直角三角形的性质和判定课件数学八年级下册

1.1.2直角三角形的性质和判定第1章直角三角形湘教版数学8年级下册（公开课课件）授课教师：********班级：********时间：********一、教学目标知识与技能目标学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。过程与方法目标通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。情感态度与价值观目标让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。二、教学重难点重点直角三角形的性质和判定定理。勾股定理及其逆定理的应用。难点勾股定理及其逆定理的证明。灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。三、教学方法讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。（二）知识讲解（20分钟）直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余。引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为180°，在直角三角形中，有一个角是90°，那么另外两个锐角之和为180°-90°=90°，即两个锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形的判定有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为90°，则第三个角为180°-90°=90°，所以这个三角形是直角三角形。勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a，b，c满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为c，与原三角形三边对应相等，根据SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。学习目标1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解问题引入问题1

如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ABCDA'C'问题2

将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.结论：短直角边=斜边含30°角的直角三角形的性质活动探究ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.合作探究证明：取线段AB的中点D，连接CD.∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，30°BCAD∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD为等边三角形，证法1证明方法：中线法证法2证明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD

是等边三角形．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

30°)EABC证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．

证明方法：截半法证法330°)知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

)30°(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.

(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.

(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√判一判例1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.例2

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．例3：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向上，且与轮船相距海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？OBDA北东60°解：∵∠AOD=30°，

AO=海里，∴AD=AO=海里＞20海里，所以无危险.解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=AB=BD=AD,即△BDC为等边三角形,∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°.思考：如图，在Rt△ABC中，如果BC=AB，那么∠A等于多少？BCAD知识要点在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，

ABCBC=AB．

)30°∴∠A=30°例4：如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度数．解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.

A

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D