贵州省清镇市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考监测数学试卷（原卷版+解析版）

清镇一中2024—2025学年第二学期月考监测高一数学试卷2025.3注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3．考试过程中不得使用计算器．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.i2.下列命题中错误的有（

）A.平行向量就是共线向量B.同向，且，则C.若是关于的方程的一个根，则D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件3.已知，，则（）A. B. C. D.4.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.已知向量与不平行，记，，若，则（）A.2 B. C. D.6.已知的角的对边分别为，若，则（）A. B. C.1 D.7.已知向量，则向量在向量方向上投影向量为（）A. B. C. D.8.如图,在梯形中,,为线段上一点,且，为的中点,若（，）,则的值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若为纯虚数，则B.若在复平面内对应的点位于第二象限，则C.若，则D.若，则10.对于，有如下判断，其中错误的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则符合条件有两个D.若，则是锐角三角形11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，且，则为等边三角形B.若点是边上点，且，则的面积是面积的C.若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形D.若，则为锐角三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________.13.已知是的外心，，则________．14.如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）15.中，已知，，．（1）求；（2）如为的中点，求的长．16已知向量，若，（1）求与的夹角θ；（2）求；（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？17.已知的内角所对的边分别为，设向量，，且.（1）求角：（2）若的面积为，求的周长.18.如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．（1）求的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19.在中，对应的边分别为.（1）求；（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.

清镇一中2024—2025学年第二学期月考监测高一数学试卷2025.3注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3．考试过程中不得使用计算器．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.i【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部.【详解】由，可得，所以，所以，所以的虚部为.故选：A.2.下列命题中错误的有（

）A.平行向量就是共线向量B.同向，且，则C.若是关于的方程的一个根，则D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【答案】B【解析】【分析】利用平行向量的定义、结合充分条件、必要条件的定义判断AD；利用向量的定义判断B；利用实系数一元二次方程根的特征，结合韦达定理求解判断C.【详解】对于A，平行向量就是共线向量，A正确；对于B，向量不能比较大小，B错误；对于C，由是关于的方程的一个根，得该方程另一根为，则，解得，C正确；对于D，两个向量相等，则这两个向量平行；反之两个向量平行，这两个向量不一定相等，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确.故选：B3已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解.【详解】由题意得，，所以．故选：B4.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.【详解】由可得，故复数z对应的点为，位于第二象限.故选：B5.已知向量与不平行，记，，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.详解】依题意，，，，即，，解得．故选：B．6.已知的角的对边分别为，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】应用正弦定理计算求解.【详解】因为，由正弦定理得，所以.故选：D.7.已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量公式，即向量在向量方向上的投影向量为即可得到结果.【详解】向量在向量方向上的投影向量为故选：B8.如图,在梯形中,,为线段上一点,且，为的中点,若（，）,则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的线性运算，化简求得，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：又因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若为纯虚数，则B.若在复平面内对应的点位于第二象限，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】对于A，若为纯虚数，则的实部为0，虚部不为0，列出方程求解即可；对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于0且虚部大于0，列出不等式求解即可；对于C，若，求出，进而求其共轭复数；对于D，若，求出，咋求模即可.【详解】对于A，若为纯虚数，即且，则，故A错误；对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则解得，即，故B正确；对于C，若，则，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：BC.10.对于，有如下判断，其中错误的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则符合条件的有两个D.若，则是锐角三角形【答案】BD【解析】【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D.【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则，又由正弦定理可得，故A说法正确；选项B，若，则由正弦定理边化角可得，即，所以或，整理得或，所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误；选项C，因为，所以由正弦定理可得，所以角有两个值，此时符合条件有两个，C说法正确；选项D，若，则由正弦定理角化边可得，所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误；故选：BD11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，且，则为等边三角形B.若点是边上的点，且，则的面积是面积的C.若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形D.若，则为锐角三角形【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A正确；对于B，已知，得到.

得到，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比转化为底边MC与BC之比，判断B错误；对于C，由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；对于D，利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D正确.【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A正确；对于B，已知，则.

这说明在线段BC上，且，那么.

因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的，选项B错误.

对于C，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确；对于D，，而，所以A，B，C都为锐角，D正确；故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________.【答案】【解析】【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案.【详解】复数与分别表示向量与，，所以表示向量的复数为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题.13.已知是的外心，，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用数量的运算律求解即得.【详解】令边的中点为，由是的外心，得，，又，所以.故答案为：14.如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，故，因为，所以，故当，时，取得最小值，最小值为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）15.在中，已知，，．（1）求；（2）如为的中点，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角；（2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解.【小问1详解】因为，且，，根据正弦定理可得，解得；又，且，故.【小问2详解】由（1）可知，，由可得.因为D为AC的中点，所以，在中，由余弦定理可得，则，从而.16.已知向量，若，（1）求与的夹角θ；（2）求；（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；（2）根据结合数量积的运算律计算即可；（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.【小问1详解】解：因为，，所以，又因，所以；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得.17.已知的内角所对的边分别为，设向量，，且.（1）求角：（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示并结合正、余弦定理即可得到答案；（2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，最后即可得到周长.小问1详解】因为，则，由正弦定理得，，，则，因为，则.【小问2详解】由三角形面积公式，得，故，，∴,所以的周长为.18.如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．（1）求的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？【答案】（1）70海里（2）2小时【解析】【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间.小问1详解】根据题意可得．因为海里，海里，所以根据余弦定理可得海里．【小问2详解】由余弦定理可得，则，所以．设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里．在中，解得或（舍去），故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．19.在中，对应的边分别为.（1）求；（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值；（2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证