体步骤如下：(1)从左向右绘制决策树；(2)从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应方案节点的上方；(3)选收益期望值最大(损失期望值最小)的方案为最优方案，并在其它方案分支上打∥记号，称剪枝方案。符号说明：

□

决策点-

后跟方案分支；○

方案节点-

后跟概率分支；

△

结果节点-

后跟收益值。例2

的决策树法。根据上图可知d3是最优方案，收益期望值为6.5。决策d1d2d3大批量生产中批量生产小批量生产θ

1(需求量大)；P(θ

1)=0.3θ

1(需求量大)；P(θ

1)=0.3θ

1(需求量大)；P(θ

1)=0.3θ

2(需求量小)；P(θ

2)=0.7θ

2(需求量小)；P(θ

2)=0.7θ

2(需求量小)；P(θ

2)=0.730-62010-254.84.66.56.5例3、化工原料厂，由于某项工艺不好，影响效益，现厂方欲改革工艺，可自行研究(成功可能为0.6)，买专利(成功可能为0.8)。若成功，则有2种生产方案可选，1是产量不变，2是增产；若失败，则按原方案生产，有关数据如下。试求最优方案。

多级决策问题只包括一级决策的问题叫做单级决策问题；包括两级或两级以上的决策问题叫做多级决策问题。按原工艺方案生产价低0.1-100-200-300-200-300中0.5050500-250价高0.4100150250200600买专利(0.8)自研(0.6)产量不变增产产量不变增产(万元)解：0.184219561073买专利自研制成功0.8失败0.2失败0.4成功0.6原产增产0.50.40.10.50.4原产量增产价低0.1中0.5高0.4价低0.1中0.5高0.40.10.50.40.10.50.4-20050150-30050250-1000100-1000100-2000200-300-25060011解：8421956107382买专利自研制8263成功0.8失败0.2失败0.4成功0.695303085原产增产0.50.40.10.50.4原产量增产65956085价低0.1中0.5高0.4价低0.1中0.5高0.40.10.50.40.10.50.4-20050150-30050250-1000100-1000100-2000200-300-250600110.1最优决策:

买入专利，成功则增产，失败则保持原产量。例4.某研究所可投标一项70万元的新产品开发项目。若投标，预研费用2万元，中标概率60％，若中标后用老工艺研制花费28万元，成功概率80％，用新工艺研制花费18万元，成功概率50％，研制失败赔偿15万元，投标还是不投标？中标后用什么工艺？..解：计算：状态节点

70×0.8+（-15）×0.2＝53状态节点70×0.5+（-15）×0.5＝27.5决策节点max{53-28，27.5-18}＝25状态节点

25×0.6+0×0.4＝15状态节点

0×1＝0决策节点max{13，0}＝13投标，中标用老工艺123456不投标投标中标不中老工艺新工艺成功失败成功失败70-157050.80.20.50.50.60.425-28-1815-213肯定不中标10三、具有样本情报的决策分析(贝叶斯决策)在例

2中，我们提到根据以往的经验，估计θ1

发生的概率为0.3，θ2发生的概率为0.7。我们把这种由过去的经验或专家估计所获得的将要发生事件的概率称为先验概率。为了做出可能的最好决策，除了先验概率外，决策者要追求关于自然状态的其他信息，用于修正先验概率以得到对自然状态更好的概率估计。这种另外的信息一般是通过调查或实验提供的关于自然状态的样本信息或称样本情报。以下仍以例

2为例，说明如何用样本情报来修正先验概率，这种修正了的概率我们称之为后验概率。先验概率：由过去的经验或专家估计的将要发生事件的概率；后验概率：通过最新调查或实验得到的样本信息，对先验概率进行修正后得到的概率。后验概率P(

j|S

)通过概率论中Bayes公式计算得出Bayes公式：其中：

P(

j

)—状态

j

的先验概率，

P(S|

j

)—试验获取的信息，起意义为在状态为

j条件下出现事件S的概率.

为全概率公式.—例5某钻井大队在某地进行石油勘探，主观估计该地区为有油(

1)地区的概率为

P(

1)＝0.5,没油(

2)的概率为

P(

2)＝0.5，为提高勘探效果，先做地震试验，根据积累资料得知：有油地区，做试验结果好(F)的概率P(F1)＝0.9有油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U1)＝0.1无油地区，做试验结果好(F)的概率P(F2)＝0.2无油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U2)＝0.8求：在该地区做试验后，有油和无油的概率各为多少？解：做地震试验结果好的概率P(F)＝P(

1)P(F|1)＋P(

2)P(F|2)＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55做地震试验结果不好的概率P(U)＝P(

1)P(U|1)＋P(

2)P(U|2)＝0.5×0.8+0.5×0.1=0.45用Bayes公式求解各事件的后验概率：

P(

1)P(F|1)0.459P(

1|F

)＝==P(F

)0.5511

P(

2)P(F|2)0.102P(

2F

)＝==P(F

)0.5511做地震试验结果好的条件下无油的概率做地震试验结果好的条件下有油的概率用Bayes公式求解各事件的后验概率：

P(

1)P(U|1)0.051P(

1|U)＝==P(U

)0.459

P(

2)P(U|2)0.408P(

2|U

)＝==P(U)0.459做地震试验结果不好的条件下有油的概率做地震试验结果不好的条件下无油的概率在例

2中

0.3和0.7是自然状态θ1

和θ2发生的概率，也是先验概率。但是我们可以得到“部分”情报，或称样本信息或样本情报。例，该公司为了得到关于新产品需求量自然状态的更多的信息，委托一家咨询公司进行市场调查。咨询公司进行市场调查的结果也有两种：

1)

市场需求量大;2)

市场需求量小。我们用

I1表示咨询公司调查的结果为市场需求量大；用

I2

表示咨询公司调查的结果为市场需求量小。根据该咨询公司积累的资料统计得知，该咨询公司进行市场调查的准确程度如下面的(条件)概率:P(I1|θ1)＝0.8；P(I2|θ1)＝0.2；P(I1|θ2)＝0.1；P(I2|

θ2)＝0.9。我们应该1)如何用样本情报进行决策呢？2)用样本情报决策其期望收益应该是多少呢？3)样本情报的价值是多少呢？4)如果样本情报要价3万元，决策者是否要使用样本情报呢？为了解决这些问题或在决策是否使用样本情报之前，我们要认真分析一下我们的问题。这里我们使用决策树方法进行分析，它适合解决多阶段的决策问题。由于在决策过程中使用了概率论中的贝叶斯公式，故这一方法又称为贝叶斯决策。我们首先画出该问题的决策树1d4：不搞市场调查2d5：搞市场调查36.57.532456d1：大批量生产d2：中批量生产d3：小批量生产θ1(需求量大)；P(θ

1)=0.3θ

1(需求量大)；P(θ

1)=0.3θ

1(需求量大)；P(θ

1)=0.3θ

2(需求量小)；P(θ

2)=0.7θ

2(需求量小)；P(θ

2)=0.7θ

2(需求量小)；P(θ

2)=0.730-62010-254.84.66.56.530-62010-230-6-21097d1

θ

1；P(θ1/I1)=0.7742521.871205

θ

2；P(θ

2/I1)=0.2258

θ

1；P(θ

1

/I1)=0.7742

θ

1；P(θ

1/I1)=0.7742

θ

2；P(θ2/I1)=0.2258

θ

2；P(θ

2/I1)=0.2258

θ

2；P(θ

2/I2)=0.9130

θ

2；P(θ

2/I2)=0.9130

θ

2；P(θ

2/I2)=0.9130

θ

1；P(θ

1/I2)=0.0870

θ

1；P(θ

1/I2)=0.0870

θ

1；P(θ

1/I2)=0.0870101112131438d1d2d2d3d315.0328.871-2.868-0.0865.43521.8715.43510.53－3=7.53P(I1)=0.31I1：结论需求大I2：结论需求小P(I2)=0.69决策树中的条件概率计算公式：在自然状态为

θj的条件下咨询结果为

Ii的条件概率，可用全概率公式计算再用贝叶斯公式计算条件概率的定义：乘法公式：决策树中的条件概率计算如下:(1)用全概率公式得到P(I1)＝P(θ1)P(I1|θ

1)＋P(θ

2)P(I1|θ

2)＝0.31；P(I2)＝P(θ

1)P(I2|θ

1)＋P(θ

2)P(I2|θ

2)＝0.69。(2)用贝叶斯公式求得后验概率

P(θ

1|I1)＝[P(θ

1)P(I1|θ

1)]/P(I1)＝0.7742；P(θ

2|I1)＝[P(θ

2)P(I1|θ

2)]/P(I1)＝0.2258；P(θ

1|I2)＝[P(θ

1)P(I2|θ

1)]/P(I2)＝0.0870；P(θ

2|I2)＝[P(θ

2)P(I2|θ

2)]/P(I2)＝0.9130。从上面的讨论可知，当委托咨询公司进行市场调查，即具有样本情报时，公司的期望收益可达到10.53万元，比不进行市场调查的公司期望收益6.5万元要高，其差额为10.53－6.5=4.03(万元)。因此，当咨询公司进行市场调查的要价低于4.03万元时，公司可以考虑委托其进行市场调查，否则就不宜委托其进行市场调查。现因咨询公司要价3万元，所以应该委托其进行市场调查。

本例是一个多级(两级)决策问题，决策树中显示的两级决策是：1.要搞市场调查。

2.根据市场调查的结果组织生产：当调查结论为市场需求量大时进行大批量生产；当调查结论为市场需求量小时进行小批量生产。这时的最大期望收益为7.53(万元)。例6某公司有资金500万元，如用于某项开发事业，估计成功率为96%，一年可获利润12％；若失败则丧失全部资金；若把资金全存在银行，可获得年利率6%，为辅助决策可求助于咨询公司，费用为5万元，根据咨询过去公司类似200例咨询工作，有下表：实施结果投资投资合计咨询意见成功失败