平面向量的数量积(分层训练)-2022年新高考数学一轮(提升训练)(解析版)

第25讲平面向量的数量积

【提升训练】

一、单选题

i.已知非零平面向量痴满足|办园=7尻则同卡|的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为同的不等式即可得解.

【详解】

依题意,25>0，归+4=£彳。(£+，=0而=片+2£$+片=(£・历2,

<^>\af+\b\1=(ab)2-2a-b<^(\a\-\b\)2+2\a\\b\+\=(ab-\)2,

当0<〃不《1时，上述最后等式不成立，从而有

£.[-1=引)2+2|同•历1+12在|£|•出|+1，当且仅当|£|二|向时取"=”，

又。•坂<|。|“坂|,当且仅当£与B同方向时取“="，

则有J211HH+1«£$-1旦6•⑸-1=>2|吊.|5|+1«(|£|・|臼-1)2,解得

|a|.|^|>4,当且仅当£=A时取“=”，

所以同忖的最小值是4

故选：A

【点睛】

结论点睛：平面向量a,B，a-b<\a\\b\,当且仅当G与各方向相同或至少一个为零向量

时取等号；ab>-\a\\b\,当且仅当)与坂方向相反或至少一个为零向量时取等号.

2.已知点Pw{(苍y)|(x+2)2+(y-J7)2=2},点

%=(一1严则而•丽的最大值为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】

M+,

先分别设出P(&cos6-2,JIsine+J7),e(/7,(-l)—),再运用向量的数量积再

n

1

分析最大值即可.

【详解】

设P(忘cose—2,后sin夕+近),0«e421，Q5,(—1)“”•—)，

n

所以丽•丽二〃(应cose—2)+(&sin9+J7)•(—1)川•立，

n

因为〃wN*,—1<cos^<1,-1<sin<1,

所以夜cos9—2<0，&sin®+近>0，

所以要使丽•丽最大，〃=1,

所以丽•丽=&cos〃-2+(x/5sine+b)b=4sin(，+e)+5.

所以（丽衣）3=9.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键一是将点坐标化，二是分析到〃=1时有最大值，然后再用辅助

角公式.

3.如图，在正方形A8CO中，边长为立，E是3C边上的一点，ZE4B=30°,以A为

2

圆心，AE为半径画弧交8于点尸，。是弧E尸上（包括边界点）任一点，则Q.丽的

取值范围是（）

【答案】B

【分析】

利用向量投影的概念把求AP.BP的取值范围转化为求怀可|加|的取值范围.

【详解】

2

过P作尸于点H,因为NE44=30。，A5;也，所以AE=1，BE=DF=?，

22

因为P是弧所上（包括边界点）任一点，所以网=1,

ULIUUUUUU

又因为5P=4P—AB，

所以正历=丽•（而一而卜丽2-丽.丽『一丽.福

=1-布福=1-府|脚际/尸48=1-网（麻卜05/尸码=1一|科丽，

所以当点P与点尸重合时，此时A〃=aF=；,|无叫狎最小，且最小为=¥,

所以，户・B户，且最大为1一且；

4

当点P与点E重合时，此时点”与点8重合，忖邳而|最大，且最大为自、岑二:,

31

所以A户户最小为】一二二7，

44

：/o-

所以丽•丽的取值范围是:，1—一•

44

故选：B.

4.若两个非零向量心日满足m+日|=Jim-5i=6mi，则向量彳-B与彳的夹角为

（）

n八万一2万n5万

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】

孱+Bl=6ia-加=后⑷平方，得到|菊,出|关系，以及〃石与向关系,求出

与111的关系，根据向量夹角公式，即可求解.

【详解】

解：^\a+b\=yf3\a-b\=y/3\a\,

・••伍+5）2=30-1）2=3万2,

->1-152-

-\ah=a2——b2=—,：.\a\=\b\,

22

3

••\a-b\=\b\^(d-b)-d=d2-ab=b2=3户,

J_T2

(a-b)a21

,•cos<a-b,a>=________—J_

|5-^||^|b22

且＜彳一瓦万＞G[0,^],

・・・5-5与汗的夹角为?.

故选：B.

5.已知△A3C是边长为2的等边三角形，其中M为BC边的中点，N4BC的平分线交线

-------------------z12

段AA7于点N,交AC于点。，且AM-3N=-（〃+〃）（其中。＞0,6＞0）,则,+g的

最小值为（）

【答案】A

【分析】

根据题意建立平面直角坐标系，求得赤•丽=-1，进而得到〃+匕=1,然后由“1”的代换,

利用基本不等式求解.

【详解】

由题意，建立如图所示平面直角坐标系：

4

所以丽"二仙-⑹,前

则丽？•丽=-1，

因为AM•BN=-(a+b),

所以〃+Z?=1,

12(12\与b2。、cclb2a./r

所cri以.l一+—=>3+2\J2,

ab{—a+—b)y(a+b)7=3+—a+—b>3+2\J-a----b--

a+b=1

当且仅当2a，即。=应-1,6=2-应时，等号成立.

［a=~b

故选；A.

6.己知|町二夜，/|=4,当B_L(4M—5)时，向量M与日的夹角为()

A.乌B.巳C,也D.史

6434

【答案】B

【分析】

根据题意，设向量］与弓的夹角为。，由数量积的计算公式可得

加(4M—5)=4k5—52=160cos。—16=0,变形可得cos。的值，结合。的范围分析

可得答案.

【详解】

根据题意，设向量］与B的夹角为6,

若B_1_(4万—5),则B(4万一万)=41・5—52=16^2cos-16=0.

变形可得：cos6>=—.

2

又由啖吩)，则。=工，

4

故选：B.

7.在矩形ABCO中，A5=4，AD=B点P在CD上，~DP=3PC，点。在8P上,

而.通=14,则审福=()

A.6B.8C.10D.12

5

【答案】D

【分析】

画出图形，建立坐标系，求出P的坐标，然后求解。的坐标，然后求解向量的数量积即可.

【详解】

建立如下图的坐标系，在矩形A3CO中，A3=4,=又点尸在。。上，DP=3PC^

由已知得尸(3,6),8(4,0),4(0,0),

点。在B尸上，过点。作于点£,又AQAB=14,所以荏.丽=14，即

|研网=14,

所以|赤卜g,EB=g,NQBA=(,所以QE=*，所以Q:，当，

8.已知点P的坐标为(U)，将向量而绕原点。逆时针方向旋转§到OP'的位置，则点P'

坐标为()

一臂印B.增臂)c.44)T

【答案】A

【分析】

设出OPf的坐标，然后根据丽的模长以及而.郎的结果计算出p的坐标.

【详解】

设OP=(x,y),则|。尸‘卜］。尸卜血，所以炉+/=2,

——TT

乂OPOP=x+y=2cos-=l,

6

由上面关系求得诃二(上手'等)或(♦乎,竽)

而向量而由而绕原点。逆时针方向旋转60。得到，且?在第一象限，所以P'的纵坐标

为正数，

故诃=邛¥］：

(22J

故选:A.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于通过向量的模长公式以及数量积运算完成坐标的求解；本

例除了可以通过向量求解，还可以通过任意角的概念以及两角和的正余弦公式完成计算：记

P(尤cos夕逝si吟)，则尸(V^cos：+?),0sin

,由此亦可求解出结

果.

9.己知而_1_/，,耳=；,卜。|=/,若P点是△A8c所在平面内一点，且

—AB9AC

阿阿则丽・定的最大值等于()

A.16B.4C.82D.76

【答案】D

【分析】

以A为坐标原点建立平面直角坐标系，可得C(0,/)(r>0),利用平面向量坐标

运算可求得P(l,9),由数量积的坐标运算可表示出方.定，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则叫,0),C(0,r)(r>0),

7

•・•福而=（0"）,.，.而=（：,0）+，（0/）=（1,9）,即户（1,9）,

:.PB=；T，-9）,PC=（-l,z-9）,.•.而.斤=1_；_%+81=82_（次+；｝

-t>0,/.9/+y>2^9r1=6（当且仅当为=>,即，=；时取等号），

.•.（丽码482-6=76.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：

（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积

的求解问题；

（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.

10.等边AABC的面积为9石，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|=1,

则丽•丽的最小值为（）

A.-5-2x/3B.-5-4x/3C.-6-26D.-6-473

【答案】A

【分析】

根据三角形面积求出三角形的边长，以A8为x轴，A8的中垂线为「轴建立平面直角坐标

系，由条件得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为％2+'2-20》+2=0,

且6+退，然后用向量数量积的坐标公式得出丽•丽的表达式，在求其最小

值.

【详解】

设等边△A3C的边长为。，则面积5=且/=9百，解得。二6

4

以AB为工轴，A8的中垂线为>轴建立如图所示的平面直角坐标系.

由为AABC的内心，则M在。。上，且OM=』OC

3

则4（-3,0）,B（3,0）,C（0,3@,M（0,@

由=则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.

设N（x,y）,则公+（）,_6）2=1，即丁+/一2百5+2=0,且75-1«丁工1+6

8

附=(一3-x,-y),NB=(3-x,-y)

M4-A^=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2>/3y-ll>273x(73-1)-11=-5-2>/3

本题考查动点的轨迹方程和利用坐标求向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系

得出点N在以M为圆心，I为半径的圆上，其方程为％2+,2-20y+2=0,且

+B进而得出丽•丽=(X+3)(x-3)+y2,属于中档题.

11.在边长为1的菱形438中，NA=?，若点尸，。满足丽=a豆心，DQ=/3DC,

其中。,4>0且a+/=l,则而•硕的最大值为()

1137

A.—B.3C.—D.-

284

【答案】C

【分析】

由乔=a前可得/=0而，由而=/反可得加二夕而，又以十夕=1,所以

DQ=(\-a)AB

化简修•福，并根据福•丽=5得到衣•通=5。(1-«)+-,利用基本不等式得出

结论.

【详解】

由题意可得1月•八方二lxlxcos£=，

32

由丽=a而可得旃=0前，

由力0=£加可得而二夕而，

又a+/=l,所以而二(1—a).通

9

贝1用.而=（而+而）•（而+珂

二（而+a码•[而+（1-a）-珂

=而.而+或1-二）彷丽+（1-1）网2+《叫2

=—+—a(\-a)+l-a+a

3

1z.x,3\(a+\-a+13

-一

=—a(l-cr)+—<—2-8

2222

当且仅当a=l—a,即a=一时取等号，此时夕二,

22

故选：C.

【点睛】

如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知且数量积可求，常见的可以边所成

向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.

12.已知|1|=1,出|=3,则|2万+日|+|2万一5|的取值范围是（）

A.[4,6]B.[4,2713]C.[6,2>/13]D.[6,56]

【答案】C

【分析】

令/=以）$<£石>,则化简可得（|21+5|+|2彳一5|）=26+2>/169-1441,根据

即可求出.

【详解】

令t=cos<atb>,则f«—U]

\2a+b\=\l4^+4a-b+^=j4+4xlx3z+9=J13+12/，

\2a-b\=yl4^-4a-b+b="-4xlx3/+9=J13-⑵，

则（|2d+5|+|2日一bl）2=|2a+b^+2\2a+b\-\2a-b\+\2a-b\1

=13+12/+2jl3+12rJ13-⑵+13-⑵

=26+2,169-144/，

VZG[-1J],,-.25<169-144/2<169»则5KJ169-144r?43

/.36<26+2川69-144。<52•

10

则可得|2H+5|+|2M-5|的取值范围是［6,2万］.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查平面向量模的运算和数量积的运算律，解题的关键是化简求出

(|21+5|+|2彳一5『再求解.

13.在△ABC中，ZA=60。，AB=3,4c=2,若丽=2比，AE=2AC-AB(AG/?),

且而•通=-4，则％的值为()

3333

A.—B.-C.—D.—

78511

【答案】D

【分析】

设/BA0=a,NC4O=£则。+夕=(,在4ABC中，由正余弦定理求8。、sin8、sinC，

结合已知可得30、DC，可求40,分别在△ABD、△C4O中求cos。、cos/7,而

ADAE=AADAC-ADAB＞结合向量数量积的定义有石％-5=-4，即可求〃值.

【详解】

设®。则。+夕=?,

由题意知：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=7，即BC=>/7，

AC_ABBC_2>/21p-r-

由正弦定理知：sin8-sinC一.万一3，即sin3=-----，sinC=--------.

sin—714

VfiO=2DC>则有50=空，DC=立,

33

11

・•・AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB=—,即AO=上

93

ADBD.2V1TTa5历

在^A8D中，=.，见sina------，fixcosa------，

sinBsina3737

A。__2£1nl.〃3Vm珈〃11后

在△C4。中，

sinCsm夕7474

ADAE=AD{^AC—AB)=4A。•AC—A£)•AB=-4，而

■■■.jJ....

ADAC=\AD\\AC\cos/3=—fAD-AB=|AD||AB|cosa=5,

113

A—Z-5=-4,BP2=—.

311

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：在三角形应用正余弦定理求边及其对应的余弦值，根据向量数量积的运算律及

定义，结合已知列方程求参数.

14.已知向量满足同=2版卜3,且M与5的夹角是120。，则口+目的值是（）

A.7B."C.19D.加

【答案】B

【分析】

根据模长性质先求归+可二转化为向量数量积运算，即可求解.

【详解】

1+=（「+£）2=?+2荽+12=*+2厢cosR+W=22—6+32=7,

.,.|^+h|=>/7.

故选：B

【点睛】

思路点睛：本题考查向量的模长及向量的数量积运算，求解向量的模长常用同2=12,即

同=筛，考查学生的计算能力，属于基础题.

15.已知非零向量之石满足同=2耳,+司=6|阳则向量2日的夹角为（）

12

【答案】B

【分析】

由卜+5『=3时，结合平面向量数量积的运算律可求得品5=-时，由向量夹角公式计

算可求得结果.

【详解】

由B+@=GW得：卜+耳=同2+21.B+|b|2=3W,

又同=2阵.二咽2+2不・5+|5j=3同，解得：a-b=-\b^f

_rab一|司1尸「八】尸2万

cos<a,b>==2=,又>£[0,笈],:.<a,b>=——.

同峭2\b[23

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量夹角的求解问题，解题关键是能够根据平面向量数量积的运

算律，利用模长的平方运算求得两向量数量积与模长之间的关系.

16.已知两个单位向量q1的夹角为60。，向量机=，1+WQVO),则()

A.匕」的最大值为一B.的最小值为-2

C.-—的最小值为-D.-—^的最大值为・2

t2t

【答案】A

【分析】

由已知表不出手，可得手=+即可根据二次函数性质求解.

【详解】

由题可得同=同=1,不G="ix；=；，

当2=-_1,即f=y时，回取得最大值，且最大值为一如，无最小值.

t2t2

13

故选：A.

【点睛】

易错点睛：本题考查向量数量积的运算，易错之错在f<0,化简时注意将负号提出.

17.如图，已知从O是直角。两边上的动点，AD-LBD^\AD\=43tZBAD=^

6

则两•国的最大值为（）

A.?R2+9c4+如

24

【答案】C

【分析】

以点O为坐标原点,以方向为工轴正方向，以ZM方向为y轴正方向，建立平面直角坐

标系，再由题中条件得到M、N分别为ZM、的中点，求得M,NO,

点C是以££>为直径的圆上的点，设C（羽y）,用坐标表示H；函.西，进而可求出其最大

值.

【详解】

由题意，以点O为坐标原点，以£>8方向为元轴正方向，以方向为>轴正方向，建立如

图所示的直角坐标系，

14

y

A

N

D

C

因为|AD\=下》，Z.BAD=一,所以BD=1，

6

则短（0,0）,5（0,0）,A（0,V3）,

又两」（m+函，OV=-（Cb+C4）,

22

所以M、N分别为DA、84的中点，

又CDCD,所以点。可看作以8。为直径的圆上的点,

i\2

2即炉+y2=x,

设C（x,y）,则x——+y

2)4

uuir1_Guun

又CM=5"Ty,CN=-%,

uuu-inn13_13

2-X

所以CM.CNE1X+X+/回+92-4-

令m=；x_6y,即x-2百y-2阳=0,

所以点C（X,y）为直线x-2石y-2/〃=0与圆x—；）+y2=；的一个交点，

因此圆心f"o］到直线彳-2伤-2机=0的距离小于等于半径!，即,2-2H1

\2）2d=i-==^<-

''Vl+122

献俎1一屈/J+至

解得------4川4-------,

44

所以两•国的最大值为匕巫二包巫.

444

故选：c.

15

【点睛】

方法点睛：

求解平面向量的相关问题时，对应有特殊角的图形，一般采用建立坐标系的方法进行求解,

将向量用坐标表示，得出所求的数量积(或其它量)的坐标表示，进而即可结合题中条件求

解.

18.已知向量万、日是单位向量夹角为90。，向量1=舟+病，sinv%^>=()

A.逅B.@C.也D.1

3322

【答案】A

【分析】

设2=(1,0)石=(0,1),利用坐标运算求出cos再求sinv2”.

【详解】

因为向量G、B是单位向量夹角为90。，

不妨设£=(i,o)石二(o,i),则旌宿+府

/--、游6+0G

所以……耐K7

所以sin<a,e>=Ji-(cos<a,,>)2=等-=当

故选：A

【点睛】

向量类问题的常用处理方法一向量坐标化，利用坐标运算比较简单.

19.已知在△ASC41,AB=4,8c=6,。是△ABC的外心，则明.而7的值为()

A.8B.10

C.12D.16

【答案】B

【分析】

向量衣=豆仁一丽，以及|耳0COS/。5c=|月qj的卜0$/。84=|丽卜利用已知边长

进行求解.

【详解】

Bd^C=BdBC-BOBA

=|BO|-|BC|COSZOBC-|BO|-|BA|-COSAOBA

16

2\i।।।/2v'

故选：B

【点睛】

利用向量的线性运算和向量投影的概念即可得解，解题时要结合题目中的信息进行灵活运

用.

20.已知单位向量另满足£4=0,若向量工=百£+石加贝iJsinvZ，c>=（）

巫如

A.B.「小nV59

4488

【答案】B

【分析】

由题设易得7（、6£+G5）二|£||2|cosv£,2>,由已知向量"的线性表达式，两边平方求

|c|,进而求得cos<〃,c>,即可求sin<〃,c>.

【详解】

由题意，得7"=£.（石£+百历=67+石0，又£石=0,3为单位向量，

，〃•c=|〃c|cos<ayc>=出,又|工『=（百£+百万产=8,即向=20,

•--->/5V10口--r八1知.--V6

..cos<a,c>=—十二----,乂<〃,c>£[0,;r],故sin<4,c>=—.

2V244

故选：B.

【点睛】

关犍点点睛：利用向量数量积的运算律求及|）|,再结合数量积定义求向量夹角<Z,2>

的余弦值.

21.已知产是圆C：炉+,2_41+6），+11=0外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别

为A,8.则丽.丽的最小值为（）

A.40-6B.4-3A/2C.2D.72

【答案】A

【分析】

把圆的一般方程化为标准方程，根据圆的切线性质，结合锐角三角函数的定义、二倍角公式、

平面向量数量积的定义、基本不等式进行求解即可.

【详解】

圆C的标准方程为（x-2）2+（y+3>=2,则圆。的半径为近,

17

设|PC|二d，则|PA|=|P8|="^，

•/sinZAPC=—,cosNAPB=1—2

dd=1懵

丽丽=（/-2）（1_引=/+*_6..2痒6=4加一6,

Q

当且仅当［2=/，即加=20>2时，等号成立，

故丽•丽的最小值为4及-6.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：利用圆的切线性质结合锐角三角函数定义、基本不等式进行求解是解题的关键.

22.已知^ABC的外心为0,2A0=荏+X?，|而|二|而卜2,则布.正的值是（）

A.6B.|C.2GD.6

【答案】D

【分析】

分析出A3_L4C,由|而|=|福卜2可求得NO84=60'，再利用”面向量数量积的运算

性质可求得结果.

【详解】

•••2而=而+/，则而一通=/一衣，即加=泥，则。为的中点，

又因为0为AABC的外心，则|砺卜|丽卜|反

所以，ziABC为直角三角形，旦AB_LAC，

，。二|丽卜2=|砺卜所以，AOAB为等边三角形，则NQR4=60：

18

由勾股定理可得|西=/因2T而1=26，

AOAC=i(AB+AC)AC=1AC2=1x(273)2=6,

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

(1)利用定义：

(2)利用向量的坐标运算；

(3)利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

23.设点4一2,-2),3(—2,6),C(4,-2),P(2sina,2cosa)，其中&wR,则|AP+BP+CP\

的取值范围为()

A.[4,8]B.[4,6]C.[-2,4]D.[6,8]

【答案】A

【分析】

由题可知，点?在圆炉+丁=4上，设尸(x,y),根据向量的坐标运算可求得

IAP+BP+CPf=40-\2y,由V的范围可求得|A户+B户+。户|的取值范围得选项.

【详解】

由题可知，点?在圆f+y2=4匕设P(x,y),

则Q=(x+2,y+2),而=(x+2,y-6),方=(x-4,y+2),所以Q+而+丽=(3x,3y-2),

所以|Q+而+而『=9%2+9),2_]2)，+4=40-12p，因为-2WyW2,所以

16<40-127<64,

所以4。而+而+存区8,所以|4户+8户+。户|的取值范围为[4,8],

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的模的范围的问题，关键在于得出点P的轨迹方程，运用点的坐

标表示出所求的向量的模，由点的坐标的范围可得以解决.

24.如图，已知圆A,圆。的半径均为退，AABE>ABEC,△EC£>均是边长为4的

等边三角形.设点P为圆。上的一动点，衣.苏的最大值为()

19

A.18B.24C.36D.48

【答案】C

【分析】

以4力为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆。方程设

P(4+>/3cosx/3sina),写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角

函数知识得最大值.

【详解】

ABC。月相对不动，只有P点绕£>点作圆周运动.

如图，以AO为工轴，E为坐标原点建立平面宜角坐标系，由题意4-4,0)，4(-2,2右)，

。(2,26)，

圆O方程为(x—4)2+y2=3,设尸(4+6cosa,JJsina),

则n=(6,2扬，丽=(6+#8sa,Gsina-2G),

ACBP=6(6+x/3cosa)+2瓜6sina-2百)

=65/3cosa4-6sina+24=12—sina+^cosa+24=12sin(a+—)+24,

I22)3

jr

易知当sin(a+§)=l时，而取得最大值36.

故选：C.

20

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计

算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值.

25.正AA/C的边长为3,M是正AA/C所在平面内一点，则两｛2而豆+碇）最小值

是（）

932181

A.—B.一一C.---D.——

44416

【答案】C

【分析】

首先利用向量的运算法则，转化向量，再利用不等式关系求数量积的最小值.

【详解】

A^（2M5+^）=3M4（-^+-A7C记丽=2丽+，碇，则丽=!而，

U3）333

连接AM取AN的中点0,

（M4+AW）~-（M4-AW）-4而-丽2部

MAMN=--------------L-------------------=---------------->---------'

444

M42=9+1-2x3x1x1=10-3=7,+

故选：C.

【点睛】

21

关键点点睛：本题考查向量的转化，以及向量数量积，本题的关键是由丽=2砺+_1碗

33

可知丽=?而，重点考查转化与化归的思想，计算能力.

3

26.平面直角坐标系xOy中，A（2,0）,该平面上的动线段PQ的端点P和。满足|丽卜5,

丽•方=6，0Q=2P0,则动线段P。所形成图形的面积为（）

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【分析】

由向量数量积和模长的坐标运算可求得动点?在直线x=3上，且结合

而=2可可确定动线段尸。所形成图形，利用数形结合的方法可求得结果.

【详解】

设尸（x,y）,由丽.函=6得：2x=6，解得：x=3,

Q|阴=Y+y2425,代入工=3得：-4<y<4,

「•动点P在直线x=3上，且

由。。=2尸。可得：（小〃）=2（-％,一月，厂.机=-6，n=-2y,

则动线段PQ所形成图形是△OP产和△OQQ',如图所示，

22

..所求面积S=SqpF+S畋Q=—x8x3+—xl6x6=60.

22

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量与线性规划的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量

的坐标运算得到变量所满足的关系式，从而确定满足题意的区域.

27.已知圆M：+（y-b）2=3（。力£R）与圆0：工2+,2=1相交于人，A两点,

且［4同=有，则下列错误的结论是（）

A.必•丽是定值B.四边形0AM8的面积是定值

C.。+力的最小值为一夜D.。・。的最大值为2

【答案】C

【分析】

根据是正三角形，计算MA•MB”：判断A,计算出四边形0AA/8的面积判断B,

得出41关系后由基本不等式求得的最小值和。力的最大值判断CD.

【详解】

因为圆M的半径为G，而恒却=有，所以△M48是正三角形，

MA-MB=>/3x73xcos—=—为定值，AiE确;

32

|阴=6,圆。半径为r=1,所以。到弦A5的距离为1=又M到

2

48的距离为所以|OM|=g+|=2,而0M_LA5,OM是46的垂史

平分线，SOAMB=^\OM\\AB\=^-x2xy/3=43,B正确;

由上得02+//-4,

22,r2

a+b

|；=2,-2五Sa+b£2五,当。=/?=-2时，。+6=-2&，最小

值是一2&，C错；

^<£11^1=2,当且仅当°=b=亚时，ab=2,所以。人最大值是2,D正确.

故选：C.

【点睛】

23

关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，由相交弦长求出参数关系，再利用基本不等式求

解.在本题中有一个误解，圆。和圆M相交有两种情形，一种四边形是凸四边形，

一种四边形O4M8是凹四边形，而我们中学研究的是凸四边形，凹四边形不在研究范围内，

不需考虑.否则B也是错误的.

28.在直角△A8C中，c分别是AABC的内角A,B,C所对的边，点G是4AbC

的重心，若4G_LBG,则cosC=（）

A.正B.巫

33

c.3D.i

55

【答案】B

【分析】

把血,豆不用而龙示,然后由数敏［/为0川得a,b,C的关系，再由直角二角形A5C.

中C不可能是直角，不妨设8是直角，则bcosC=a,从而可求得f,即cosC.

b

【详解】

因为G是AABC的重心，所以函=2x!（dX+而）=」（石+而），

323

GA=