电子信息工程信号处理练习题集

电子信息工程信号处理练习题集姓名_________________________地址_______________________________学号______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------线--------------------------1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。一、选择题1.信号与系统的基本概念

A.信号的能量定义为信号平方的积分。

B.系统的线性特性意味着系统对信号的叠加和时移操作保持不变。

C.傅里叶变换是信号从时域到频域的转换过程。

D.信号的频谱表示了信号在不同频率上的能量分布。

2.信号的时域分析

A.信号的时域分析主要关注信号随时间的变化规律。

B.指数函数的时域特性是其在时域上呈指数增长或衰减。

C.信号的微分和积分运算都是时域分析方法。

D.信号的时域分析方法不涉及信号的频谱。

3.信号的频域分析

A.频域分析揭示了信号在不同频率成分上的特性。

B.频域分析可以用来确定信号的主要频率成分。

C.频域分析中，信号的能量和功率都是通过频谱来表示的。

D.信号的频域分析只能用于分析连续信号。

4.信号变换

A.拉普拉斯变换是用于将时域信号转换为复频域信号的变换。

B.快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的频域变换算法。

C.离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离散版本。

D.信号变换包括时域变换和频域变换，但不包括拉普拉斯变换。

5.线性时不变系统

A.线性时不变系统对任意输入信号都有线性响应。

B.线性时不变系统在时域中保持信号的形状不变。

C.线性时不变系统的输出与输入的时移有关。

D.线性时不变系统的频率响应是恒定的。

6.系统的时域分析

A.系统的时域分析主要关注系统对输入信号的响应。

B.系统的时域分析可以通过卷积运算来描述。

C.系统的时域分析不涉及系统的频率响应。

D.系统的时域分析不能用于确定系统的稳定性。

7.系统的频域分析

A.系统的频域分析关注系统对不同频率信号的响应。

B.系统的频域分析可以通过系统的频率响应来描述。

C.系统的频域分析不涉及系统的时间响应。

D.系统的频域分析不能用于确定系统的稳定性。

8.系统的稳定性

A.稳定系统对于有界输入产生有界输出。

B.不稳定系统对于有界输入可能产生无界输出。

C.系统的稳定性可以通过其特征值来判断。

D.系统的稳定性与系统的传递函数无关。

答案及解题思路：

1.B（线性时不变系统的定义）

2.A（信号的时域分析关注点）

3.A（频域分析揭示了信号在不同频率成分上的特性）

4.B（FFT是一种高效的频域变换算法）

5.A（线性时不变系统对任意输入信号都有线性响应）

6.A（系统的时域分析主要关注系统对输入信号的响应）

7.B（系统的频域分析关注系统对不同频率信号的响应）

8.A（稳定系统对于有界输入产生有界输出）

解题思路：

对于选择题，首先理解题干中的概念，然后根据选项逐一排除错误答案。

对于信号与系统的基本概念，理解信号和系统的定义及其特性。

信号的时域和频域分析需要理解信号在不同域的特性以及分析方法。

信号变换需要了解不同变换方法的基本原理和应用。

线性时不变系统需要理解其线性特性和时不变性。

系统的时域和频域分析需要了解系统响应的分析方法。

系统的稳定性需要理解稳定性的定义和判断方法。二、填空题1.信号的时域表示方法有波形图和函数表达式。

2.信号的频域表示方法有频谱图和傅里叶级数表示。

3.线性时不变系统的时域特性有叠加原理、时不变性和因果性。

4.线性时不变系统的频域特性有频率响应特性、相位响应特性和群延迟特性。

5.系统的稳定性可以用BIBO稳定性和李雅普诺夫稳定性两种方法进行判断。

答案及解题思路：

答案：

1.波形图，函数表达式

2.频谱图，傅里叶级数表示

3.叠加原理，时不变性，因果性

4.频率响应特性，相位响应特性，群延迟特性

5.BIBO稳定性，李雅普诺夫稳定性

解题思路：

1.信号的时域表示方法包括直观的波形图和数学上的函数表达式，这两种方法分别适用于不同场合的分析和描述。

2.信号的频域表示方法包括频谱图和傅里叶级数表示，频谱图提供了信号频域结构的直观信息，而傅里叶级数则是一种数学工具，用于将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波。

3.线性时不变系统的时域特性包括叠加原理，即多个信号输入时，系统的输出是各个信号单独输入时输出的线性组合；时不变性，即系统的响应不随时间变化；因果性，即系统的输出只依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。

4.线性时不变系统的频域特性包括频率响应特性，描述系统对不同频率信号的放大或衰减情况；相位响应特性，描述系统对不同频率信号的相位延迟；群延迟特性，描述系统对不同频率信号传播速度的差异。

5.系统的稳定性可以通过BIBO稳定性（有界输入有界输出）和李雅普诺夫稳定性（通过能量函数判断系统是否趋向稳定）两种方法进行判断。BIBO稳定性适用于线性时不变系统，而李雅普诺夫稳定性适用于更广泛的系统。三、判断题1.信号与系统是相互独立的两个概念。（×）

解题思路：信号与系统是紧密相连的，信号是系统的输入，系统的响应是输出。信号的研究离不开系统，系统的分析同样离不开信号。因此，信号与系统并非相互独立的两个概念。

2.信号的时域表示方法可以转化为频域表示方法。（√）

解题思路：根据傅里叶变换原理，任何信号都可以分解为不同频率的信号之和。因此，信号的时域表示方法可以通过傅里叶变换转化为频域表示方法。

3.信号的频域表示方法可以转化为时域表示方法。（√）

解题思路：傅里叶变换是可逆的，即信号的频域表示方法可以通过逆傅里叶变换转化为时域表示方法。

4.线性时不变系统具有时不变性。（√）

解题思路：线性时不变系统（LTI）的特点是在输入信号经过时间平移后，系统的响应也将相应地平移，保持形状不变。这表明线性时不变系统具有时不变性。

5.系统的稳定性与输入信号无关。（×）

解题思路：系统的稳定性取决于输入信号、系统本身以及系统与输入信号的相互关系。因此，系统的稳定性与输入信号是有关的。四、简答题1.简述信号与系统的基本概念。

信号是信息的载体，可以是随时间变化的电、磁、声等物理量。系统是指能够接收信号并对其进行处理、转换或传输的设备或装置。信号与系统的基本概念包括信号的分类（如连续信号、离散信号）、信号的特性（如幅度、频率、相位）以及系统的功能（如滤波、调制、解调）。

2.简述信号的时域分析。

信号的时域分析是指通过观察信号随时间的变化来分析信号的性质。时域分析方法包括信号的波形分析、时域卷积、时域微分和积分等。通过时域分析，可以了解信号的起始时间、持续时间、变化趋势和波形特征。

3.简述信号的频域分析。

信号的频域分析是指将信号从时域转换到频域进行分析。频域分析通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的分量，从而研究信号的频率成分、能量分布和频谱特性。频域分析方法包括傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）等。

4.简述信号变换。

信号变换是指将信号从一种表示形式转换成另一种表示形式的过程。常见的信号变换包括时域到频域的变换（如傅里叶变换）、时域到时域的变换（如时移、尺度变换）以及频域到频域的变换（如滤波器设计）。

5.简述线性时不变系统的时域特性。

线性时不变系统（LTI系统）的时域特性包括系统的响应特性、输入输出关系和卷积性质。系统对输入信号的响应仅依赖于输入信号的当前值和过去值，与未来值无关。系统的输出可以通过输入信号的卷积得到。

6.简述线性时不变系统的频域特性。

线性时不变系统的频域特性包括系统的频率响应、传递函数和滤波特性。系统的频率响应描述了系统对不同频率信号的放大或衰减作用。传递函数是系统输入输出关系的频率域表示，用于分析系统的稳定性和滤波特性。

7.简述系统的稳定性。

系统的稳定性是指系统在受到扰动后能否回到初始状态或趋于稳定状态。根据系统响应的特性，稳定性可以分为渐近稳定性、稳定性和绝对稳定性。一个系统若在任意初始条件下，其输出信号的绝对值随时间趋于零，则称该系统是稳定的。

答案及解题思路：

答案：

1.信号是信息的载体，系统是能够接收信号并对其进行处理的装置。信号与系统的基本概念包括信号的分类、特性和系统的功能。

2.信号的时域分析通过观察信号随时间的变化来分析信号的性质，包括波形分析、时域卷积、微分和积分等。

3.信号的频域分析通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的分量，研究信号的频率成分和能量分布。

4.信号变换包括时域到频域、时域到时域以及频域到频域的变换。

5.线性时不变系统的时域特性包括系统的响应特性、输入输出关系和卷积性质。

6.线性时不变系统的频域特性包括系统的频率响应、传递函数和滤波特性。

7.系统的稳定性是指系统在受到扰动后能否回到初始状态或趋于稳定状态。

解题思路：

对于每个问题，首先理解信号与系统的基本概念，然后根据问题的具体要求，结合信号处理的相关理论和方法进行解答。对于信号的时域和频域分析，要熟悉傅里叶变换及其应用。在讨论线性时不变系统的特性和稳定性时，要理解系统的响应特性和频率响应，并能够应用这些知识来分析系统的行为。五、计算题1.已知信号\(f(t)=e^{at}u(t)\)，求其拉普拉斯变换。

解：拉普拉斯变换的定义为

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{st}dt\]

将\(f(t)=e^{at}u(t)\)代入上式，得

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{at}u(t)e^{st}dt\]

由于\(u(t)\)是单位阶跃函数，积分从0开始到无穷大，则上式变为

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{(as)t}dt\]

对\(e^{(as)t}\)积分，得

\[F(s)=\left[\frac{1}{as}e^{(as)t}\right]_{0}^{\infty}\]

因为\(e^{(as)t}\)当\(t\rightarrow\infty\)时趋向于0，所以积分结果为

\[F(s)=\frac{1}{sa}\]

2.已知信号\(f(t)=\cos(2\pift)\)，求其傅里叶变换。

解：傅里叶变换的定义为

\[F(\omega)=\int_{\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omegat}dt\]

将\(f(t)=\cos(2\pift)\)代入上式，得

\[F(\omega)=\int_{\infty}^{\infty}\cos(2\pift)e^{i\omegat}dt\]

利用欧拉公式\(\cos(x)=\frac{e^{ix}e^{ix}}{2}\)，将上式转换为

\[F(\omega)=\frac{1}{2}\int_{\infty}^{\infty}\left(e^{i2\pift}e^{i2\pift}\right)e^{i\omegat}dt\]

将指数函数展开，并分别对两个部分积分，得

\[F(\omega)=\frac{1}{2}\left[\int_{\infty}^{\infty}e^{i(2\pif\omega)t}dt\int_{\infty}^{\infty}e^{i(2\pif\omega)t}dt\right]\]

两个积分的结果均为\(2\pi\delta(\omega2\pif)\)和\(2\pi\delta(\omega2\pif)\)，因此

\[F(\omega)=\pi\left(\delta(\omega2\pif)\delta(\omega2\pif)\right)\]

3.已知系统函数\(H(s)=\frac{s1}{s^22s1}\)，求其零点和极点。

解：零点是指在\(H(s)=0\)时\(s\)的值，极点是指在\(H(s)=\infty\)时\(s\)的值。

零点求解：

\[\frac{s1}{s^22s1}=0\]

\[s1=0\]

所以零点为\(s=1\)。

极点求解：

\[s^22s1=0\]

\[(s1)^2=0\]

所以极点为\(s=1\)（重根）。

4.已知信号\(f(t)=e^{at}u(t)\)，求其时域积分。

解：时域积分表示为

\[\int_{0}^{\infty}f(t)dt\]

将\(f(t)=e^{at}u(t)\)代入上式，得

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}u(t)dt\]

由于\(u(t)\)是单位阶跃函数，积分从0开始到无穷大，则上式变为

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}dt\]

对\(e^{at}\)积分，得

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}dt=\left[\frac{1}{a}e^{at}\right]_{0}^{\infty}\]

因为\(e^{at}\)当\(t\rightarrow\infty\)时趋向于0，所以积分结果为

\[\int_{0}^{\infty}e^{at}dt=\frac{1}{a}\]

5.已知信号\(f(t)=\cos(2\pift)\)，求其频域积分。

解：频域积分表示为

\[\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega\]

其中\(F(\omega)\)是\(f(t)\)的傅里叶变换，根据之前的计算结果

\[F(\omega)=\pi\left(\delta(\omega2\pif)\delta(\omega2\pif)\right)\]

则频域积分为

\[\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega=\pi\left(\int_{\infty}^{\infty}\delta(\omega2\pif)d\omega\int_{\infty}^{\infty}\delta(\omega2\pif)d\omega\right)\]

根据狄拉克δ函数的性质，上述积分均为1，因此

\[\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega=\pi\]

6.已知系统函数\(H(s)=\frac{s1}{s^22s1}\)，求其逆拉普拉斯变换。

解：由于\(H(s)\)是一个有理函数，且\(s^22s1\)可以分解为\((s1)^2\)，所以

\[H(s)=\frac{s1}{(s1)^2}=\frac{1}{s1}\]

根据拉普拉斯变换表，\(\mathcal{L}^{1}\left\{\frac{1}{sa}\right\}=e^{at}u(t)\)，所以

\[h(t)=\mathcal{L}^{1}\left\{H(s)\right\}=e^{t}u(t)\]

7.已知系统函数\(H(s)=\frac{s1}{s^22s1}\)，求其逆傅里叶变换。

解：由于\(H(s)\)可以分解为\(\frac{s1}{(s1)^2}=\frac{1}{s1}\)，我们已知其拉普拉斯变换是\(e^{t}u(t)\)，因此，我们可以求其逆傅里叶变换来得到其时间域表示。

我们将\(H(s)\)的逆拉普拉斯变换得到的时间域信号\(h(t)=e^{t}u(t)\)，然后计算其傅里叶变换。

由于\(e^{t}u(t)\)是一个指数衰减函数，其傅里叶变换将是一个具有中心频率为0的脉冲信号，且其幅度衰减因子与\(t\)中的衰减指数相关。

具体的傅里叶变换计算过程较为复杂，涉及到指数衰减函数的傅里叶变换，结果通常为一系列衰减的正弦和余弦波组成，但在这里，我们不需要具体计算这个复杂的变换，只需要知道结果是一个时移和衰减的傅里叶变换。

系统函数\(H(s)\)的逆傅里叶变换通常表示为一个时移和衰减的信号，但具体的计算过程不在本答案范围内。

答案及解题思路：

答案：

1.\(\frac{1}{sa}\)

2.\(\pi\left(\delta(\omega2\pif)\delta(\omega2\pif)\right)\)

3.零点\(s=1\)，极点\(s=1\)（重根）

4.\(\frac{1}{a}\)

5.\(\pi\)

6.\(h(t)=e^{t}u(t)\)

7.逆傅里叶变换通常表示为一个时移和衰减的信号

解题思路：

1.使用拉普拉斯变换的定义，并利用指数函数的积分性质求解。

2.利用欧拉公式和狄拉克δ函数的性质求解。

3.通过系统函数的分子和分母因式分解，直接得到零点和极点。

4.利用拉普拉斯变换的时域积分性质，并求解指数函数的积分。

5.利用狄拉克δ函数的积分性质求解。

6.使用拉普拉斯变换表，找到对应的时间域表示。

7.基于逆拉普拉斯变换的结果，通过傅里叶变换的性质进行推理。六、证明题1.证明：线性时不变系统满足叠加原理。

(证明)

设线性时不变系统为\(S\)，输入信号为\(x(t)\)，输出信号为\(y(t)\)。

根据线性时不变系统的定义，若存在常数\(a\)和\(b\)，使得\(S(ax(t)bx(t'))=aS(x(t))bS(x(t'))\)。

证明：考虑输入信号\(x(t)=x_1(t)x_2(t)\)，其中\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)是任意信号。

输出信号\(y(t)=S(x(t))=S(x_1(t)x_2(t))\)。

根据线性时不变系统的性质，有\(S(x_1(t)x_2(t))=S(x_1(t))S(x_2(t))\)。

因此，线性时不变系统满足叠加原理。

2.证明：线性时不变系统满足时不变性。

(证明)

设线性时不变系统为\(S\)，输入信号为\(x(t)\)，输出信号为\(y(t)\)。

根据时不变性定义，若对任意时间平移\(t\rightarrowt\tau\)，有\(S(x(t\tau))=y(t\tau)\)。

证明：设输入信号\(x(t)\)的输出为\(y(t)\)，即\(y(t)=S(x(t))\)。

对\(x(t)\)进行时间平移\(t\rightarrowt\tau\)，得到\(y(t\tau)=S(x(t\tau))\)。

由于\(S\)是时不变的，有\(S(x(t\tau))=S(x(t))\)。

因此，线性时不变系统满足时不变性。

3.证明：线性时不变系统满足能量守恒定理。

(证明)

设线性时不变系统为\(S\)，输入信号为\(x(t)\)，输出信号为\(y(t)\)。

根据能量守恒定理，系统输出的总能量不大于输入的总能量。

证明：输入信号的能量为\(E_x=\int_{\infty}^{\infty}x(t)^2dt\)。

输出信号的能量为\(E_y=\int_{\infty}^{\infty}y(t)^2dt\)。

由于\(S\)是线性的，有\(y(t)=S(x(t))\)，因此\(y(t)^2\leqS(x(t))^2\)。

由于\(S\)是时不变的，有\(S(x(t))^2\leqx(t)^2\)。

因此，\(E_y\leqE_x\)，线性时不变系统满足能量守恒定理。

4.证明：线性时不变系统满足因果性。

(证明)

设线性时不变系统为\(S\)，输入信号为\(x(t)\)，输出信号为\(y(t)\)。

根据因果性定义，系统的输出信号只能由当前和过去的输入信号决定，而不能由未来的输入信号决定。

证明：假设在时间\(t_0\)之前没有输入信号\(x(t)\)，即\(x(t)=0\)对于\(tt_0\)。

由于\(S\)是时不变的，有\(y(t)=S(x(t))=S(0)=0\)对于\(tt_0\)。

因此，\(y(t)\)的值只由\(x(t)\)在\(t_0\)及其之后的时间决定，满足因果性。

5.证明：线性时不变系统满足稳定性。

(证明)

设线性时不变系统为\(S\)，输入信号为\(x(t)\)，输出信号为\(y(t)\)。

根据稳定性定义，如果系统的初始状态为零，且所有输入信号都是有界的，那么系统的输出信号也是有界的。

证明：设初始状态为零，即\(x(t)=0\)对于\(tt_0\)，其中\(t_0\)是某个时间点。

如果所有输入信号\(x(t)\)都是有界的，即存在常数\(M\)，使得\(x(t)\leqM\)对于所有\(t\)。

输出信号\(y(t)\)为\(y(t)=S(x(t))\)，且由于\(S\)是线性的，有\(y(t)\leqS(x(t))\leqM\)。

因此，输出信号\(y(t)\)也是有界的，线性时不变系统满足稳定性。

答案及解题思路：

对于上述证明题，答案已经包含在每个证明的段落中。

解题思路主要是根据线性时不变系统的定义和性质，利用数学推导来证明系统满足给定的原理或定理。七、应用题1.设计一个低通滤波器，使其截止频率为100Hz。

题目描述：设计一个低通滤波器，要求其截止频率为100Hz，能够有效地让低于100Hz的信号通过，而高于100Hz的信号被衰减。

解题思路：可以选择巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Cheshev）或椭圆（Elliptic）滤波器设计方法。这里以巴特沃斯滤波器为例，使用归一化频率设计，然后根据实际系统带宽进行频率缩放。

2.设计一个带通滤波器，使其通带频率范围为100Hz～200Hz。

题目描述：设计一个带通滤波器，要求其通带频率范围为100Hz～200Hz，只允许这个频率范围内的信号通过。

解题思路：可以采用双低通滤波器组合的方式设计带通滤波器。首先设计两个低通滤波器，一个截止频率为100Hz，另一个截止频率为200Hz，然后将两个低通滤波器的输出相减。

3.设计一个高通滤波器，使其截止频率为200Hz。

题目描述：设计一个高通滤波器，要求其截止频率为200Hz，能够有效地让高于200Hz的信号通过，而低于200Hz的信号被衰减。

解题思路：类似于低通滤波器的设计，使用高通滤波器设计方法，如巴特沃斯、切比雪夫或椭圆滤波器。

4.设计一个带阻滤波器，使其阻带频率范围为100Hz～200H