广东省初中数学中考命题规律分析

广东省初中数学中考命题规律分析

目录

【模块一】知识模块考查题量分布.......................................1

【模块二】经典题型分析...............................................2

经典考查题型一：用科学记数法表示数（易）.........................2

经典考查题型二：几何体的三视图及立体图形三视图（易）............4

经典考查题型三：代数式化简求值（易）.............................6

经典考查题型四：统计与概率综合（中）.............................8

经典考查题型五：方程、不等式的实际应用问题（中）...............15

经典考查题型六：圆综合（难）....................................18

经典考查题型七：二次函数综合（难）..............................25

经典考查题型八：几何综合（难）..................................35

2021-2023年广东省初中数学中考命题规律分析

【模块一】知识模块考查题量分布

图形的统计与概

模块名称数与式方程与不等式函数图形的性质

变化率

东莞市

中山市

韶关市

珠海市

汕头市

佛山市

近

江门市

湛江市

年

茂名市

中

肇庆市169141886

考

惠州市

题

梅州市

考

汕尾市

查

河源市

题

阳江市

量

清远市

潮州市

揭阳市

云浮市

广/p>

深圳市178101588

考情分析:

。东省除广州市和深圳市独立命题外，其他各市的中考数学考试内容是相同的（后续统一命'

名为广东）.从近几年的数学试意来看，重点考查丛础知识和基本技能，知识点考查的比较全

面，但思维难度不大，大多数题目属于中等偏易类题目，做好基础知识的复习是取得高分的

关键；

压轴题多以代几综合类题目为主，其考查方向相对比较灵活，因此需要复习的覆盖面也会随

之增大.

\______________________________________________7

【模块二】经典题型分析

经典考查题型一：用科学记数法表示数（易）

NO1.题型特点

给出较大的数或远小于1妁数，要求用科学记数法将该数表示出来.

NO2.解题技能

<\

用科学记数法表示数的最终结果是。xl（）"的形式，具体的方法是移动小数点法，小数点移动

的位数决定了〃的值：小数点向左移动，〃为正；小数点向右移动，"为负.

注意：〃的取值范围要求是iKavlO.

NO3.经典考题

1.（2023•广东）2023年5月28日，我国自主研发的。919国产大飞机商业首航取得圆满成

功.0919可储存的186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A.0.186X105B.1.86x105C.18.6xl04D.186xl0*1234

【解答】解：将186000用科学记数法表示为：1.86X1O5.

故选：B.

2.（2023•深圳）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000

万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（）

A.0.32xlO6B.3.2x10’C.3.2x10°D.32x10s

【解答】解：320000=3.2x10$.

故选：B.

3.（2022•深圳）某公司一年的销售利润是1.5万亿元.1.5万亿用科学记数法表示为（）

A.0.15x10"B.1.5x!012C.1.5x10"D.15xlO12

【解答】解：1.5万亿=1500000000000=1.5x1（）12.

故选：3.

4.（2021•广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）

及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学

记数法表示为（）

A.0.510858xIO9B.51.0858xl07C.5.10858xIO4D.5.10858x1（/

【解答】解：51085.8万=510858000=5.10858x1()8,

故选：D.

5.(2023•广州)近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升.截至2023年5月底，某

市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为.

【解答】解：280000=2.8xlO5,

故答案为：2.8xl()5.

经典考查题型二：几何体的三视图及立体图形三视图（易）

NO1.题型特点

直接识别已知的简单几何体或组合体的三视图，或根据三视图判断简单几何体或组合体的形

状.

\/

NO2.解题技能

公记主视图、.在视图和俯视图的准确定义，掌握三个视图之间的关联.从左面看-左视图,从'

上而看-俯视图，从正面看-主视图.

注意：看得到的线用实线，看不到但存在的线用虚线表示.

\______________________________________7

NO3.经典考题

I.（2023♦广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）

【解答】解：由主视图和左视图可以得到该儿何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以

得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合.

故选：D.

2.（2022•广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）

【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，

••・判断这个几何体是圆锥.

故选：A.

3.（2021•广东）下列图形是正方体展开图的个数为（）

故选：c.

4.（2021•深圳）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所

在面相对的面上的字是（）

A.跟B.百C.走

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，和“建”字所在面

相对的面上的字是“百”.

故选：B.

经典考查题型三：代数式化简求值（易）

NO1.题型特点

代数式的化简求值既包括整式的化简求值问题，又包括分式的化简求值问题；此类问题的经

典题型包括：直接代入型、整体代入型和消元代入型（常出现在分式的化简求值问题中）.

\_________________________________________________________________________________

NO2.解题技能

化简求值问题的表本解题要求是：先化蔺，再求值

注意：化简结果和求值结果都是非常重要的得分点，要注意规范解题步骤.

\____________________________________；________________________________/

NO3.经典考题

1.（2023•广州）已知”>3，代数式：A=2/_8,B=3a*2+6a,C=/—4/+4a.

（1）因式分解4：

（2）在A,4,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分

式.

【解答】解：（1）2a2-8

=2（/-4）

=2(6/+2)(a-2)；

（2）选A,8两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一）,

2(a+2)(a—2)

3a(a+2)

2(a—2)

3a

|x2-I

2.（2023•深圳）光化简，再求值：（，+1）+工其11x=3.

x-1X-2x+l

［解答］解：原式二上忙!.QT）2

x-\（x+l）（x-l）

xx-1

x-\x+\

X

.r+1

原式=工=之

当x=3时,

3+14

*2-*45\

3.(2022•广东)先化简，再求值：〃+-a----,其中a=5.

£7-1

【解答】解：原式="("-)+'一

a-\

a2-a+a2-］

~'a^\

2a2-a-\

~~'a^\

_(2a+l)(a-l)

a-\

=2。+1,

当a=5时，原式=10+1=11.

4.(2022•深圳)化简求值：(生匚一1)二:以+4,其中x=4.

XX-x

.hn3、Hn2A,-2x~—4x+4

【解答】解：(Z-------1)+—；------

XX-x

2x-2-x(A-2)2

=---------r------

xx(x-1)

x-2x(x-\)

x(x-2)2

x-\

=----9

x-2

当x=4时，

3

=­.

2

5.(2021•深圳)先化简再求值：(，+1)J+6+9,其中彳=一1.

x+2x+3

［解答］解：原式=匕士.，」+3

x+2%'+6.v+9

_x+3x+3

x+2(x+3)2

1

-x+2'

当x=-1时，原式=---=I.

-1+2

经典考查题型四：统计与概率综合（中）

NO1.题型特点

题干给出大量的文字和图表信息，提炼题干中的关键信息，补全图表并计算中位数、众数、

方差、平均数等分析数据、推断结论的合理性、已知部分求整体、已知整体求部分等等.

\/

NO2.解题技能

从先要看清给出的图表标题，分析各个图表一间的联系，注取关键信息，掌握中位数、众叁\

方差等分析数据代表的含义及具体的计算公式，已知部分求整体，已知整体求部分等补全图

表的能力很重要.

注意：根据列表法或树状图法求事件发生的概率也是常考的点.列表法适用于计算两步随机

七件发生的概率，而树状图法适用于计算两步及更多步的随机事件发生的概率.

y

NO3.经典考题

1.（2023•深圳）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某

居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施

4种选项，一共调查了〃人，其调查结果如下：

如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）,请根据统计图I可答下

面的问题：

①调查总人数a=—人；

②请补充条形统计图；

③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？

④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区卜.发满意度调查问卷，其结果（分数）如卜.：

项目休闲儿童娱乐健身

小区

甲7798

乙8879

若以进行考核，小区满意度（分数）更高;

若以进彳丁考核，—小区满意度（分数）更高.

【解答】解：①，由题意得，=40-40%=100,

故答案为：100：

②样本中“娱乐”的人数100-17-13-40=30（人），补全条形统计图如下:

图2

30

@100000x—=30000(人)，

1(X)

答：该城区1（）万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有30000人;

④按照进行考核，甲：7+7+9+8=7.75（分），乙：8+8+7+9=8（分），因此乙

44

的较好,

按照进行考核，甲：7+7+18+8=8（分），-8+14+9=7.8（分），因此甲的较

1+1+2+11+1+2+1

好，

故答案为：乙，甲.

2.（2023•广东）小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间，小

红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择8线路，每天在

固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下：（单位：min）

数据统计表

实验序12345678910

号

A线路15321516341821143520

所用时

间

8线路25292325272631283024

所川时

间

根据以上信息解答卜.列问题:

平均数中位数众数方差

A线路所用时间22a1563.2

4线路所用时间b26.5C6.36

(1)填空：a=；b=：c=；

(2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路.

数据折线统计图

从小到大顺序为：14,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10个数,

中位数在第5和6个数为18和20,

所以中位数为心2=]9,

2

求平均数b-25+29+23+25+27+26+31+28+30+24_?68

10

众数c=25,

故答案为；19,26.8,25.

（2）小红统计的选择A线路平均数为22,选择6线路立均数为26.8,用时差不太多.而方

差63.2>6.36,相比较〃路线的波动性更小，所以选择3路线更优.

3.（2022•广州）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”

的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.

频数分布表

运动时间频数频率

//min

领数分布直方图

3Q,/<6040.1频数

（学生人数）

60,,t<9070.1756

4

2

9Q,/<120a0.350

8

6

12Q,r<15090.2254

2

150,,/<1806b0

合计n1

请根据图表中的信息解答卜列问题：

（1）频数分布表中的々=,b=,〃=；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于

120min的学生人数.

【解答】解：（1）由题意可知，H=4^0.1=40,

.-.^=40x0.35=14,6=6+40=0.15,

故答案为：14；0.15；40；

（2）补全频数分布直方图如下：

频数分布直方图

（3）480x^2=180（名），

40

答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180名.

2.（2022•深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良

好”，“合格”，“不合格”.

（1）本次抽查总人数为—，“合格”人数的百分比为一;

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为一；

（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为

【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8・16%=50（人），

“合格”人数的百分比为1-（32%+16%+12%）=40%，

故答案为：50人，40%：

（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°x32%=115.2。,

故答案为：115.2°；

（4）列表如下:

甲乙丙

甲（乙，甲）（丙，甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）

由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，

所以刚好抽中甲乙两人的概率为2.

63

故答案为：1.

3

4.（2022•广东）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情

况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名俏售员在某月的俏售额（单位：万元）,

数据如下：

1047541054418835108

（1）补全月销售额数据的条形统计图.

（2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月

销售额（平均数）是多少？

（3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少合适？

人数

A

NTTFF一…ITTT…，

345781018销售制万元

【解答】解：（1）补全统计图，如图,

（2）根据条形统计图可得,

众数为：4（万元），中位数为：5（万元），平均数为:

3x1+4x4+5x3+7x1+8x2+10x3+18x1,丁一、

------------------------------------=7（万兀）,

15

（3）应确定销售目标为7万元，激励大部分的销售人员达到平均销售额.

5.（2021•广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.

【解答】解：（1）由列表中9（）分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90,

由于人数总和是20人为倡数，将数据从小到大排列后，第10个和第II个数据都是9。分,

因此这组数据的中位数应该是90,

鼎,以80x2+85x3-90x8+95x5+1（X）x2八八

平均数是：---------------------------------=90.5；

24-3+8+5+2

（2）根据题意得:

600x8+5+2=45。（人）,

20

答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人.

经典考查题型五：方程、不等式的实际应用问题（中）

NO1.题型特点

此类实际问题通常可以借助于列方程（组）、不等式（组）进行求解，根据题目的已知条件

可以列一元一次方程、二元一次方程、分式方程、一元二次方程、不等式（组）等进行求解.

NO2.解题技能

4解题意之后找到题目中量之间的关系，列方程、不等式并求解，如果是分式方程，需要加

行脸根.一般情况下，解决实际应用问题的常见步骤为：

①设未知数；

②列方程（组）、不等式：组）；

③解方程（组）、不等式£组），注意：如果是分式方程要检验；

也^题.

NO3.经典考题

1.（2023•深圳）某商场在世博会上购置力，8两种玩具，其中8玩具的单价比A玩具的单

价贵25元，且购置2个5玩具与1个A玩具共花费200元.

（1）求A,8玩具的单价；

（2）若该商场要求购置“玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000

元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？

【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件6玩具的进价为（x+25）元，

根据题意得：2（x+25）+i=200,

解得：x=50»

可得x+25=50+25=75,

则每件A玩具的进价为50元，每件8玩具的进价为75元；

（2）设商场可以购置A玩具y个，

根据题意得：50y+75x2%20000,

解得：y„100,

则最多可以购置A玩具100个.

2.（2023•广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km,甲、乙两同学骑自

行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲匕乙早到lOmin,求乙同学骑自行车

的速度.

【解答】解：设乙骑自行车的速度为Xkm/h,则甲骑自行车的速度为1.2Xkm/h,

根据题意得乜-，=工-,

x61.2x

解得x=12.

经检验，x=12是原分式方程的解，

答：乙骑自行车的速度为I2km/h.

3.（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人

出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？

【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，

8v，=3

根据题意得：（7.

x=7

解得:

y=53

答：学生有7人，该书单价53元.

4.（2022•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单

价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类

型的数量一样.

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价.

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，

则购买的最低费用是多少.

【解答】解：（1）设甲类型的笔记本单价为工元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，

由题意得，119=型，

xx+\

解得x=ll,

经检验x=11是原方程的解，且符合题意，

.••乙类型的笔记本单价为x+1=11+1=12（元），

答：甲类型的笔记本单价为II元，乙类型的笔记本单价为12元；

（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100-。）件，

.,购买的乙的数量不超过平的3倍，

.,.IOO-a,3a,且100-。一0,

解得25制7100,

根据题意得卬=11。+12（100—a）=11。+1200—12〃=一。+1200,

,/-I<0,

・•.w随〃的增大而减小，

.•”=100时，卬最小值为一100+1200=1100（元），

答：最低费用为1100元.

5.（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华

民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购

进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50

元时，每天可售出100盒；每盒售价提高I元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价：

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50如k65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），

求y关于x的函数解析式并求最大利润.

【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价“元，则豆沙粽每盒进价（。-10）元，

80006000

则llhl----=-----，

aa-10

解得：。=40,经检验a=40是方程的解，

二猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，

答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；

（2）由题意得，当x=50时，每天可售出100盒，

当猪肉粽每盒售价x元（50领k65）时，每天可售口00-2。-50）］盒，

.,.），=戈100—2（x-50）］-43x［100-2（%-50）］=-2x2+280x-8000,

配方，得：），二一2。-70）2+1800,

xv70时，y随x的增大而增大，

.•.当x=65时，y取最大值，最大值为：-2x（65-70）2-1800=1750（元）.

答：y关于x的函数解析式为），=-2/+28（比-8000（5晚k65）,且最大利润为1750元.

经典考查题型六：圆综合（难）

NO1.题型特点

圆是中考数学非常重要的一个考点，涉及的知识点包括国周角定理，圆的对称性，借助垂径

定理解决实际问题，此外还有利用切线的判定方法求证切线，借助圆中的相似、勾股定理、

口兑角三角函数等求解线段的长度.7

NO2.解题技能

圆蓼西薪二晟超最前基行氯耒*紊\

一是借助切线的判定定理，结合已知条件证切线，常用方法为：①连半径，证垂直；②作垂

直，证半径；或利用切线的性质进行角度计算，此时在没有连半径的情况下，依然要连半径，

得90°,两个考试方向一般都会与切线相关；

号是借助勾股定理，相似三角形，三角函数等求线段长度，这是近年来的热门考点.）

NO3.经典考题

1.（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O,A,8均在格点上，OA=3,

AB=2,以。为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线AC,且AC=4（点C在A的上方）；

②连接OC，交O于点O：

③连接8。，与AC交于点、E.

（1）求证：DB为。的切线；

（2）求AE的长度.

【解答】解：如图:

(I)AC是圆的切线，

.•.N04C=9O。，

OC=5，

由题意得：OD=AO=3,OB=OC=5>ZAOC=NDOB,

.-.△AOC^ADOB(SAS),

Z.ODB=ZOAC=90°，

OD是圆的半径，

:.DB为O的切线：

(2)ZCDE=ZC4O=9()0,ZC=ZC,

..△CDE^ACAO,

CDCE

.•----=-----9

ACCO

即：2=延，

45

解得：CE=2.5,

AE=AC-CE=4-2.5=i.5.

2.(2022•广东)如图，四边形A3C。内接于O,AC为O的直径，ZADB=/CDB.

(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；

(2)若AB=g,AD=l,求CD的长度.

B

【解答】解：(1)△44C是等腰直角三角形，证明过程如下:

AC为O的直径，

ZADC=ZA^C=90°,

•/ZADB=/CDB,

AB=BC，

/.AB=BC，

又・・NA5c=90。，

「.△ABC是等腰直角三角形.

(2)在RtAA5c中，AB=BC=4i,

:.AC=2,

在Rt^ADC中，AD=\,AC=2,

:.CD=y/3.

即8的长为：G.

3.(2022•深圳)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径.半圆O上点C•处有个吊灯所，

EF/IAB,COLAB,Er的中点为O,04=4.

(I)如图①，CM为一条拉线,M在08上，OA/=1.6,。尸=0.8,求C£)的长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆0相切，，为切点，M为03上一点,M4为入射光线，NH

为反射光线，/OHM=NOHN=45°,tanZCOH=-,求QV的长度.

4

(3)如图③，M是线段04上的动点，用〃为入射光线，=50°,"N为反射光线

交圆。于点N,在用从。运动到4的过程中，求N点的运动路径长.

【解答】解：（1）OM=1.6,DF=0.8,EFIIAB,

DF是△COW的中位线，

.,•点。是oc的中点，

•.oc=OA=4,

;.CD=2；

（2）如图②，过点、N作ND工OH于点D,

NOHN=45。,

:.NNHD是等腰直角三角形，

:,ND=HD,

3

­.tanZCO//=-,ZNDO=90°,

4

ND3

.•----=-9

OD4

设ND=3x=HD,则O£>=4x,

OH=OA=4,

:.OH=3x+4x=4,

4

:.x=—>

7

/.A^D=-x3=—,O£>=-x4=—,

7777

/.ON=yjOD2+ND2=—;

7

(3)如图，当点M与点。重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点8时，点N运动

至点7,故点N的运动路径长为Q4+AT的长,

B何

:./OHB=/OBH=65°,

JOHM=/OHT,OH=OT,

:.ZOTH=ZOHT=65Q,

Z7O/7=50°,

/.ZAOT=180°-50°-50°=80°,

80x4x416

AT的长==—7T

1809

.••点N的运动路径长=4+竺乃.

9

4.（2022•广州）如图，AA是。O的直径，点C在UO上，且AC=8,BC=6.

（1）尺规作图：过点。作4c的垂线，交劣弧AC于点。，连接CD（保留作图痕迹，不写

作法）;

（2）在（1）所作的图形中，求点。到47的距离及sinNAC力的值.

【解答】解：（I）分别以A、。为圆心，大于为半径画弧，在AC的两侧分别相交于

2

P、。两点，画直线PQ交劣弧AC于点。，交AC于点E,即作线段AC的垂直平分线,

由垂径定理可知，宜线夕。一定过点O；

（2）项是。的直径，

ZAC8=90。，

在RtaABC中，且AC=8,BC=6.

：.AB=yjAC2+BC2=10,

-ODLAC,

AE=CE=-AC=4,

2

又OA=OB,

.•.OE是AABC的中位线，

:.OE=-BC=3,

2

由于PQ过圆心O，且PQ_LAC,

即点。到AC的距离为3,

连接OC,在RtZXCDE中,

DE=OD-CE=5-3=2,CE=4,

:.CD=^DE2+EC2=J/+42=26

,sm/A3三=j=@

CD2755

5.（2021•深圳）如图，AB为°。的弦，D,。为ACB的三等分点，AC/IBE.

(1)求证：Z4=ZE；

(2)若3C=3,BE=5,求CE的长.

【解答】(1)证明:

，.ACI/BE,

:.ZE=ZACD,

D,C为AC8的三等分点,

BC=CD=AD,

：.ZACD^ZA,

:.ZE=ZA,

(2)解：由(1)知6C=CO=AO,

/.ZD=ZCBD=ZA=ZE,

;.BE=BD=5,BC=CD=3,,

CBBD35

---=--->即一=----,

BDDE5DE

25

解得DE=?,

3

:.CE=DE-CD=—-3=—.

33

经典考查题型七：二次函数综合（难）

NO1.题型特点

二次函数综合问题一般会出现在试卷后几道压轴题的位置，属于中考难点，常考类型是二次

函数与几何综合问题，其中几何图形的存在性问题是热门考点，是数形结合思想的典型应用.

\>

NO2.解题技能

/三次函数综合问题的忠础铺垫知识是二次函数的图象和性质，其次能够根据已知条件利用待\

定系数法求二次函数的解析式是必备技能.

对于存在性问题，一般包括：等胺三角形的存在性、直角三角形的存在性、平行四边形的存

在性、菱形的存在性、相似三角形的存在性等，处理存在性问题的核心思想是分类讨论.

注意：无论是面积问题、发段关系问题、角度问题等，最终都会利用点的坐标，再结合几何

Y+性得到关系式，因此掌握数形结合思想是非常重要的.，

NO3.经典考题

1.（2023•广州）已知点〃（〃?,"）在函数），=-2（xvo）的图象上.

x

（1）若〃z=—2,求〃的值；

（2）抛物线y=（工一/〃）（％-〃）与x轴交于两点M,N（M在N的左边），与y轴交于点G，

记抛物线的顶点为E.

①〃?为何值时，点后到达最高处；

②设△GMN的外接圆圆心为C,C与y轴的另一个交点为产，当帆+〃工0时，是否存在

四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标：若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）把/〃=一2代入y=—（xvO）得〃=一~—=1;

x-2

故〃的值为1：

(2)①在y=0—7〃)0—〃)中，令y=0,则—〃)=0,

解得x=，〃或x=n，

点在函数y=-二(工＜0)的图象上，

x

：.mn=-2,

令x=团+",得y=(x-—〃)=--(/n—n)2=-2-—im+n)2„—2,

244

即当〃7+〃=0,且"7〃=—2»

则加=2,解得：,n=-x/2(正值已舍去),

即加==历时，点E到达最高处;

②假设存在，理由：

对于y=(x-/〃)(.r-〃)，当x=0时，y=mn=-2,即点G(0,-2),

m+n

作MG的中垂线交MG于点7,交)，轴于点S,交x轴于点K,则点7(；〃?,

则tanNMKT=-Ln,

2

则直线75的表达式为：=.

则点。的坐标为：(竺吆，-i).

22

由垂径定理知，点C在尸G的中垂线上，则R7=2(53_)，c)=2x(_g+2)=3.

••,四边形尸GEC为平行四边形，

则废=用；=3=无-"=-；-九，

解得：及.=_g,

17

即—(〃?-n)2=—,且run=—2,

42

则〃?+n=±JS,

,E(网

・・匕(-----,

2

2.（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可

以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温

塑料膜，这样就形成了一个温室空间.

如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形A8CD和抛物线板＞构成，其中八A=3m,

BC=4m,取3c中点O,过点O作线段3c的垂直平分线。£交抛物线AEQ于点石，若以

。点为原点，8c所在直线为x轴，OE为），轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

（1）如图2,抛物线AED的顶点顼0,4）,求抛物线的解析式：

（2）如图3,为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置/JG7，

SMNR,若FL=NR=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长；

（3）如图4,在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到。点，此时大棚截面的阴影为CK,

求CK的长.

图1住2酣障

【解答】解：(1)•;AB=3m,AD=13C=4m,E(0,4),

A(—2,3),B(-2,0),C(2,0),D(2,3),

设抛物线表达式为y=av2+bx+c,

将A、。、石三点坐标代入表达式,

4a-2b+c=3

得■4a+2b+c=3»

c=4

1

4

解得卜=0.

c=4

.•.抛物线表达式为），=--x2+4.

-4

答：抛物线表达式为y=-：V+4.

（2）设G（T,3）,则〃t—3,3+之），

44

解得（负值舍去），

4

..GM=2t=-.

2

答：两个正方形装置的间距的长为」m.

2

（3）取最右侧光线与抛物线切点为尸，如图4,

图4

设直线AC的解析式为），=h+9

-2k+b=3

'2k+b=0'

解得「，

b=-

2

「•直线AC的解析式为y=--x+-，

42

FKI/AC,

设/内：y=一:4+m'

3

y=­x+m

4

12,

y=——x+4

4

ZH1->3八

得——厂+—x+4A—〃z=0,

44

31

/.A=(―)2-4x(——)(4-，〃)=0»

44

解得〃?=殳，

16

直线FK的解析式为y=~x+—，

.416

令y=0,得x=史，

12

“73「97

BK=—+2=——

1212

9749

:.CK=BK-BC=——4

127?

答：CK的长为2m.

12

3.(2022•广州)已知直线/:)，=去+。经过点(0,7)和点(1,6).

(1)求直线/的解析式；

(2)若点。(〃?,〃)在直线/上，以。为顶点的抛物线G过点(0,-3),且开口向下.

①求〃?的取值范围；

②设抛物线G与直线/的另一个交点为Q,当点Q向左平移1个单位长度后得到的点也

在G上时，求G在他效改叫+1的图象的最高点的坐标.

55

【解答】解:(1)将点(0.7)和点(1,6)代入)，=6+匕，

b=7

"'k+b=6'

化=一1

解得

〃二7

y=-x+7；

(2)①。点P(〃?,〃)在直线/上,

+7

设抛物线的解析式为y=4X加)2|7m

抛物线经过点(0,-3),

anr+7-m=-3,

m—\0

m-2

抛物线开口向下,

<0>

m-10_

——^<0»

m

v10且mH0;

②抛物线的对称轴为直线x=，〃，

。点与。关于x=w对称，

.•・Q点的横坐标为〃?+],

y=-xA1

联M方程组

y=a{x-m)2+7-ni

整理得or2+(1-2ma)x+am2-m=0,

P点和Q点是直线/与抛物线G的交点,

Ic1

m+m+—=2m----

2a

解得〃?=2或m=--

2

当,〃=2时，y=-2(x-2)2+5,

此时抛物线的对称轴为直线x=2，

图象在1的k装上的最高点坐标为(2,5)；

219

当〃?=_g时，y=-2(x+1)+一，

2

_5

此时抛物线的对称轴为直线x

~2

图象在-2效k-1上的最高点坐标为(-2,|)；

综上所述：G在早融与+1的图象的最高点的坐标为（-