2024年中国科学技术大学少年创新班数学试题真题（答案详解）

中科大少年班及少创班入围考试数学真题考试时间：2024年3月9日星期六本次数学考试，其18个填空题，1个大题.1.1-14个数填入正方体顶点和各面中心，求证是否可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等.2.一只蚂蚁从棱长为1的正方体一个顶点出发沿棱爬行，回到原点，最短路程.3.求cosx+cosy+cos(x+y)取值范围.4.e5.求(1+x+6.x7.求曲线x28.S1={9.某复数z=a+bi,代表P点，将OP绕O点顺时针旋转π/2得到(O10.若α,β分别为平面上的向量，A为平面内的定点，∣α∣=11.z=cos12.8本不同的书分给5人，其中1个2本，1个人3本，剩余三人每人一本，求分配的方法有多少?13.甲乙进行比赛，每一轮，甲胜率为P，乙胜率为1-p.当其中一人比另一人多胜2轮则获得最终胜利，则甲获胜概率为?14.P(A)=P(B),A和B相互独立,P(A∪B)=0.64,求P(A)15.下列哪些命题是真命题?(1)a≠0是|a|>0的充要条件2(3)∀a∈R,∃b∈Z,使得0≤a+b<1(4)若a，b为无理数，则ab为无理数试卷第1页，共2页

16.x₁到分别为22,23,35,40,45,50,55,求xγi17.试卷第2页，共2页

1.否【分析】将8个顶点设为aii=12⋯8【详解】将8个顶点设为aii=12则i则6面总和为3i但6面总和应该使6的倍数，矛盾，综上：不可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等.2.16【分析】根据每个顶点的度为3，且每个定点的出、入度之和为偶数，求出最短路径范围，再找到具体走法且其路径长恰好为最小值即可得解.【详解】将立方体看成一个平面图形，则每个顶点的度为3，但在回到起点的前提下，每个顶点的入度与出度之和应当是一个偶数，因此至少为4，这说明了最短路径长不小于4×83【分析】先利用和差化积公式和二倍角公式，转化成cosx+y2和【详解】:*设t=cosx+y此时把原式看成是关于cosx-y2的一次函数，所以函数的最大最小值必定是当cosx-y2答案第1页，共8页

当cosx-y2=1所以原式的取值范围为：-故答案为：-4.(-∞,e)【分析】根据题意，分离参数可得c<exx在x∈(0，+∞)恒成立，然后构造函数fx=e【详解】由ex>cx,对任意x>0均成立，可得c<e构造函数fx=exx又f'x当x∈(0,1)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,fˣ(x)>0,则f(x)单调递增,当x=1时，f(x)有极小值，即最小值，所以c即c的范围为(-∞,e).5.141【分析】以x+【详解】依题意，1+x+x-16=1+x当r∈N⁺,r≤6时,x+x-1r展开式的通项于是Tr+1=C6rCrhx此时常数项为C答案第2页，共8页

所以1+故答案为：1416.(-∞,-2)∪(2,3)∪(3,+∞)【分析】考虑双曲线方程的特点，可求a的取值范围.【详解】由x2+y2由a2所以a的取值范围是:(-∞,-2)∪(2,3)∪(3,+∞).7.2π-4【分析】首先判断曲线的对称性，从而确定曲线在第一象限内与x轴所围成的图形，再求出图形的面积.【详解】对于曲线x将y换成-y得.x2+将x换成-x得x2+因此只需考虑在第一象限的情形，当x>0,y>0时曲线即x2+y2=所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为2214圆去掉一个等腰直角三角形根据对称性可得曲线x2所以所围成的封闭图形的面积S答案第3页，共8页

8【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解.【详解】由a由loga23<2,∴a>113a<12⇒log因此S由于23<32<故S9.Q(b,-a)【分析】根据题意，由条件可得P(a，b)，然后可得序与OQ相隔OPOQπ【详解】因为复数z=a+bi代表P点,则P(a,b),将π2OP将πO绕O点顺时针旋转得到O则∣答案第4页，共8页

OP设与x轴正半轴夹角为α，则OQ与x轴正半轴夹角为α-设点Q(x,y),贝x所以Q(b,-a).10.19π【分析】确定点P的轨迹为圆面，求解即可.【详解】因为∣所以∣=所以：x=y=0时,AP2min=所以∣所以P点轨迹是以A为圆心，19所以P点轨迹所围的面积S1【分析】利用复数的三角形式的运算，先求出∣1【详解】设k∈{1,2,……,n-1},则z所以：答案第5页，共8页

2因为0<kπn<所以1∴所以=故答案为：2【点睛】方法点睛：用复数的三角形式计算复数的乘方和三角函数的和差化积公式是解决问题的关键.12.67200【分析】现将8本不同的书分成3，2，1，1，1，再分分给5人，再由分步乘法计数原理即可得出答案.【详解】现将8本不同的书分成3,2,1,1,1,所以有C83再分给5人，则有A3所以一共有:560×120=67200.1【分析】分析甲最终获得胜利的情况，求出其概率.【详解】用A表示事件“第一、二轮甲均获胜”，则P答案第6页，共8页

用B表示事件“两轮比赛未决出胜负”，则必定是前两轮，甲以胜一负，则PB=用C表示事件“甲最终获得胜利”,则P(C|B)=P(C)则P故答案为：P14.P(A)=0.4【分析】根据和事件及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】因为A和B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B).又因为P(A)=P(B),P(A∪B)=0.64,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),0≤P(A)≤1所以0.615.(1)(2)(3)【分析】逐一判断命题的真假即可.【详解】对(1)显然是成立的，故(1)是真命题：对(2)当a=0时,a∈Q对(3)取a=m+t,其中m=[a]是不大于a的最大整数,即a的整数部分,则t∈[0,1),令b=-m,则a+b=a-m=t∈[0,1),故(3)为真命题；对(4)取a=2故答案为:(1)(2)(3)16.70【分析】答案第7页，共8页

根据绝对值不等式求解.【详解】由i令t=x,且f因为|∣x-22∣+∣x上述等号成立条件为35≤x≤45,故取x=40时,有||40-x|=0,此时f(x)取最小值,综上，i=1则所求的最小值为70.17.24π【分析】先探索函数的一个周期，再证明其为最小正周期.【详解】sinx2一方面，f所以24π是f(x)的一个周期，另一方面